初中数学应用题分类与解题方法指导
利用数学知识解决实际问题是中招数学考试的核心之一，尤其课改以来应用题的题目数量越来越多，考察面越来越广。研究2009～2011年三年中招数学考试不难发现，和生活生产实际接轨的问题不仅有填空题、选择题和解答题，而且覆盖代数、几何和统计概率等各数学领域。这三年应用题题量比为6:5:5,分数比为43：27：34。主要考察内容包括：列方程（组）和不等式（组）解决实际问题（确定数量→设计方案→最佳选择），列函数表达式解决实际问题（变量关系→最佳效益），利用三角函数解决实际问题（测量物体高度和宽度），分析统计图表解决实际问题（获取信息→完成图表→计算统计量→说明或估计总体情况）。
一、应用题教学现状及主要表现：
应用题的教学本应该是很有意思的教学环节，是激发学生学习兴趣，提高数学应用意识，培养学生学数学用数学的很好手段和途径。但现实情况下，应用题背景的创设意图，应用题教学的方向和目标，以及应用题教学应有个性化思想，多数被教师的传统教学思想所禁固进而变为单一化、程序化，就题论题现象严重，其包含的生活意义和数学观念被淡化或遗忘。因此，应用题教学难，学生考试中做不好做不完整丢分也就不可避免。主要表现为：（1）教师对应用题
教学偏重于步骤与格式的书写，忽视或淡化从“生活→数学”环节的分析和方法指导，急功近利心切，总想看完题后就得出数量关系，不能有效指导学生掌握“铺路驾桥”的手段和能力。（2）教师在教学中规定的东西太多，分类过细，格式化思想严重。如：大多数教师在讲应用题时，善于把“解、设、列、解、验、答”的过程反复的强调说明，忽视学生的生活经验和数学经验，不能有针对性解决问题；其次分类过多过细的现象比比皆是，单就列方程解有关路程问题就有人分为“追击问题、相遇问题、环跑问题”等，过多增加了学生的记忆负担，冲淡了生活的意义理解，脱节掉轨的现象也就不可避免。（3）学生参与生活实践活动太少，无论家庭还是学校“圈养”学生的现象普遍。学生对生活实际问题了解不多或不深刻，对生活概念和相关俗语理解不透，不能有效连接有关数学知识转化为数学问题。 (4) 客观上讲数学考试应用题阅读量一般比较大，教师缺乏阅读方法指导，学生阅读题目方法单一，多数情况习惯将题目文字全部看完后再分析问题，题中条件在脑子里留下的信息量多互相影响大，不到入手点从而无思路无方法。
二、应用题的分类与解法指导：
如何把应用题进行分类？根据教学环境的不同和所教学生能力的不同，每位教师都可以有自
己的分类方式。但原则上要讲以下两点：（1）强调知识的系统性，体现知识本身所内含的规律和方法。（2）强化背景的生活意义，结合学生的认知水平和学习能力。从这点上考虑，我习惯把应用题分为三类，即：利用方程（组）和不等式（组）解决确定数量问题、方案设计问题和最佳选择问题；利用函数解决变量关系问题、最佳效益问题；利用三角函数解决测量问题；利用统计图表计算统计量说明总体趋势问题。这三类是中学数学应用的核心，也是各级各类考试的重点。当然也存在其它数学知识的应用问题，就课标要求来说了解即可。
数学课程标准指出，应用题的教学的目标分为两个阶段：第一阶段是能够从具体问题中出数量关系并用数学的方式表示数量关系；第二阶段是解数学问题并能验证所得结论是否符合数学意义和生活意义。其中第一阶段是应用题教学的核心，也应该是应用题教学的重点和难点。有效突破第一阶段的教学才能达到实际问题迎刃而解。
课本中利用图象法和表格法寻求实际问题中的“数量关系”比较普遍，图象法能够把问题直观明了化，表格法能够把问题简洁条理化，它们的特点明显。这两种方法均体现了寻“数量关系”的途径和手段，培养了学生“铺路驾桥” 的能力，便于学生发现“数学与生活”关系，进而快
速把生活问题数学化。因此，这两种方法也应该成为应用题教学中关键与重点。除此以外，根据自己的经验我介绍本人在方程（组）、不等式（组）以及函数应用题以及三角函数应用题（即代数应用题和几何应用问题）教学中常用的方法之一“简化转化法”，仅供参考。
(一)“简化转化法”在代数实际问题中的应用：
“简化转化法”是帮助学生寻“数量关系”的一种方法和手段，在代数应用题中基本步骤为：逐句阅读排除干扰信息，寻数字条件；针对数字条件结合实际明确生活含义，用简单文字和数学符合表示存在关系（简化）；设出未知字母或运用题中变量字母，并用字母取代简化式中有关文字（转化）；确定数量关系式，判断数量关系的合理性和准确性。也可用程序表示为：逐句阅读（不是全盘阅读）→数字条件（不含数字排除）→明确意义（生活中的道理和关系）→简化表示（用简单文字和数学符号表示存在关系）→字母转化（用所设未知字母或题中变量字母取代相关文字）→确定关系（方程或不等式或函数式）。
例1、某家电商场计划用32400元购进“家电下乡”指定的产品中的电视机、冰箱、洗衣机共15台。三种家电的进价和售价如下表所示：
          价  格
种  类
进价（元/台）
售价（元/台）
电视机
2000
2100
冰箱
2400
2500
洗衣机
1600
1700
（1）在不超出现有资金的前提下，若购进电视机的数量和冰箱的数量相同，洗衣机的数量不大于电视机数量的一半，商场有哪几种进货方案？
（2）国家规定：农民购买家电后，可根据市商场售价的13%领取补贴。在（1）的条件下，如果这15台家电全部销售给农民，国家财政最多需补贴农民多少元？
分析：第一步“简化” →寻生活中的关系：
此题表格数据有6个，条理很清楚，表中数据不用在简化。除此外，还存在下列数据：
①32400元→生活意义是：不超过这么多钱的前提下，买电视机、冰箱和洗衣机三种商品→存在关系是：电视机总费用+冰箱总费用+洗衣机总费用≤43200；（电费+冰费+洗费≤43200）
②15台→生活意义是：三种商品的总数量→存在关系：电视机数量+冰箱数量+洗衣机数量=15；（电数+冰数+洗数=15）
③电视机的数量和冰箱的数量相同→电视机数量=冰箱数量；（电数=冰数）
④洗衣机的数量不大于电视机数量的一半→洗衣机数量≤电视机数量；（洗数≤电数）
⑤生活中存在的数量关系→购买商品总费用=商品的进价×商品的数量；
第二步“转化” →确定数学中的关系：
问题是有几种设计方案，固需要设某商品的数量，由简化式③④都包含电视机数量可设电视机的数量为x台，将x分别取代②③中“电视机的数量”，则可得出：冰箱的数量为x台，洗衣机的数量为（15-2x）台。再将字母取代④中文字得数学关系：15-2x≤x；结合①⑤和表格中的数据用字母取代文字可得：2000x+2400x+1600(15-2x) ≤43200.分别解这两个不等式问题即可解决。
说明：此种方法不用过多思考，按程序进行简化转化就能达到目标。特别要注意的是所有应用题都存在着生活中等量关系应首先写明。如：利润=售价-进价；进货支出=进价×数量；销售收入=售价×数量；利润率=利润÷进价；利息=利率×本金，打折数=售价÷标价×100，等。
例2、某校八年级举行英语演讲比赛,派了两位老师去学校附近的超市购买笔记本作为奖品.经
过了解得知,该超市的A、B两种笔记本的价格分别是12元和8元，他们准备购买这两种笔记本共30本.
(1)如果他们计划用300元购买奖品,那么能买这两种笔记本各多少本?
(2)两位老师根据演讲比赛的设奖情况,决定所购买的A种笔记本的数量要少于B种笔记本数量的,但又不少于B种笔记本数量的,如果设他们买A种笔记本n本,买这两种笔记本共花费w元.
①请写出w(元)关于n(本)的函数关系式,并求出自变量n的取值范围;
②请你帮他们计算,购买这两种笔记本各多少时,花费最少,此时的花费是多少元?
三角函数表格0到90
分析：第一步“简化”→寻生活中的关系：
本题中存在的生活关系是：购买费用=物品单价×物品数量,还存在的数字信息有：
①12元→生活意义：A种笔记本单价→简化：→A单价=12元；
②8元→生活意义：B种笔记本单价→简化：→B单价=8元；
③30本→生活意义：A、B两种笔记本总和→简化：A数量+B数量=30；
④300元→生活意义：购买A、B两种笔记本总费用→简化：A费用+B费用=300；
⑤A种笔记本的数量要少于B种笔记本数量的,但又不少于B种笔记本数量的→简化：×B数量≤A数量＜×B数量。
第二步“转化” →确定数学中的关系：
第一问“能买两种笔记本各多少本?”，可设能买A、B两种笔记本分别为x元、y元，即A数=x,B数=y,分别代入③取代文字可得：x+y=30；结合①②④和生活中的关系式可知：A费用=12x，B费用=8y,即：12x+8y=300.联合列方程组可得：x=y=15.
第二问中第①问：总费用w=购买A笔记本费用+购买B笔记本费用=A单价×A数量+B单价×B数量=12n+8（30-n）,即：w=4n+240,A数量=n,则由③知B数量=30-n，代入⑤取代文字可得：（30-n）≤n＜(30-n),解得： ≤n＜12.第②问属代数运算略。
（二）“简化转化法”在几何实际问题中的应用：
“简化转化法”在几何应用题中主要体现在“简化图形，转化条件”，其步骤为：逐句阅读条件排除干扰信息，寻线角条件。针对线角条件结合题意去掉实物图案画出数学图形（简化）；分析题意确定所求目标线段，建立含目标线段在内的直角三角形。利用线段和差关系把已知线段长度转化为确定直角三角形的边长，利用平行、垂直把有关角的度数转化为确定直角三角形的锐角度数（转化）；利用三角函数在确定直角三角形中建立未知和已知量关系。也可用程序表示为：逐句阅读（不是全盘阅读）→线角条件（实物图案线角化）→简化图形（不含背景图案）→确定直角三角形（含确定的目标线段）→条件转化（确定直角三角形的边长和角度）→确定关系（利用三角函数定义）。
例3、（9分）如图所示，电工李师傅借助梯子安装天花板上距地面2.90m的顶灯.已知梯子由两个相同的矩形面组成，每个矩形面的长都被六条跳踏板七等分，使用时梯脚的固定跨度为1m，矩形面与地面所成的角α为780.李师傅的身高为1.78m，当他攀升到头顶距天花板0.05～0.20m时，安装起来比较方便.他现在竖直站立在梯子的第三级踏板上,请你通过计算判断他安装是否比较方便?(参考数据:sin780≈0.98，cos780≈0.21,  tan780≈4.70)
分析：第一步：简化→确定背景图中的线角画简易图：
天花板上距地面2.90m的顶灯→线段MN=2.90m；
梯脚的固定跨度为1m→线段BC=1m；
矩形面与地面所成的角α为780→∠ABC=∠ACB=780；
李师傅的身高为1.78m→线段DE=PQ=1.78m；
头顶距天花板0.05～0.20m→线段PM=0.05～0.20m.
矩形面长都被六条跳踏板七等分，竖直站立在梯子的第三级踏板→线段CD：AC=3：7
去掉背景中的实物图案,画数学图如右图.
第二步：转化→寻数学图中的线角关系：

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