初一奥数题一
甲多开支100元，三年后负债600元．求每人每年收入多少？
S的末四位数字的和是多少？
   
4．一个人以3千米/小时的速度上坡，以6千米/小时的速度下坡，行程12千米共用了3小时20分钟，试求上坡与下坡的路程．
5．求和：
6．证明：质数p除以30所得的余数一定不是合数．
8．若两个整数x，y使x2+xy+y2能被9整除，证明：x和y能被3整除．
9．如图1－95所示．在四边形ABCD中，对角线AC，BD的中点为M，N，MN的延长线与AB边交于P点．求证：△PCD的面积等于四边形ABCD的面积的一半．
初一奥数题二
1．已知3x2-x=1，求6x3+7x2-5x＋2000的值．
2．某商店出售的一种商品，每天卖出100件，每件可获利4元，现在他们采用提高售价、减少进货量的办法增加利润，根据经验，这种商品每涨价1元，每天就少卖出10件．试问将每件商品提价多少元，才能获得最大利润？最大利润是多少元？
3．如图1－96所示．已知CB⊥AB，CE平分∠BCD，DE平分∠CDA，∠1＋∠2=90°．求证：DA⊥AB．
4．已知方程组                        的解应为                一个学生解题时把c抄错了，因此得到的解为
求a2＋b2＋c2的值．
5．求方程｜xy｜-｜2x｜+｜y｜=4的整数解．
6．王平买了年利率7.11％的三年期和年利率为7.86％的五年期国库券共35000元，若三年期国库券到期后，把本息再连续存两个一年期的定期储蓄，五年后与五年期国库券的本息总和为47761元，问王平买三年期与五年期国库券各多少？(一年期定期储蓄年利率为5.22％)
7．对k，m的哪些值，方程组                          至少有一组解？
8．求不定方程3x＋4y＋13z=57的整数解．
9．小王用5元钱买40个水果招待五位朋友．水果有苹果、梨子和杏子三种，每个的价格分别为20分、8分、3分．小王希望他和五位朋友都能分到苹果，并且各人得到的苹果数目互不相同，试问他能否实现自己的愿望？
（1）answer
    所以     x=5000(元)．
  所以S的末四位数字的和为1＋9＋9＋5=24．
 
3．因为
 
                                                        a-b≥0，即a≥b．即当b≥a＞0或b≤a＜0时。
4．设上坡路程为x千米，下坡路程为y千米．依题意则
 
有
由②有2x+y=20 ③          由①有y=12-x．将之代入③得  2x+12-x=20．所以　x=8(千米)，于是y=4(千米)．
　5．第n项为
  所以
       
    　
  6．设p=30q＋r，0≤r＜30．因为p为质数，故r≠0，即0＜r＜30．假设r为合数，由于r＜30，所以r的最小质约数只可能为2，3，5．再由p=30q＋r知，当r的最小质约数为2，3，5时，p不是质数，矛盾．所以，r一定不是合数．
  7．设由①式得(2p-1)(2q-1)=mpq，即(4-m)pq+1=2(p+q)．
  可知m＜4．由①，m＞0，且为整数，所以m=1，2，3．下面分别研究p，q．
  (1)若m=1时，有解得p=1，q=1，与已知不符，舍去．
  (2)若m=2时，有因为2p-1=2q或2q-1=2p都是不可能的，故3(2x一4) 9解方程m=2时无解．
  (3)若m=3时，有解之得故　p＋q=8．
  8．因为x2+xy+y2=(x-y)2+3xy．由题设，9｜(x2+xy＋y2)，所以3｜(x2＋xy＋y2)，从而3｜(x-y)2．因为3是质数，故3｜(x-y)．进而9｜(x-y)2．由上式又可知，9｜3xy，故3｜xy．所以3｜x或3｜y．若3｜x，结合3(x-y)，便得3｜y；若3｜y，同理可得，3｜x．
  9．连结AN，CN，如图1－103所示．因为N是BD的中点，所以

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