最小二乘法拟合
在科学实验的统计方法研究中,往往要从一组实验数据matlab拟合数据中寻出自变量x 和因变量y之间的函数关系y=f(x) 。由于观测数据往往不够准确,因此并不要求y=f(x)经过所有的点 ,而只要求在给定点上误差按照某种标准达到最小,通常采用欧氏范数作为误差量度的标准。这就是所谓的最小二乘法。在MATLAB中实现最小二乘法拟合通常采用polyfit函数进行。
函数polyfit是指用一个多项式函数来对已知数据进行拟合,我们以下列数据为例介绍这个函数的用法:
>> x=0:0.1:1;
>> y=[ -0.447 1.978 3.28 6.16 7.08 7.34 7.66 9.56 9.48 9.30 11.2 ]
为了使用polyfit,首先必须指定我们希望以多少阶多项式对以上数据进行拟合,如果我们指定一阶多项式,结果为线性近似,通常称为线性回归。我们选择二阶多项式进行拟合。
>> P= polyfit (x, y, 2)
P=
-9.8108 20.1293 -0.0317
函数返回的是一个多项式系数的行向量,写成多项式形式为:
为了比较拟合结果,我们绘制两者的图形:
>> xi=linspace (0, 1, 100); %绘图的X-轴数据。
>> Z=polyval (p, xi); %得到多项式在数据点处的值。
当然,我们也可以选择更高幂次的多项式进行拟合,如10阶:
>> p=polyfit (x, y, 10);
>> xi=linspace (0, 1,100);
>> z=ployval (p, xi);
读者可以上机绘图进行比较,曲线在数据点附近更加接近数据点的测量值了,但从整体上来说,曲线波动比较大,并不一定适合实际使用的需要,所以在进行高阶曲线拟合时,“越高越好”的观点不一定对的。
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