幂函数与复合函数
知识讲解
一、幂函数的定义
定义：一般地，形如的函数称为幂函数，其中是常数．
二、幂函数的图象
函数的图象：
定义域
值域
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶函数
奇函数
单调性
单调递增
在上减
在上增
单调递增
单调递增
在和上单调递减
公共点
图象所在象限
幂函数定义一、三
一、二
一、三
一
一、三
三、幂函数的性质
（1）所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点；
（2）时，幂函数的图象通过原点，并且在上是增函数；
（3）时，①幂函数在上是减函数；
②在第一象限内，图象向上与轴无限地接近，向右与轴无限地接近．
（4）任何幂函数图象都不经过第四象限；
（5）任何两个幂函数的图象最多有三个交点．
（6）任何幂函数的图象与坐标轴至多只有一个交点；
（7）幂函数奇偶性
①当为偶数时，为偶函数；
②当为奇数，为奇数时，为奇函数；
③当为奇数，为偶数时，为非奇非偶函数．
特别地：幂函数（），当为偶数时，为偶函数；当为奇数时，为奇函数．
四、复合函数
1.定义：如果是的函数，记为，又是的函数，记为，且的值域与的定义域的交集非空，则确定了一个关于的函数，这时叫做的复合函数，其中叫做中间变量，叫做外层函数，叫做内层函数．
2.性质：①单调性：同增异减；
函数
单调性
内层函数
增
增
减
减
外层函数
增
减
增
减
复合函数
增
减
减
增
②奇偶性
函数
奇偶性
内层函数
奇
奇
偶
偶
外层函数
奇
偶
奇
偶
复合函数
奇
偶
偶
偶
注：研究复合函数的性质时，要时刻注意函数的定义域．
3.复合函数
①若的定义域为，试探究，，应满足的条件：或
②若的值域为，试探究，，应满足的条件:或

        经典例题
一．选择题（共21小题）
1．（2017秋•沈阳期末）幂函数的图象经过点，则f（2）的值等于（  ）
A．4    B．    C．    D．
2．（2018春•东湖区校级期末）已知幂函数f（x）的图象过点（4，），则f（8）的值为（  ）
A．    B．64    C．2    D．
3．（2016秋•雅安期末）已知幂函数y=f（x）过点（2，8），则f（3）=（  ）
A．27    B．9    C．8    D．4
4．（2016秋•唐山期末）已知幂函数f（x）=λ•xα的图象过点，则λ+α=（  ）
A．2    B．1    C．    D．
5．（2016秋•峨山县校级期末）函数的图象是（  ）
A．    B．    C．    D．
6．（2017秋•雁塔区校级期中）如图是①y=xa；②y=xb；③y=xc，在第一象限的图象，则a，b，c的大小关系为（  ）
A．a＞b＞c    B．a＜b＜c    C．b＜c＜a    D．a＜c＜b
7．（2017春•长汀县校级月考）已知幂函数f（x）=k•xα的图象经过点（），则k﹣α=（  ）
A．    B．1    C．    D．2
8．（2016秋•淄川区校级期中）幂函数y=xm，y=xn，y=xp的图象如图所示，以下结论正确的是（  ）
A．m＞n＞p    B．m＞p＞n    C．n＞p＞m    D．p＞n＞m
9．（2017秋•平坝县校级期中）如图：曲线C1与C2分别是y=xm，y=xn在第一象限的图象，则（  ）
A．n＜m＜0    B．m＜n＜0    C．n＞m＞0    D．m＞n＞0
10．（2017秋•集宁区校级期中）幂函数y=（m2﹣m﹣1），当x∈（0，+∞）时为减函数，则实数m的值为（  ）
A．m=2    B．m=﹣1    C．m=﹣1或2    D．m≠
11．（2016秋•廊坊期末）幂函数f（x）=（m2﹣2m+1）x2m﹣1在（0，+∞）上为增函数，则实数m的值为（  ）
A．0    B．1    C．2    D．1或2

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