幂  函  数  复  习
一、幂函数定义：形如
)(R x y ∈=αα的函数称为幂函数，其中x 就是自变量,α就是常数。
注意：幂函数与指数函数有何不同？
【思考·提示】 本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置.
观察图:
归纳：幂函数图像在第一象限的分布情况如下:
二、幂函数的性质
归纳：幂函数在第一象限的性质:
0>α，图像过定点(0,0)(1,1)，在区间(+∞,0)上单调递增。
0<α，图像过定点(1,1)，在区间(+∞,0)上单调递减。
探究：整数m,n 的奇偶与幂函数n m x y =),,,(互质且n m Z n m ∈的定义域以及奇偶性有什么关系？
结果：形如n m
x y =),,,(互质且n m Z n m ∈的幂函数的奇偶性
(1)当m,n 都为奇数时,f(x)为奇函数，图象关于原点对称;
(2)当m 为奇数n 为偶数时,f(x)为偶函数，图象关于y 轴对称;
(3)当m 为偶数n 为奇数时,f(x)就是非奇非偶函数，图象只在第一象限内、
三、幂函数的图像画法:
关键先画第一象限，然后根据奇偶性与定义域画其它象限。
指数大于1，在第一象限为抛物线型(凹);
指数等于1，在第一象限为上升的射线;
指数大于0小于1，在第一象限为抛物线型(凸);
指数等于0，在第一象限为水平的射线;
指数小于0，在第一象限为双曲线型;
四、规律方法总结:
1、幂函数)1,0(==ααx y 的图
像:
2、幂函数)
,,,,(互质q
p Z q p p q x y ∈==αα的图像:
y
x 0c1c2
3、比较幂形式的两个数的大小，一般的思路就是:
(1)若能化为同指数，则用幂函数的单调性;
(2)若能化为同底数，则用指数函数的单调性;
(3)若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻一个恰当的数作为桥梁来比较大小.
题型一：幂函数解析式特征
例1、下列函数就是幂函数的就是(  )
A.y=x x        B 、y=3x 2          C 、y=x 21+1          D 、y=x 3-
幂函数定义练习1：已知函数2221(1)m m y m m x --=--就是幂函数，求此函数的解析式.
练习2：若函数29()(919)a f x a a x -=-+就是幂函数，且图象不经过原点，求函数的
解析式.
题型二：幂函数性质
例2：下列命题中正确的就是(    )
A.当0α=时，函数y x α=的图象就是一条直线
B.幂函数的图象都经过(0,0),(1,1)两点
C.幂函数的
y x α=图象不可能在第四象限内        D.若幂函数y x α
=为奇函数，则在定义域内就是增函数 练习3：如图，曲线c1, c2分别就是函数y ＝x m 与y ＝x n 在第一
象限的图象，那么一定有(    ) A.n<m<0      B.m<n<0        C.m>n>0      D.n>m>0 练习4:.(1)函数y ＝52x 的单调递减区间为(  )
A.(－∞,1)
B.(－∞,0)
C.［0,＋∞)
D.(－∞,＋∞)
(2).函数y ＝x
43-在区间上        就是减函数.
(3).幂函数的图象过点(2,41
), 则它的单调递增区间就是          .
题型三：比较大小
、利用幂函数的性质，比较下列各题中两个幂的值的大小: (1)433.2,434.2; (2)5631.0,5635.0; (3)23)2(-,23)3(-; (4)211.1-,2
19.0-.
、经典例题:
例1、已知函数223()()m m f x x m -++=∈Z 为偶函数，且(3)(5)f f <，求m 的值，并确定()f x 的解析式.
例2、若11(1)(32)m m --+<-，试求实数m 的取值范围. 例3、若33(1)(32)m m +<-，试求实数m 的取值范围. 例4、若44(1)(32)m m +<-，试求实数m 的取值范围. 例5、函数1
224(42)(1)y mx x m m mx -=++++-+的定义域就是全体实数，求m 的取值范围。

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