matlab练习程序（⾮线性常微分⽅程组参数拟合）和拟合类似，我们要⽤差分代替微分，然后进⾏插值处理，然后构造最⼩化函数。
最后⽤最优化⽅法处理该函数即可。
这⾥举个例⼦，先随便设⼀个⾮线性微分⽅程组，并给定初值：
然后定义最⼩化函数：
最后⽤⾮线性最优化⽅法解决。
matlab代码如下：
clear all;close all;clc;
bsrc = rand(4,1);
[t,h] = ode45(@(t,x)test1(t,x,bsrc),[0100],[11]);
plot(t,h(:,1),'r');
hold on;
plot(t,h(:,2),'r');
hold on;
t = t(1:3:2*end/3);
x1 = h(1:3:2*end/3,1);
x2 = h(1:3:2*end/3,2);
plot(t,x1,'ro');
plot(t,x2,'ro');
T=min(t):0.1:max(t);        %插值处理，如果数据多，也可以不插值
X1=spline(t,x1,T)';
X2=spline(t,x2,T)';
plot(T,X1,'b.');
plot(T,X2,'b.');
dX1 = diff(X1)*10; dX1=[dX1;dX1(end)];
dX2 = diff(X2)*10; dX2=[dX2;dX2(end)];
%BFGS求解
syms k1 k2 k3 k4;
ff = sum((dX1 - (k1*exp(1./X1)+k4*sin(X2))).^2+(dX2-(cos(X1)*k2+k3*(1./X2))).^2);
dff1 = diff(ff,k1);dff2 = diff(ff,k2);
dff3 = diff(ff,k3);dff4 = diff(ff,k4);
f = inline(char(ff),'k1','k2','k3','k4');
g1 = inline(char(dff1),'k1','k2','k3','k4');
g2 = inline(char(dff2),'k1','k2','k3','k4');
g3 = inline(char(dff3),'k1','k2','k3','k4');
g4 = inline(char(dff4),'k1','k2','k3','k4');
b = rand(4,1);
rho=0.2;sigma=0.2;
H=eye(4);
re=[];
for i=1:1000
g=[g1(b(1),b(2),b(3),b(4));
g2(b(1),b(2),b(3),b(4));
g3(b(1),b(2),b(3),b(4));
g4(b(1),b(2),b(3),b(4));];
dk=-inv(H)*g;
mk=1;
for j=1:50
new=f(b(1)+rho^j*dk(1),...
b(2)+rho^j*dk(2),...
b(3)+rho^j*dk(3),...
b(4)+rho^j*dk(4));
old=f(b(1),b(2),b(3),b(4));
if new < old +sigma*rho^j*g'*dk
mk=j;
break;
end
end
norm(g)
if norm(g)<1e-30 || isnan(new)
break;
end
b = b + rho^mk*dk;
gg=[g1(b(1),b(2),b(3),b(4));
g2(b(1),b(2),b(3),b(4));
g3(b(1),b(2),b(3),b(4));
g4(b(1),b(2),b(3),b(4));];
q = gg - g;            %q = g(k+1)-g(k)
p = rho^mk*dk;          %p = x(k+1)-x(k)
H = H - (H*p*p'*H)/(p'*H*p) + (q*q')/(q'*p);    %矩阵更新
end
bsrc
b
[t,h] = ode45(@(t,x)test1(t,x,b),[0100],[11]);
plot(t,h(:,1),'g');
hold on;
plot(t,h(:,2),'g');
test1.m：
function dy=test1(t,x,A)
a = A(1);
b = A(2);
matlab拟合数据c = A(3);
d = A(4);
dy=[a*exp(1/x(1))+d*sin(x(2));
cos(x(1))*b+c/x(2)];
结果如下：
上⾯这个结果还算可以。
不过由于是⾮线性微分⽅程组，参数差⼀点就可能导致系统后续差别越来越⼤，所谓混沌与蝴蝶效应。所以⼤多数拟合的结果类似下⾯或更糟：
注：
  后来我⼜看了⼀下，其实这⾥还是属于线性系数的，因为a,b,c,d四个系数并没在⾮线性函数中。  ⾮线性系数我做了⼏次试验，效果不甚理想，后⾯有时间再写⼀篇。

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