2020年新高一数学必修一知识点总结
第三章函数的概念与性质
3.1函数的概念及其表示1.函数是刻画变量间对应关系的数学模型和工具。
2.函数问题的共同特征：①定义域、值域均为非空数集；②定义域和值域间有一个对应关系；③对于定义域中的任何一个自变量，在值域中都有唯一确定的数与之对应。
3.函数中的对应关系可用解析式、图象、表格等表示，为了表示方便，引进符号f 统一表示对应关系。
【注】函数符号()y f x =是由德国数学家莱布尼茨在18世纪引入的。
4.函数定义
一般地，设,A B 是非空的实数集，如果对于集合A 中的任意一个数x ，按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数，记作(),y f x x A =∈。其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合(){}f x x A ∈叫做函数的值域。
5.函数的三要素：①定义域；②对应关系；③值域。
6.（1）函数的定义域和对应关系可以确定出函数的值域，即一个函数的值域是
由它的定义域和对应关系决定的。
（2）没有特别说明的情况下，函数的定义域默认是使其有意义的自变量取值范
围。如y =，则默认定义域是{}
0x x ≠（3）实际问题中的函数定义域要根据实际情况定.
如：匀速直线运动中位移、速度和时间的关系：()s t v t = ，隐含着0t ≥。
6.几个特殊函数的定义域和值域
（1）正比例函数()0y kx k =≠，定义域和值域都为全体实数R。
（2）一次函数()0y kx b k =+≠，定义域和值域都为全体实数R。
（3）反比例函数()0k y k x
=≠，定义域为{}0x x ≠，值域为{}0y y ≠。（4）一元二次函数()20y ax bx c a =++≠，定义域为R。
①当0a >时，值域为244ac b y y a ⎧⎫-⎪⎪≥⎨⎬⎪⎪⎩⎭
；②当0a <；时，值域为244ac b y y a ⎧⎫-⎪⎪≤⎨⎬⎪⎪⎩
⎭。
7.区间及其表示
设,a b 是两个实数，且a b <（注意：a 不能等于b ）。我们规定：
（1）满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，表示为[],a b ；
（2）满足a x b <<；的实数x 的集合叫做开区间，表示为(),a b ；
（3）满足a x b ≤<；或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别表示为
[),a b 和(],a b ；
这里的实数a 与b 都叫做相应区间的端点。
（4）在数轴上表示时，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点。
8.区间的几何表示
9.实数集R 可以用区间表示为()-∞+∞，，“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负
无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”。
10.我们把满足x a ≥，x a >，x b ≤，x b <；的实数x ，用区间分别表示为[),a +∞、(),a +∞、(],b -∞、(),b -∞。即
11.在函数定义中，用符号()f x 表示函数，其中()f x 表示x 对应的函数值，而不是f 乘x 。
12.由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域。
13.相等函数、同一函数：因为值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数，也称为相同函数、相等函数、同一函数。特别地，两个函数如果仅有对应关系相同，但定义域不同，那么它们不是相等函数。
幂函数定义14.相等函数又叫相同函数、同一函数。指的是两个函数的三要素（定义域、对应关系、值域）完全相同的函数。而如果定义域和值域中有一个不同，即便两个函数的解析式相同也不是相等函数。这部分题多为选择题，做题的方法多为排除法。
【注】1.相等函数的图象相同。
2.相等函数的变量符号未必相同，如
:)0y x =≥
和)0y t =≥的定义域相同（都是非负实数）、对应关系相同（都是一个非负实数的算术平方根）、值域相同（都是{}0y y ≥），所以它们两个是相等函数。
再如：
①()2,,x y y =∈-∞+∞，②()2,,x y x =∈-∞+∞，③()2,,u t t =∈-∞+∞，这三个函数虽然表示它们的字母不同，但因为它们的对应关系和定义域相同，所以它们三个都是相等函数。
15.一个常用的相等函数（也是分段函数）：
∵y x ==，
∴y x R =∈和,y x x R =∈是同一函数。
3.1.2函数的表示法1.函数常见的表示法有三种：解析法、列表法和图像法。解析法，就是用数学表达式表示两个变量之间对应关系。列表法，就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系。图像法，就是用图象表示两个变量之间的对应关系。【注】函数的图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等。2.作图通常有列表、描点、连线三个步骤。【注意】如果函数的图象是离散的“点”时，则不能连线或用虚线连结。
3.分段函数
如果一个函数，在其定义域内，对应自变量x 在不同的取值范围内，函数有不同的对应关系（表达式），则称这样的函数为分段函数。
【注】（1）分段函数是一个函数，而不是多个函数。（2）分段函数的定义域是各段自变量取值范围的并集，并且分段函数各段间的定义域的交集为空集。（3）分段函数的值域是各段函数值域的并集。
（4）分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成。
（5）分段函数重要口诀：“分段函数分段画，分段函数分段求”。
4.高中阶段几种常见的分段函数
（1）(),0,0x x f x x x x ≥⎧==⎨-<⎩，图象为：（2）取整函数()[]f x x =（[]x 表示不大于x 的最大整数）。
5.函数解析式的求法，常见的有代入法、配凑法、换元法、待定系数法、构造方
x
y O
程组解方程组法（多用于抽象函数，如已知()12f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭
，求()f x ）。6.对于多层函数()()f f a 或()()()
f f f a 的形式，一般遵循从内往外求值的原则。
7.函数图象的简单变换有平移变换、对称变换、翻折变换。
（1）函数图象的平移变换
①左右平移变换：()y f x =与()
y f x a =+()()00a a a a y f x y f x a ><=−−−−−−−−−−−→=+时，向左平移个单位
时，向右平移个单位②上下平移变换
()()00a a a a y f x y f x a ><=−−−−−−−−−−−→=+时，向上平移个单位
时，向下平移个单位
【注】变换的口诀为：“上加下减，左加右减”。
（2）对称变换
①()()
y y f x y f x =−−−−−−−−−→=-作关于轴对称的图象
②()()
x y f x y f x =−−−−−−−−−→=-作关于轴对称的图象③()()
y f x y f x =−−−−−−−−−→=--作关于原点对称的图象（3）翻折变换
①()()x x x x y f x y f x =−−−−−−−−−−−−−−−−−→=轴上方的图象，保持不变轴下方的图象，沿轴对称地翻折到轴上方。
②()()y y y y y f x y f x =−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→=轴右侧的图象，保持不变
轴左侧的图象去掉，并把轴右侧的图象翻折到轴左侧。3.2函数的基本性质
1.增函数和单调递增区间
一般地，设函数()f x 的定义域为I ，区间D I ⊆：如果12,x x D ∀∈，当12x x <；时，都有()()12f x f x <，那么就称函数()f x 在区间D 上单调递增。
特别地，当函数()f x 在它的定义域上单调递增时，就称它是增函数。图象特点：在区间D 上，沿x 轴正向从左向右看图象呈上升趋势。
2.减函数和单调递减区间
一般地，设函数()f x 的定义域为I ，区间D I ⊆：如果12,x x D ∀∈，当12x x <；时，都有()()12f x f x >，那么就称函数()f x 在区间D 上单调递减。
特别地，当函数()f x 在它的定义域上单调递减时，就称它是减函数。图象特点：在区间D 上，沿x 轴正向从左向右看图象呈下降趋势。3.定义法判断或证明函数单调性的步骤可以归纳为：取值定大小，作差和变形，定号给结论，3个关键步骤。
4.复合函数的单调性
复合函数()()y f u x =的单调性，遵循“同增异减”的原则.其中()y f u =是外层函数，()u u x =是内层函数，有以下几种情况：
①()y f u = ，()u u x = ，则()()y f u x = ；
②()y f u = ，()u u x = ，则()()y f u x = ；
③()y f u = ，()u u x = ，则()()y f u x = ；
④()y f u = ，()u u x = ，则()()y f u x = ；
5.如果函数()y f x =在区间D 上单调递增或单调递减，那么就说函数()y f x =在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做()y f x =的单调区间。
6.函数()y f x =在[],a b 上是增函数
⇔任取[]12,,x x a b ∈，且12x x <；时，都有()()12f x f x <；成立。
⇔任取[]12,,x x a b ∈，且12x x >时，都有()()12f x f x >成立。
⇔任取[]12,,x x a b ∈，且12x x ≠时，都有()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦成立。⇔任取[]12,,x x a b ∈，且12x x ≠时，都有()()
()12120f x f x x x ->-成立。
7.单调区间的端点问题：由于讨论在某一点处的单调性也没有意义，所以书写函数的单调区间时，区间端点的开或闭没有严格规定（可开可闭）。习惯上，定义域中含有端点时写成闭区间（也可写成开区间），但定义域中不含端点时，只能写成开区间。
如（1）：2y x =的递增区间可以写成()0,+∞，也可以写成[)0,+∞，但是，一般都写成[)0,+∞。（2）1y x
=的递减区间，因为定义域中不含0，所以只能写成()(),0,0,-∞+∞。【注】单调区间之间一般都不能“并”，要用逗号或“和”字隔开。
8.函数最值定义
（1）一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①x I ∀∈，都有()f x M ≤；
②0x I ∃∈，使得()0f x M =。
就称M 是函数()y f x =的最大值。
（2）一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①x I ∀∈，都有()f x M ≥；
②0x I ∃∈，使得()0f x M =。
就称M 是函数()y f x =的最小值。

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