作  业
一．傅里叶变换的收敛问题:
    既然傅立叶变换的引出是从周期信号的傅立叶级数表示出发，讨论周期趋于无穷大时的极限得来的，傅立叶变换的收敛问题就应该和傅立叶级数的收敛相一致。
傅里叶级数的收敛性：满足狄利赫里条件的周期函数表示成的傅里叶级数都收敛。狄利赫里条件如下：
1. 在任何周期内，x(t)须绝对可积；
2. 在任一有限区间中，x(t)只能取有限个最大值或最小值；
3. 在任何有限区间上，x(t)只能有有限个第一类间断点。
下面举一个简单的例子是方波信号，对称方波的傅里叶展开:
如上图所示:
如果合成的波形所包含的谐波分量愈多时,除间断点附近外,它愈接近于原方波信号,在间断点附近,随着所含谐波次数的增高,合成波形的尖峰愈靠近间断点,但尖峰幅度并没有明显减小.可以类推,当谐波次数趋于无穷大时,在间断点处仍有约9%的偏差,这种现象称为吉布斯现象。
二．周期序列的傅里叶级数展开与傅里叶变换之间的问题:
周期序列的傅里叶级数:当是周期为N的一个周期序列, ,r为任意整数,这个周期序列不是绝对可和的,不能用Z变换表示,那么它可以离散傅里叶级数表示,也就是说用周期为N的复指数序列来表示, ,其中是K 次谐波的系数,然后求出,它是对的一个周期x(n)作Z变换,然后将Z变换在Z平面单位圆上按等间隔角抽样而得到的。
周期序列的傅里叶变换:实际上是对有限长序列的傅里叶变换,如果把长度为N的有长限长序列x(n)看成周期为N的序列的一个周期的话,把看成是x(n)的以N为周期的周期延拓, ,此时周期序列的傅里叶变换,事实上,对频域的周期序列可以看作是对有限长序列的周期延拓,而有限长序列短时傅里叶变换matlab程序可以看作是周期序列的主值序列.
三．频率分辨率的问题:
其实频率分辨率和分辨力都来源于外文Resolution,它是表征图像细节的能力。只是由于翻译上的不同以及使用在不同的领域，才出现分辨力和分辨率两个不同的定义。在电视领域，包括现在的数字电视领域，一般都定义为分辨力，而在计算机界则把它定义为分辨率。在离散傅里叶变换中,对频率函数进行抽样,抽样间隔为,那么这个就是频率分辨率,并由它可以知道时间函数的周期是多少,即:,有这样一种关系, ,信号的最高频率分量与频率分辨力有着矛盾关系,当增加时,时间的抽样间隔减小,抽样频率增加,信号长度N不变,增加,频率分辨力就减小.当信号长度越长时,N越大,分辨率就越好,一般来说,频率分辨力与信号实际长度成反比,信号越长,分辨力就越高。

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