授课主题：幂函数
教学目标
1．通过具体实例了解幂函数的图象和性质.
2．类比研究指数函数、对数函数的过程与方法，研究幂函数的图象和性质.
3．体会幂函数图象的变化规律及蕴含其中的对称性，并能进行简单的应用.
教学内容
1．幂函数的定义：
一般地，形如的函数称为幂函数，其中是常数．
2．幂函数的图象：
函数的图象
定义域
值域
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶函数
奇函数
单调性
单调递增
在上减
在上增
单调递增
单调递增
在和上单调递减
公共点
图象所在象限
一、三
一、二
一、三
一
一、三
3．幂函数的性质：
（1）所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点；
（2）时，幂函数的图象通过原点，并且在上是增函数；
（3）时，①幂函数在上是减函数；
②在第一象限内，图象向上与轴无限地接近，向右与轴无限地接近．
（4）任何幂函数图象都不经过第四象限；
（5）任何两个幂函数的图象最多有三个交点．
幂函数定义
（6）任何幂函数的图象与坐标轴至多只有一个交点；
（7）幂函数奇偶性
①当为偶数时，为偶函数；
②当为奇数，为奇数时，为奇函数；
③当为奇数，为偶数时，为非奇非偶函数．
特别地，幂函数（），当为偶数时，为偶函数；
当为奇数时，为奇函数．
题型一　幂函数概念的理解应用
例1　函数是幂函数，且当时，是增函数，求的解析式.
点评：幂函数y＝xα(α∈R)其中α为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数α为常数(也可以为0)．这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准．对例1来说，还要根据单调性验根，以免增根．
巩 固　函数是幂函数且是奇函数，则实数m的值是___________.
答案：-1
题型二　利用幂函数的性质比较大小
例2　比较下列各组中两个数的大小：
   
点评：比较两个幂的大小的关键是搞清楚底数与指数是否相同，若底数相同，利用指数函数的性质比较大小；若指数相同，利用幂函数的性质比较大小；若底数指数均不同，考虑利用中间值来比较大小．
巩 固　比较下列各组数的大小：
   
题型三　求幂函数的解析式
例3　
巩 固　幂函数f(x)的图象过点(4,2)，则f(9)＝________.
答案：3
A组
       
2．下列四类函数中，具有性质“对任意的x>0，y>0，函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)f(y)”的是(  )
A．幂函数      B．对数函数        C．指数函数        D．二次函数
解析：本题考查幂的运算性质f(x)f(y)＝axay＝ax＋y＝f(x＋y).
答案：C
3．函数f(x)＝(m2－3m＋3)xm＋2是幂函数且函数f(x)为偶函数，求m的值．
解析：∵f(x)＝(m2－3m＋3)xm＋2是幂函数，∴m2－3m＋3＝1，即m2－3m＋2＝0，∴m＝1或m＝2.当m＝1，f(x)＝x3为奇函数，不符合题意；当m＝2时，f(x)＝x4为偶函数，符合题意，∴m＝2.
B组
1．下列所给出的函数中，属于幂函数的是(  )
A．y＝－x3  　B．y＝x－3
C．y＝2x3      D．y＝x3－1
答案：B　
答案：B　
3．函数y＝x－2在区间上的最大值是(  )
A.          B．－            C．4               D．－4
答案：①＜　②＜　③＞　④＜
答案：A
C组
1．给出两个结论：(1)当α＝0时，幂函数y＝xα的图象是一条直线；(2)幂函数y＝xα的图象都经过(0,0)和(1,1)点，则正确的判断是(  )
A．(1)对(2)错  B．(1)错(2)对    C．(1)(2)都错  D．(1)(2)都对
答案:C
2．上图所示的曲线是幂函数y＝xα在第一象限内的图象，已知α分别取－1,1，，2四个值，则相应图象依次为：______.
答案:C4，C2，C3，C1
3．设f(x)＝(a－3)x(a＋1)(a－2)，当a为何值时，
(1)f(x)为常数函数？
(2)f(x)为幂函数？
(3)f(x)为正比例函数？       
答案:
1．下列函数中，其定义域和值域不同的函数是(  )
A．y＝x            B．y＝x－
C．y＝x      D．y＝x
解析：选D.y＝x＝，其定义域为R，值域为[0，＋∞)，故定义域与值域不同．
2．如图，图中曲线是幂函数y＝xα在第一象限的大致图象．已知α取－2，－，，2四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的α的值依次为(  )
A．－2，－，，2      B．2，，－，－2
C．－，－2,2，      D．2，，－2，－
解析：选B.当x＝2时，22＞2＞2－＞2－2，
即C1：y＝x2，C2：y＝x，C3：y＝x－，C4：y＝x－2.
3．以下关于函数y＝xα当α＝0时的图象的说法正确的是(  )
A．一条直线                              B．一条射线
C．除点(0,1)以外的一条直线                D．以上皆错
解析：选C.∵y＝x0，可知x≠0，
∴y＝x0的图象是直线y＝1挖去(0,1)点．
4．函数f(x)＝(1－x)0＋(1－x)的定义域为________．
解析：，∴x<1.
答案：(－∞，1)
5．已知幂函数f(x)的图象经过点(2，)，则f(4)的值为(  )
A．16      B.
C.      D．2
解析：选C.设f(x)＝xn，则有2n＝，解得n＝－，即f(x)＝x－，所以f(4)＝4－＝.
6．下列幂函数中，定义域为{x|x＞0}的是(  )
A．y＝x      B．y＝x
C．y＝x－      D．y＝x－
解析：选D.A.y＝x＝，x∈R；B.y＝x＝，x≥0；C.y＝x－＝，x≠0；D.y＝x－＝，x＞0.
7．已知幂函数的图象y＝xm2－2m－3(m∈Z，x≠0)与x，y轴都无交点，且关于y轴对称，则m为(  )
A．－1或1      B．－1,1或3
C．1或3      D．3
解析：选B.因为图象与x轴、y轴均无交点，所以m2－2m－3≤0，即－1≤m≤3.又图象关于y轴对称，且m∈Z，所以m2－2m－3是偶数，∴m＝－1,1,3.故选B.
8．下列结论中，正确的是(  )
①幂函数的图象不可能在第四象限
②α＝0时，幂函数y＝xα的图象过点(1,1)和(0,0)
③幂函数y＝xα，当α≥0时是增函数
④幂函数y＝xα，当α<0时，在第一象限内，随x的增大而减小
A．①②      B．③④
C．②③      D．①④
解析：选D.y＝xα，当α＝0时，x≠0；③中“增函数”相对某个区间，如y＝x2在(－∞，0)上为减函数，①④正确．
9．在函数y＝2x3，y＝x2，y＝x2＋x，y＝x0中，幂函数有(  )
A．1个      B．2个
C．3个      D．4个
解析：选B.y＝x2与y＝x0是幂函数．
10．幂函数f(x)＝xα满足x＞1时f(x)＞1，则α满足条件(  )
A．α＞1      B．0＜α＜1
C．α＞0      D．α＞0且α≠1
解析：选A.当x＞1时f(x)＞1，即f(x)＞f(1)，f(x)＝xα为增函数，且α＞1.
11．幂函数f(x)的图象过点(3，)，则f(x)的解析式是________．
解析：设f(x)＝xα，则有3α＝＝3⇒α＝.
答案：f(x)＝x
12．设x∈(0,1)时，y＝xp(p∈R)的图象在直线y＝x的上方，则p的取值范围是________．
解析：结合幂函数的图象性质可知p<1.
答案：p<1
13．如图所示的函数F(x)的图象，由指数函数f(x)＝ax与幂函数g(x)＝xα“拼接”而成，则aa、aα、αa、αα按由小到大的顺序排列为________．
解析：依题意得
⇒
所以aa＝()＝[()4]，aα＝()＝[()32]，αa＝()，αα＝()＝[()8]，
由幂函数单调递增知aα＜αα＜aa＜αa.
答案：aα＜αα＜aa＜αa
14．函数f(x)＝(m2－m－5)xm－1是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，试确定m的值．
解：根据幂函数的定义得：m2－m－5＝1，
解得m＝3或m＝－2，
当m＝3时，f(x)＝x2在(0，＋∞)上是增函数；
当m＝－2时，f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是减函数，不符合要求．故m＝3.
15．已知函数f(x)＝(m2＋2m)·xm2＋m－1，m为何值时，f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数？
解：(1)若f(x)为正比例函数，则⇒m＝1.
(2)若f(x)为反比例函数，则⇒m＝－1.
(3)若f(x)为二次函数，则⇒m＝.
(4)若f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1，∴m＝－1±.
16．已知幂函数y＝xm2－2m－3(m∈Z)的图象与x、y轴都无公共点，且关于y轴对称，求m的值，并画出它的图象．
解：由已知，得m2－2m－3≤0，∴－1≤m≤3.
又∵m∈Z，∴m＝－1,0,1,2,3.
当m＝0或m＝2时，y＝x－3为奇函数，其图象不关于y轴对称，不适合题意．
∴m＝±1或m＝3.当m＝－1或m＝3时，有y＝x0，其图象如图(1)．
当m＝1时，y＝x－4，其图象如图(2)．

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