傅⾥叶详解
⼀、傅⽴叶变换的由来
关于傅⽴叶变换，⽆论是书本还是在⽹上可以很容易到关于傅⽴叶变换的描述，但是⼤都是些故弄⽞虚的⽂章，太过抽象，尽是⼀些让⼈看了就望⽽⽣畏的公式的罗列，让⼈很难能够从感性上得到理解，最近，我偶尔从⽹上看到⼀个关于数字信号处理的电⼦书籍，是⼀个叫Steven W. Smith, Ph.D.外国⼈写的，写得⾮常浅显，⾥⾯有七章由浅⼊深地专门讲述关于离散信号的傅⽴叶变换，虽然是英⽂⽂档，我还是硬着头⽪看完了有关傅⽴叶变换的有关内容，看了有茅塞顿开的感觉，在此把我从中得到的理解拿出来跟⼤家分享，希望很多被傅⽴叶变换迷惑的朋友能够得到⼀点启发，这电⼦书籍是免费的，有兴趣的朋友也可以从⽹上下载下来看⼀下，URL地址是：
www.doczj/doc/cd0f731fbe23482fb5da4c19.html /pdfbook.htm
要理解傅⽴叶变换，确实需要⼀定的耐⼼，别⼀下⼦想着傅⽴叶变换是怎么变换的，当然，也需要⼀定的⾼等数学基础，最基本的是级数变换，其中傅⽴叶级数变换是傅⽴叶变换的基础公式。
⼆、傅⽴叶变换的提出
让我们先看看为什么会有傅⽴叶变换？傅⽴叶是⼀位法国数学家和物理学家的
名字，英语原名是Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830), Fourier对热传递
很感兴趣，于1807年在法国科学学会上发表了⼀篇论⽂，运⽤正弦曲线来描述温度分布，论⽂⾥有个在当时具有争议性的决断：任何连续周期信号可以由⼀组适当的正弦曲线组合⽽成。当时审查这个论⽂的⼈，其中有两位是历史上著名的数学家拉格朗⽇(Joseph Louis Lagrange, 1736-1813)和拉普拉斯(Pierre Simon de Laplace, 1749-1827)，当拉普拉斯和其它审查者投票通过并要发表这个论⽂时，拉格朗⽇坚决反对，在近50年的时间⾥，拉格朗⽇坚持认为傅⽴叶的⽅法⽆法表⽰带有棱⾓的信号，如在⽅波中出现⾮连续变化斜率。法国科学学会屈服于拉格朗⽇的威望，拒绝了傅⽴叶的⼯作，幸运的是，傅⽴叶还有其它事情可忙，他参加了政治运动，随拿破仑远征埃及，法国⼤⾰命后因会被推上断头台⽽⼀直在逃避。直到拉格朗⽇死后15年这个论⽂才被发表出来。
谁是对的呢？拉格朗⽇是对的：正弦曲线⽆法组合成⼀个带有棱⾓的信号。但是，我们可以⽤正弦曲线来⾮常逼近地表⽰它，逼近到两种表⽰⽅法不存在能量差别，基于此，傅⽴叶是对的。
为什么我们要⽤正弦曲线来代替原来的曲线呢？如我们也还可以⽤⽅波或三⾓
波来代替呀，分解信号的⽅法是⽆穷的，但分解信号的⽬的是为了更加简单地处理原来的信号。⽤正余弦来表⽰原信号会更加简单，因为正余弦拥有原信号所不具有的性质：正弦曲线保真度。⼀个正弦曲线信号输⼊后，输出的仍是正弦曲线，只有幅度和相位可能发⽣变化，但是频率和波的形状仍是⼀样的。
且只有正弦曲线才拥有这样的性质，正因如此我们才不⽤⽅波或三⾓波来表⽰。
三、傅⽴叶变换分类
根据原信号的不同类型，我们可以把傅⽴叶变换分为四种类别：
1⾮周期性连续信
傅⽴叶变换（Fourier Transform）
号
2
周期性连续信号傅⽴叶级数(Fourier Series) 3 ⾮周期性离散信号离散时域傅⽴叶变换（Discrete Time Fourier
Transform ）
4
周期性离散信号离散傅⽴叶变换(Discrete Fourier Transform)
下图是四种原信号图例：
这四种傅⽴叶变换都是针对正⽆穷⼤和负⽆穷⼤的信号，即信号的的长度是⽆穷⼤的，我们知道这对于计算机处理来说是不可能的，那么有没有针对长度有限的傅⽴叶变换呢？没有。因为正余弦波被定义成从负⽆穷⼩到正⽆穷⼤，我们⽆法把⼀个长度⽆限的信号组合成长度有限的信号。⾯对这种困难，⽅法是把长度有限的信号表⽰成长度⽆限的信号，可以把信号⽆限地从左右进⾏延伸，延伸的部分⽤零来表⽰，这样，这个信号就可以被看成是⾮周期性离解信号，我们就可以⽤到离散时域傅⽴叶变换的⽅法。还有，也可以把信号⽤复制的⽅法进⾏延伸，这样信号就变成了周期性离解信号，这时我们就可以⽤离散傅⽴叶变换⽅法进⾏变换。这⾥我们要学的是离散信号，对于连续信号我们不作讨论，因为计算机只能处理离散的数值信号，我们的最终⽬的是运⽤计算机来处理信号的。
但是对于⾮周期性的信号，我们需要⽤⽆穷多不同频率的正弦曲线来表⽰，这对于计算机来说是不可能实现的。所以对于离散信号的变换只有离散傅⽴叶变换（DFT ）才能被适⽤，对于计算机来说只有离散的和有限长度的数据才能被处理，对于其它的变换类型只有在数学演算中才能⽤到，在计算机⾯前我们只能⽤DFT
⽅法，后⾯我们要理解的也正是DFT⽅法。这⾥要理解的是我们使⽤周期性的信号⽬的是为了能够⽤数学⽅法来解决问题，⾄于考虑周期性信号是从哪⾥得到或怎样得到是⽆意义的。
每种傅⽴叶变换都分成实数和复数两种⽅法，对于实数⽅法是最好理解的，但是复数⽅法就相对复杂许多了，需要懂得有关复数的理论知识，不过，如果理解了实数离散傅⽴叶变换(real DFT)，再去理解复数傅⽴叶就更容易了，所以我们先把复数的傅⽴叶放到⼀边去，先来理解实数傅⽴叶变换，在后⾯我们会先讲讲关于复数的基本理论，然后在理解了实数傅⽴叶变换的基础上再来理解复数傅⽴叶变换。
还有，这⾥我们所要说的变换(transform)虽然是数学意义上的变换，但跟函数变换是不同的，函数变换是符合⼀⼀映射准则的，对于离散数字信号处理（DSP），有许多的变换：傅⽴叶变换、拉普拉斯变换、Z变换、希尔伯特变换、离散余弦变换等，这些都扩展了函数变换的定义，允许输⼊和输出有多种的值，简单地说变换就是把⼀堆的数据变成另⼀堆的数据的⽅法。
四、傅⽴叶变换的物理意义
傅⽴叶变换是数字信号处理领域⼀种很重要的算法。要知道傅⽴叶变换算法的意义，⾸先要了解傅⽴叶原理的意义。傅⽴叶原理表明：任何连续测量的时序或信号，都可以表⽰为不同频率的正弦波信号的⽆限叠加。⽽根据该原理创⽴的傅⽴叶变换算法利⽤直接测量到的原始信号，以累加⽅式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。
和傅⽴叶变换算法对应的是反傅⽴叶变换算法。该反变换从本质上说也是⼀种累加处理，这样就可以将单独改变的正弦波信号转换成⼀个信号。因此，可以说，傅⽴叶变换将原来难以处理的时域信号转换成
了易于分析的频域信号（信号的频谱），可以利⽤⼀些⼯具对这些频域信号进⾏处理、加⼯。最后还可以利⽤傅⽴叶反变换将这些频域信号转换成时域信号。
从现代数学的眼光来看，傅⾥叶变换是⼀种特殊的积分变换。它能将满⾜⼀定条件的某个函数表⽰成正弦基函数的线性组合或者积分。在不同的研究领域，傅⾥叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅⾥叶变换和离散傅⾥叶变换。
在数学领域，尽管最初傅⽴叶分析是作为热过程的解析分析的⼯具，但是其思想⽅法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征。"任意"的函数通过⼀定的分解，都能够表⽰为正弦函数的线性组合的形式，⽽正弦函数在物理上是被充分研究⽽相对简单的函数类：1. 傅⽴叶变换是线性算⼦，若赋予适当的范数，它还是⾣算⼦;2. 傅⽴叶变换的逆变换容易求出,⽽且形式与正变换⾮常类似;3. 正弦基函
数是微分运算的本征函数，从⽽使得线性微分⽅程的求解可以转化为常系数的代数⽅程的求解.在线性时不变杂的卷积运算为简
单的乘积运算，从⽽提供了计算卷积的⼀种简单⼿段;4. 离散形式的傅⽴叶的物理系统内，频率是个不变的性质，从⽽系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取;5. 著名的卷积定理指出：傅⽴叶变换可以化复变换可以利⽤数字计算机快速的算出(其算法称为快速傅⽴叶变换算法(FFT))。
正是由于上述的良好性质，傅⾥叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、
概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着⼴泛的应⽤。
五、图像傅⽴叶变换的物理意义
图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标，是灰度在平⾯空间上的梯度。如：⼤⾯积的沙漠在图像中是⼀⽚灰度变化缓慢的区域，对应的频率值很低；⽽对于地表属性变换剧烈的边缘区域在图像中是⼀⽚灰度变化剧烈的区域，对应的频率值较⾼。傅⽴叶变换在实际中有⾮常明显的物理意义，设f是⼀个能量有限的模拟信号，则其傅⽴叶变换就表⽰f的谱。从纯粹的数学意义上看，傅⽴叶变换是将⼀个函数转换为⼀系列周期函数来处理的。从物理效果看，傅⽴叶变换是将图像从空间域转换到频率域，其逆变换是将图像从频率域转换到空间域。换句话说，傅⽴叶变换的物理意义是将图像的灰度分布函数变换为图像的频率分布函数，傅⽴叶逆变换是将图像的频率分布函数变换为灰度分布函数。
傅⽴叶变换以前，图像（未压缩的位图）是由对在连续空间（现实空间）上的采样得到⼀系列点的集合，我们习惯⽤⼀个⼆维矩阵表⽰空间上各点，则图像可由z=f(x,y)来表⽰。由于空间是三维的，图像是⼆维的，因此空间中物体在另⼀个维度上的关系就由梯度来表⽰，这样我们可以通过观察图像得知物体在三维空间中的对应关系。为什么要提梯度？因为实际上对图像进⾏⼆维傅⽴叶变换得到频谱图，就是图像梯度的分布图，当然频谱图上的各点与图像上各点并不存在⼀⼀对应的关系，即使在不移频的情况
下也是没有。傅⽴叶频谱图上我们看到的明暗不⼀的亮点，实际上图像上某⼀点与邻域点差异的强弱，即梯度的⼤⼩，也即该点的频率的⼤⼩（可以这么理解，图像中的低频部分指低梯度的点，⾼频部分相反）。⼀般来讲，梯度⼤则该点的亮度强，否则该点亮度弱。这样通过观察傅⽴叶变换后的频谱图，也叫功率图，我们⾸先就可以看出，图像的能量分布，如果频谱图中暗的点数更多，那么实际图像是⽐较柔和的（因为各点与邻域差异都不⼤，梯度相对较⼩），反之，如果频谱图中亮的点数多，那么实际图像⼀定是尖锐的，边界分明且边界两边像素差异较⼤的。对频谱移频到原点以后，可以看出图像的频率分布是以原点为圆⼼，对称分布的。将频谱移频到圆⼼除了可以清晰地看出图像频率分布以外，还有⼀个好处，它可以分离出有周期性规律的⼲扰信号，⽐如正弦⼲扰，⼀副带有正弦⼲扰，移频到原点的频谱图上可以看出除
了中⼼以外还存在以某⼀点为中⼼，对称分布的亮点集合，这个集合就是⼲扰噪⾳产⽣的，这时可以很直观的通过在该位置放置带阻滤波器消除⼲扰。
另外我还想说明以下⼏点：
1、图像经过⼆维傅⽴叶变换后，其变换系数矩阵表明：
若变换矩阵Fn原点设在中⼼，其频谱能量集中分布在变换系数短阵的中⼼附近(图中阴影区)。若所⽤的⼆维傅⽴叶变换矩阵Fn 的原点设在左上⾓，那么图像
信号能量将集中在系数矩阵的四个⾓上。这是由⼆维傅⽴叶变换本⾝性质决定的。同时也表明⼀股图像能量集中低频区域。
2 、变换之后的图像在原点平移之前四⾓是低频，最亮，平移之后中间部分是低频，最亮，亮度⼤说明低频的能量⼤（幅⾓⽐较⼤）。
六、⼀个关于实数离散傅⽴叶变换(Real DFT)的例⼦短时傅里叶变换matlab程序
先来看⼀个变换实例，⼀个原始信号的长度是16，于是可以把这个信号分
解9个余弦波和9个正弦波（⼀个长度为N的信号可以分解成N/2+1个正余弦信号，这是为什么呢？结合下⾯的18个正余弦图，我想从计算机处理精度上就不难理解，⼀个长度为N的信号，最多只能有N/2+1个不同频率，再多的频率就超过了计算机所能所处理的精度范围），如下图：
9个正弦信号：
9个余弦信号：
把以上所有信号相加即可得到原始信号，⾄于是怎么分别变换出9种不同频率信号的，我们先不急，先看看对于以上的变换结果，在程序中⼜是该怎么表⽰的，我们可以看看下⾯这个⽰例图：
上图中左边表⽰时域中的信号，右边是频域信号表⽰⽅法，从左向右表⽰正向转换(Forward DFT)，从右向左表⽰逆向转换(Inverse DFT)，⽤⼩写x[]表⽰信号在每个时间点上的幅度值数组, ⽤⼤写X[]表⽰每
种频率的副度值数组, 因为有N/2+1种频率，所以该数组长度为N/2+1，X[]数组⼜分两种，⼀种是表⽰余弦波的不同频率幅度值：Re X[]，另⼀种是表⽰正弦波的不同频率幅度值：Im X[]，Re是实数(Real)的意思，Im是虚数(Imagine)的意思，采⽤复数的表⽰⽅法把正余弦波组合起来进⾏表⽰，但这⾥我们不考虑复数的其它作⽤，只记住是⼀种组合⽅法⽽已，⽬的是为了便于表达（在后⾯我们会知道，复数形式的傅⽴叶变换长度是N，⽽不是N/2+1）。
七、⽤Matlab实现快速傅⽴叶变换
FFT是离散傅⽴叶变换的快速算法，可以将⼀个信号变换到频域。有些信号在时域上是很难看出什么特征的，但是如果变换到频域之后，就很容易看出特征了。这就是很多信号分析采⽤FFT变换的原因。另外，FFT可以将⼀个信号的频谱提取出来，这在频谱分析⽅⾯也是经常⽤的。
虽然很多⼈都知道FFT是什么，可以⽤来做什么，怎么去做，但是却不知道FFT 之后的结果是什意思、如何决定要使⽤多少点来做FFT。
现在就根据实际经验来说说FFT结果的具体物理意义。⼀个模拟信号，经过ADC 采样之后，就变成了数字信号。采样定理告诉我们，采样频率要⼤于信号频率的两倍，这些我就不在此啰嗦了。
采样得到的数字信号，就可以做FFT变换了。N个采样点，经过FFT之后，就
可以得到N个点的FFT结果。为了⽅便进⾏FFT运算，通常N取2的整数次⽅。假设采样频率为Fs，信号频率F，采样点数为N。那么FFT之后结果就是⼀个为N点的复数。每⼀个点就对应着⼀个频率点。这个点的模值，就是该频率值下的幅度特性。具体跟原始信号的幅度有什么关系呢？假设原始信号的峰值为A，那么FFT的结果的每个点（除了第⼀个点直流分量之外）的模值就是A的N/2倍。⽽第⼀个点就是直流分量，它的模值就是直流分量的N倍。⽽每个点的相位呢，就是在该频率下的信号的相位。第⼀个点表⽰直流分量（即0Hz），⽽最后⼀个点N的再下⼀个点（实际上这个点是不存在的，这⾥是假设的第N+1个点，也可以看做是将第⼀个点分做两半分，另⼀半移到最后）则表⽰采样频率Fs，这
中间被N-1个点平均分成N等份，每个点的频率依次增加。例如某点n所表⽰
的频率为：Fn=(n-1)*Fs/N。由上⾯的公式可以看出，Fn所能分辨到频率为为
Fs/N，如果采样频率Fs为1024Hz，采样点数为1024点，则可以分辨到1Hz。1024Hz的采样率采样1024点，刚好是1秒，也就是说，采样1秒时间的信号
并做FFT，则结果可以分析到1Hz，如果采样2秒时间的信号并做FFT，则结果可以分析到0.5Hz。如果要提⾼频率分辨⼒，则必须增加采样点数，也即采样时间。频率分辨率和采样时间是倒数关系。
假设FFT之后某点n⽤复数a+bi表⽰，那么这个复数的模就是An=根号a*a+b*b，相位就是Pn=atan2(b,a)。
根据以上的结果，就可以计算出n点（n≠1，且n<=N/2）对应的信号的表达式为：An/(N/2)*cos(2*pi*Fn*t+Pn)，即
2*An/N*cos(2*pi*Fn*t+Pn)。对于n=1点的信号，是直流分量，幅度即为A1/N。由于FFT结果的对称性，通常我们只使⽤前半部分的结果，即⼩于采样频率⼀
半的结果。
下⾯以⼀个实际的信号来做说明。假设我们有⼀个信号，它含有2V的直流分量，频率为50Hz、相位为-30度、幅度为3V的交流信号，以及⼀个频率为75Hz、
相位为90度、幅度为1.5V的交流信号。⽤数学表达式就是如下：

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