幂函数教学设计

  教学设计
  3　幂函数
  邓新国
  整体设计
  教学分析
  幂函数作为一类重要的函数模型，是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本的初等函数．学生已经有了学习指数函数和对数函数的图象和性质的学习经历，幂函数概念的引入以及图象和性质的研究便水到渠成．因此，学习过程中，引入幂函数的概念之后，尝试放手让学生自己进行合作探究学习．本节通过实例，让学生认识到幂函数同样也是一种重要的函数模型，通过研究y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝等函数的性质和图象，让学生认识到幂指数大于零和小于零两种情形下，幂函数的共性：当幂指数α＞0时，幂函数的图象都经过点和，且在象限内函数单调递增；当幂指数α＜0时，幂函数的图象都经过点，且在象限内函数单调递减且以两坐标轴为渐近线．在方法上，我们应注意从特殊到一般地去进行类比研
究幂函数的性质，并注意与指数函数进行对比学习．
  将幂函数限定为五个具体函数，通过研究它们来了解幂函数的性质．其中，学生在初中已经学习了y＝x，y＝x2，y＝x－1等三个简单的幂函数，对它们的图象和性质已经有了一定的感性认识．现在明确提出幂函数的概念，有助于学生形成完整的知识结构．学生已经了解了函数的基本概念、性质和图象，研究了两个特殊函数：指数函数和对数函数，对研究函数已经有了基本思路和方法．因此，教材安排学习幂函数，除内容本身外，掌握研究函数的一般思想方法是另一目的，另外，应让学生了解利用信息技术来探索函数图象及性质是一个重要途径．
  学习中学生容易将幂函数和指数函数混淆，因此在引出幂函数的概念之后，可以组织学生对两类不同函数的表达式进行辨析．
  三维目标
  ．通过生活实例引出幂函数的概念，会画幂函数的图象，通过观察图象，了解幂函数图象的变化情况和性质，加深学生对研究函数性质的基本方法和流程的经验，培养学生的概括抽象和识图能力，使学生体会到生活中处处有数学，激发学生的学习兴趣．
  ．了解几个常见的幂函数的性质，通过这几个幂函数的性质，总结幂函数的性质，通过画
图比较，使学生进一步体会数形结合的思想，利用计算机等工具，了解幂函数和指数函数的本质差别，使学生充分认识到现代技术在人们认识世界的过程中的作用，从而激发学生的学习欲望．
  ．应用幂函数的图象和性质解决有关简单问题，培养学生观察分析归纳能力，了解类比法在研究问题中的作用，渗透辩证唯物主义观点和方法论，培养学生运用具体问题具体分析的方法去分析和解决问题的能力．
  重点难点
  教学重点：从五个具体的幂函数中认识幂函数的概念和性质．
  教学难点：根据幂函数的单调性比较两个同指数的指数式的大小．
  课时安排
  课时
  教学过程
  导入新
  思路1
  ．如果张红购买了每千克1元的水果千克，那么她需要付的钱数p和购买的水果量之间有何
关系？根据函数的定义可知，这里p是的函数．
  ．如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S＝a2，这里S是a的函数．
  ．如果正方体的边长为a，那么正方体的体积V＝a3，这里V是a的函数．
  ．如果正方形场地面积为S，那么正方形的边长a＝，这里a是S的函数．
  ．如果某人ts内骑车行进了1，那么他骑车的速度v＝t－1/s，这里v是t的函数．
  以上是我们生活中经常遇到的几个数学模型，你能发现以上几个函数解析式有什么共同点吗？．
  ．
  思路2．我们前面学习了三类具体的初等函数：二次函数、指数函数和对数函数，这一节课我们再学习一种新的函数——幂函数，教师板书课题：幂函数．
  推进新
  新知探究
  提出问题
  给出下列函数：y＝x，y＝，y＝x2，y＝x－1，y＝x3，考察这些解析式的特点，总结出来，是否为指数函数？
  根据，如果让我们起一个名字的话，你将会给他们起个什么名字呢？请给出一个一般性的结论．
  我们前面学习指对数函数的性质时，用了什么样的思路？研究幂函数的性质呢？
  画出y＝x，y＝，y＝x2，y＝x－1，y＝x3五个函数图象，完成下列表格.
  通过对以上五个函数图象的观察，哪个象限一定有幂函数的图象？哪个象限一定没有幂函数的图象？哪个象限可能有幂函数的图象，这时可以通过什么途径来判断？
  通过对以上五个函数图象的观察和填表，你能类比出一般的幂函数的性质吗？
  活动：考虑到学生已经学习了指数函数与对数函数，对函数的学习、研究有了一定的经验和基本方法，所以教学流程又分两条线，一条以内容为明线，另一条以研究函数的基本内容和方法为暗线，教学过程中同时展开，学生相互讨论，必要时，教师将解析式写成指数幂形式，以启发学生归纳，学生作图，教师巡视，学生小组讨论，得到结论，必要时，教师利用几何画板演示．
  讨论结果：
  通过观察发现这些函数的变量在底数位置，解析式右边都是幂，因为它们的变量都在底数位置上，不符合指数函数的定义，所以都不是指数函数．
  由于函数的指数是一个常数，底数是变量，类似于我们学过的幂的形式，因此我们称这种类型的函数为幂函数，如果我们用字母α来表示函数的指数，就能得到一般的式子，即幂函数的定义：一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．
  如y＝x2，y＝，y＝x3等都是幂函数，幂函数与指数函数、对数函数一样，都是基本初等函数．
  我们研究指数、对数函数时，根据图象研究函数的性质，由具体到一般；一般要考虑函数的定义域、值域、单调性、奇偶性；有时也通过画函数图象，从图象的变化情况来看函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等性质，研究幂函数的性质也应如此．
  学生用描点法，也可应用函数的性质，如奇偶性、定义域等，画出函数图象．利用描点法，在同一坐标系中画出函数y＝x，y＝，y＝x2，y＝x3，y＝x－1的图象．
  列表：
  x…－3－2－10123…
  y＝x…－3－2－10123…
  y＝
  …011.411.73…
  y＝x2…9410149…
  y＝x3…－27－8－101827…
  y＝x－1…－13
  －12
  －1112
  3
  …
  描点、连线．画出以上五个函数的图象如图1.
  图1
  让学生通过观察图象，分组讨论，探究幂函数的性质和图象的变化规律，教师注意引导学生用类比研究指数函数、对数函数的方法研究幂函数的性质．
  通过观察图象，完成表格.
  象限一定有幂函数的图象；第四象限一定没有幂函数的图象；而第二、三象限可能有，也可能没有图象，这时可以通过幂函数的定义域和奇偶性来判断．
  幂函数y＝xα的性质．
  ①所有的幂函数在上都有定义，并且图象都过点；
  ②当α＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，＋∞)上是增函数．
  特别地，当α＞1时，x∈，y＝xα的图象都在y＝x图象的下方，形状向下凸，α越大，下凸的程度越大．
  当0＜α＜1时，x∈，y＝xα的图象都在y＝x的图象上方，形状向上凸，α越小，上凸的程度越大．
  ③当α＜0时，幂函数的图象在区间上是减函数．
  思路1
  应用示例
  例1判断下列函数哪些是幂函数．
  ①y＝0.2x；②y＝x－3；③y＝x－2；④y＝.
  活动：学生独立思考，讨论回答，教师巡视引导，及时评价学生的回答．根据幂函数的定义判别，形如y＝xα的函数称为幂函数，变量x的系数为1，指数α是一个常数，严格按这个标准来判断．
  解：①y＝0.2x的底数是0.2，因此不是幂函数；
  ②y＝x－3的底数是变量，指数是常数，因此是幂函数；
  ③y＝x－2的底数是变量，指数是常数，因此是幂函数；
  ④y＝的底数是变量，指数是常数，因此是幂函数．
  点评：判断函数是否是幂函数要严格按定义来判断.
  变式训练
  判别下列函数中有几个幂函数？
  ①；②y＝2x2；③；④y＝x2＋x；⑤y＝－x3.
  解：①③的底数是变量，指数是常数，因此①③是幂函数；
  ②的变量x2的系数为2，因此不是幂函数；
  ④的变量是和的形式，因此也不是幂函数；
  ⑤的变量x3的系数为－1，因此不是幂函数.
  例2求下列幂函数的定义域，并指出其奇偶性、单调性．
  ；；y＝x－2.
  活动：学生思考，小组讨论，教师引导，学生展示思维过程，教师评价．根据你的学习经历，回顾求一个函数的定义域的方法，判断函数奇偶性、单调性的方法．判断函数奇偶性、
单调性的方法，一般用定义法．解决有关函数求定义域的问题时，可以从以下几个方面来考虑：列出相应不等式或不等式组，解不等式或不等式组即可得到所求函数的定义域．
  解：要使函数有意义，只需y＝3x2有意义，即x∈R.所以函数的定义域是x∈R.又f＝f，所以函数是偶函数，它在上是增函数．
幂函数定义  要使函数有意义，只需y＝12x3有意义，即x∈R＋，所以函数的定义域是R＋，由于函数的定义域不关于原点对称，所以函数是非奇非偶函数，它在上是减函数．
  要使函数y＝x－2有意义，只需y＝1x2有意义，即x≠0，所以函数y＝x－2的定义域是x≠0，又f＝f，所以函数y＝x－2是偶函数，它在上是增函数，在上是减函数．
  点评：在函数解析式中含有分数指数时，可以把它们的解析式化成根式，根据“偶次根号下非负”这一条件来求出对应函数的定义域；当函数解析式的幂指数为负数时，根据负指数幂的意义将其转化为分式形式，根据分式的分母不能为0这一限制条件来求出对应函数的定义域，求函数的定义域的本质是解不等式或不等式组．
  例3证明幂函数f＝x在[0，＋∞)上是增函数．
  活动：学生先思考或讨论，再回答，教师根据实际，可以提示引导．证明函数的单调性一般用定义法，有时利用复合函数的单调性．
  证明：任取x1，x2∈[0，＋∞)，且x1＜x2，则f－f＝x1－x2＝x1＋x2＝x1－x2x1＋x2，因为x1－x2＜0，x1＋x2＞0，所以x1－x2x1＋x2＜0.所以f＜f，即f＝x在[0，＋∞)上是增函数．
  点评：证明函数的单调性要严格按步骤和格式书写，利用作商的方法比较大小，f与f的符号要一致．
  思路2
  例1函数y＝的定义域是
  A．{x|x≠0，或x≠2}B．∪
  c．D．
  解析：函数y＝化为y＝1x2－2x，要使函数有意义需x2－2x＞0，即x＞2或x＜0，所以函数的定义域为{x|x＞2，或x＜0}．
  答案：B
  变式训练
  函数y＝的值域是
  A．[0，＋∞)B．D．[0,1]
  活动：学生独立解题，先思考，然后上黑板板演，教师巡视指导．函数的值域要根据函数的定义域来求．函数可化为根式形式，偶次方根号的被开方数大于零，转化为等式或不等式来解，可得定义域，这是复合函数求值域问题，利用换元法．
  分析：令t＝1－x2，则y＝t，
  因为函数的定义域是{x|－1≤x≤1}，所以0≤t≤1.所以0≤y≤1.
  答案：D
  点评：注意换元法在解题中的应用.
  例2比较下列各组数的大小：
  10.1,1.20.1；0.24－0.2,0.25－0.2；0.20.3,0.30.3,0.30.2.
  活动：学生先思考或回忆，然后讨论交流，教师适时提示点拨．比较数的大小，常借助于函数的单调性．对可直接利用幂函数的单调性．对只利用幂函数的单调性是不够的，还要利用指数函数的单调性，事实上，这里0.30.3可作为中间量．
  解：由于要比较的数的指数相同，所以利用幂函数的单调性，考察函数y＝x0.1的单调性，在象限内函数单调递增，又因为1.1＜1.2，所以1.10.1＜1.20.1.
  由于要比较的数的指数相同，所以利用幂函数的单调性，考察函数y＝x－0.2的单调性，在
象限内函数单调递减，又因为0.24＜0.25，所以0.24－0.2＞0.25－0.2.
  首先比较指数相同的两个数的大小，考察函数y＝x0.3的单调性，在象限内函数单调递增，又因为0.2＜0.3，所以0.20.3＜0.30.3.
  再比较同底数的两个数的大小，考察函数y＝0.3x的单调性，在定义域内函数单调递减，又因为0.2＜0.3，所以0.30.3＜0.30.2.所以0.20.3＜0.30.3＜0.30.2.
  另外，本题还有图象法，计算结果等方法，留作同学们自己完成．
  点评：指数相同的幂的大小比较可以利用幂函数的单调性；底数相同的幂的大小比较可以利用指数函数的单调性．
  知能训练
  ．下列函数中，是幂函数的是
  A．y＝2xB．y＝2x3c．y＝1xD．y＝2x
  ．下列结论正确的是
  A．幂函数的图象一定过原点
  B．当α＜0时，幂函数y＝xα是减函数
  c．当α＞0时，幂函数y＝xα是增函数
  D．函数y＝x2既是二次函数，也是幂函数
  ．下列函数中，在是增函数的是
  A．y＝x3B．y＝x2c．y＝1xD．
  ．已知某幂函数的图象经过点，则这个函数的解析式为__________．
  答案：1．c　2．D　3．A　4．
  拓展提升
  分别在同一坐标系中作出下列函数的图象，通过图象说明它们之间的关系．
  ①y＝x－1，y＝x－2，y＝x－3；②，；
  ③y＝x，y＝x2，y＝x3；④，.
  活动：学生思考或交流，探讨作图的方法，教师及时提示，必要时，利用几何画板演示．
  解：利用描点法，在同一坐标系中画出上述四组函数的图象如图2、图3，图4、图5.
  图2图3
  图4图5
  ①观察图2得到：
  函数y＝x－1、y＝x－2、y＝x－3的图象都过点，且在象限随x的增大而下降，函数在区间
上是单调减函数，且向右无限接近x轴，向上无限接近y轴，指数越小，向右无限接近x轴的图象在下方，向上离y轴越远．
  ②观察图3得到：
  函数、的图象都过点，且在象限随x的增大而下降，函数在区间上是单调减函数，且向右无限接近x轴，向上无限接近y轴，指数越小，向右无限接近x轴的图象在下方，向上离y轴越远．
  ③观察图4得到：
  函数y＝x、y＝x2、y＝x3的图象过点、，且在象限随x的增大而上升，函数在区间[0，＋∞)上是单调增函数，指数越大图象下凸越大，从象限来看，图象向上离y轴近，向下离x轴近．
  ④观察图5得到：
  函数、的图象过点、，且在象限随x的增大而上升，函数在区间[0，＋∞)上是单调增函数，指数越小图象上凸越大，从象限来看，图象在点的左边离y轴近，在点的右边离x轴近．
  根据上述规律可以判断函数图象的分布情况．
  课堂小结
  ．幂函数的概念．
  ．幂函数的性质．
  ．幂函数的性质的应用．
  作业
  课本习题2.3　1,2,3.
  设计感想
  幂函数作为一类重要的函数模型，是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本的初等函数，课本内容较少，但高考内容不少，应适当引申，所以设计了一些课本上没有的题目类型，以扩展同学们的视野，同时由于作图的内容较多，建议抓住关键点作图，要会熟练地运用计算机或计算器作图，强化对知识的理解．
  备课资料
  历史上数学计算方面的三大发明
  你知道数学计算方面的三大发明吗？这就是阿拉伯数字、十进制和对数．
  研究自然数遇到的个问题是计数法和进位制的问题，我们采用的十进制是中国人的一大发明．在商代中期的甲骨文中已有十进制，其中最大的数是3万，印度最早到六世纪末才有十进制．但是，目前使用的计数法和阿拉伯数字1,2,3,4,5,6,7,8,9,0是印度人最早开始使用，后
来传到阿拉伯，由阿拉伯人传到欧洲，并被欧洲人所接受．
  十进制位置计数法的诞生，是自然数发展史上的一次飞跃，同一个数字由于它所在的位置不同而有不同的值．无穷多个自然数可以用有限个符号来驾驭，所有的自然数都可以方便清楚地表示出来．
  世纪前半叶，由于实际的需要，对计算技术的改进提出了前所未有的要求．这一时期计算技术最大的改进是对数的发明和应用，它的产生主要是由于天文和航海计算的迫切需要．为了简化天文航海方面所遇到的繁杂数值计算，自然希望将乘除法归结为简单的加减法．苏格兰数学家纳皮尔在球面天文学的三角学研究中，首先发明了对数方法.1614年他在题为《奇妙的对数定理说明书》一书中，阐述了他的对数方法，对数的使用价值为纳皮尔的朋友——英国数学家布里格斯所认识，他与纳皮尔合作，并于1624年出版了《对数算术》一书，公布了以10为底的14位对数表，并称以10为底的对数为常用对数．常用对数曾经在简化计算上为人们做过重大贡献，而自然对数以及以e为底的指数函数成了研究科学、了解自然的必不可少的工具．恩格斯曾把对数的发明与解析几何的创始，微积分学的建立并称为17世纪数学的三大成就．法国著名的数学家、天文学家拉普拉斯曾说：“对数的发明以其节省劳力而延长了天文学家的寿命．”
  一直到18世纪，瑞士数学家欧拉才发现了指数与对数的关系，他指出“对数源出于指数”，这个见解很快被人们所接受．

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