3.3 幂函数教学设计
教学目标
一. 通过对幂函数的研究，理解、掌握幂函数的图象与性质，并掌握研究幂函数的一般方法；
二．渗透分类讨论、数形结合的数学思想及类比、联想的学习方法，提高归纳与概括的能力；
三．培养积极思考，通过自主探索获取新知的学习习惯和科学严谨的学习态度；体会从特殊到一般的思维过程.
教学重、难点
本节课的重点内容是幂函数在第一象限的图象与性质及研究幂函数的一般方法.
相对于指数函数与对数函数来说，幂函数的情况比较复杂，因此对幂函数图象的共性的归纳是本节课的难点.
学情分析及教学内容分析
一. 学情分析
本课例的实施对象具有如下特点：
1.知识储备方面
学习幂函数之前，学生在初中已经掌握了一次函数，二次函数，正比例函数，反比例函数几类基本初等函数，并且在高中阶段独立探究过指数函数与对数函数的图象与性质，基本掌握了研究函数的一般方法与过程.由于幂函数的情况比较复杂，学生在对图象共性的归纳与概括方面可能遇到困难.
2. 思维水平方面
所授课班级是理科实验班学生，学生有较高的数学素养和较强的数学思维能力，对数学充满探索精神，同时对课堂教学有较高需求.
3. 技术使用方面
学生能够熟练掌握图形计算器的操作，并具有利用信息技术进行自主探究的意识.
二. 教学内容分析
1.幂函数在教材中的地位
幂函数是新课标教材新增的内容，位于必修1第三章基本初等函数（Ⅰ）的第三节.在过渡性教材中，曾将幂函数这一内容删掉了，新课标又把幂函数重新编入教材，而相比起人教版的旧教材，幂函数的地位和难度都有所下降，新教材将幂函数的位置放到了指数函数与对数函数之后，并且将幂函数研究的对象限定为五个具体函数，通过研究它们来了解幂函数的性质.
2.幂函数的作用
新教材将幂函数重新加入，主要考虑到幂函数在以下几方面的作用：
第一，是幂函数在实际中的应用.第二，学生在初中已经学习了y=x、y=x2、y=x-1三个简单的幂函数，对它们的图象和性质已经有了一定的感性认识.现在明确提出幂函数的概念，有助于学生形成完整的知识结构.第三，幂函数是基本初等函数（Ⅰ）研究的最后一个函数，在指数函数和对数函数之后，幂函数的学习与探究过程可体现类比的学习方法，渗透分类讨论数形结合的数学思想，培养归纳、概括的能力，并使学生进一步体会并掌握研究基本初等函数的一般思路与方法.
教学过程
一．创设情境，建构概念
1.定义的给出
本节课教学任务较重，难度较大，但是所授班级为理科实验班，学生的数学素养较好，因此采取了由指数函数直接引入幂函数定义的方法.指出对于关系式：a b=N，当底数a为常数，b作为自变量，N为b的函数时，就构成了指数函数；当指数b为常数，底数a为自变量，N为a的函数时，构成的函数就称为幂函数.
由此得到幂函数的定义：
形如的函数称为幂函数.（目前我们只研究指数为有理数的情况）
2.概念的辨析
在给出了幂函数的定义后，请学生举出了大量幂函数的例子，目的在于对幂函数进行辨析，学生举的例子中含有已学过的函数，因此通过这个环节使学生感知到幂函数并不是完全陌生的，学习幂函数是为了对幂函数进行更一般的研究.同时针对学生的例子中出现的指数为无理数的情况，指出了现阶段只研究指数为有理数的情况.
二. 联想类比，自主探究
1.自主探究
幂函数定义
在这个环节中引导学生自由选择不同的幂函数，利用图形计算器通过画图，探究它们的图象与性质.并将自己的探究结果记录在表格中，在研究过程中，学
生会选择幂指数不同的多个幂函数进行研究，分别记录它们的图象与性质，并在探究过程中对幂指数的作用进行了初步的探索.
2.图象展示
在这一环节中教师请学生将他们研究的幂函数从形态上看不同的图象分别画到黑板上，在学生的相互补充、教师的及时纠错和引导下，最终得到了十种不同形态的图象.由教师补充了学生遗漏的y=x的图象，最后黑板上一共展示了十一种不同形态的幂函数的图象.
三. 深入探究，归纳性质
1.对图象的进一步探究
在得到了十一种不同形态的图象后，教师指出，幂函数的情况比指数函数和对数函数的情况复杂得多，继而提出问题：我们该如何去把握幂函数的图象呢？
学生提出根据幂指数的不同范围分α>1，0<α<1，-1<α<0，α<-1几类，进行讨论.在这个环节中针对学生出现的几个问题，教师进行了适当引导，并且在这个过程中有效地突破了本节课的教学难点：
（1）学生回答当α>1时，幂函数的图象具有相同的共性.
此时教师引导学生观察图象，说明α>1时的几个幂函数的图象形态并不相同.进一步引导学生发现实际上它们在第一象限图象的形态是一样的.从而提出实际上由于函数的奇偶性，我们只需考虑幂函数在第一象限内的图象规律即可，这样就大大简化了讨论的过程，这也是本节课的教学难点.
（2）在共同讨论-1<α<0和α<-1时幂函数的图象时，发现它们在第一象限图象从形态上来看没有差异，指出对幂函数图象的讨论只需分α>1，0<α<1，α<0，α=1，α=0这几种情况即可.
2.对幂函数在第一象限图象的归纳
在这一环节中教师引导学生将幂函数在第一象限不同形态的图象画出来，并请一名学生将图象画到黑板上，通过对学生所画图象的纠错与分析和学生共同归纳出幂函数在第一象限的图象与性质：
（1）图象必过(1,1)点.
（2）α>1时，过(0,0)点，且y随x的增大，函数图象向y轴方向延伸，图象是下凸的.在第一象限是增函数.
（3）0<α<1时，随x的增大，函数图象向x轴方向延伸，函数图象是上凸的.在第一象限是增函数.
（4）α<0时，随x的增大，函数图象与x轴、y轴无限接近，但永不相交.在第一象限是减函数.
（5）α=1和α=0的情况.（略）

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