第12章第2节  一元二次方程的解法1
辅导科目
数学
年    级
九年级
教材版本
人教版
讲义类型
提升版（适用于考试得分率介于60%-80%之间的学员）
教学目的
1. 让学生理解直接开平方、配方及公式法的意义，使学生掌握直接开平方、配方及公式法三种解一元二次方程的方法，并能够使用这三种方法解相应的一元二次方程。
2. 让学生体会转化的数学思想。
重、难点
重点：直接开平方法、配方法、公式法
难点：配二次项系数不为1时的一元二次方程、求根公式的运用
授课时长
建议授课时长2小时
教学内容
【课程导入】
你知道使下列方程成立的x值是多少吗？
（1）x+1=5        （2）|x|+1=5        （3）x²+1=5
【新知讲解】
※知识点一：直接开方法
1. 直接开平方法定义：方程左边是含有的完全平方式，右边是非负数，可以直接降次，转化为两个一元一次方程，分别解两个一元一次方程，得出原方程的解。
2. 直接开平方法的理论根据是：平方根的定义。
  平方根定义：若，则叫的平方根，记作
3. 直接开平方法的使用条件：
①方程左边是含有未知数的完全平方的形式；
②方程右边是非负数。
4. 直接开平方法的各种形式：
；            ;
；  。
5. 直接开方法的步骤：①左边开方；②右边先写“”，再开方。（如果有系数，对系数也要开方）
6. 易错点：①直接开方时，遗漏负的平方根；②遇字母不讨论范围。
题型一：
◎例题
用开方法解下列方程。
（1）       （2）      （3）      （4）
◎练习
用开方法解下列方程。
（1）      （2）      （3）    （4）
题型二：；
◎例题
用直接开平方法解下列方程。
  （1）    （2）    （3）      （4）
2. 在实数范围内定义运算“★”，其规则为a★b=a²﹣b²，则方程（4★3）★x=13的根为_______。
◎练习
1. 用直接开平方法解下列方程。
  （1）    （2）  （3）    （4）
2. 用直接开平方法解下列方程。
  （1）    （2）  （3）    （4）
3. 定义新运算“⊗”，对于非零的实数a，b，规定a⊗b=b²，若2⊗（x﹣1）=3，则x=_______。
4. 在实数范围内定义一种运算“﹡”，其规则为a﹡b=a²﹣b²，根据这个规则，方程（x+1）﹡3=0的解为_______。
5. 定义运算“★”：对于任意实数a，b，都有a★b=a²+b，如：2★4=2²+4=8．若（x﹣1）★3=7，则实数x的值是_______。
题型三：
◎例题
方程的根是（    ）
A.,        B.,    C.x1=,      D.
◎练习
1. 用直接开平方的方法解方程做法正确的是（  ）
A.            B．      C．        D．
2. 用直接开平方的方法解方程做法正确的是（  ）
A.          B.        C.      D.
3. 方程的根为    　。
4. 方程的解是    。
题型四：用直接开平方法判断方程中字母参数的取值范围
通常先把方程化为“左平方，右常数”的形式，且把系数化为1，再根据一元二次方程有无解来求方程中字母参数的取值范围.
◎例题
若关于x的一元二次方程x²﹣k=0有实数根，则（  ）
A．k＜0    B．k＞0    C．k≥0    D．k≤0
◎练习
1. 已知一元二次方程mx²+n=0（m≠0，n≠0），若方程有解，则必须（  ）
A．n=0    B．m，n同号    C．n是m的整数倍    D．m，n异号
2. 如果关于x的方程mx²=3有两个实数根，那么m的取值范围是　    　．
§知识小结
                                                                                 
                                                                                 
                                                                                 
※知识点二：配方法
1. 配方法的含义
通过配方，使方程的左边化为含有未知数完全平方式，方程右边是非负数，再利用直接开平方法进行求解一元二次方程的方法。即把一个一元二次方程变形为的形式（其中m、n都是常数），如果n≥0，再通过直接开平方法求出方程的解，那么这种解一元二次方程的方法叫做配方法.
2. 配方法的依据
配方法解一元二次方程的依据是完全平方公式及直接开平方法．
3．配方法的步骤
①方程化为一般形式：把一元二次方程化为ax²+bx+c=0（a≠0）   
②二次项系数化为1：方程左右同时除二次项系数
③移项：常数项移到等式右侧
④配方：等号两边同时加上一次项系数一半的平方，把原方程变为(≥0)的形式．
⑤直接开平方：开方后化为两个一元一次方程
题型一：配方
◎例题
1. 一元二次方程，用配方法解该方程，配方后的方程为（    ）
  A.      B.    C.        D.   
2. 把方程化成的形式，则m，n的值是（  ）
  A．2，7              B．﹣2，11          C．﹣2，7        D．2，11
◎练习
1. 将二次三项式配方后得（    ）
  A．        B．      C．      D．
2. 将一元二次方程配方后为,则b,c的值分别为（  ）
  A.3，-7            B.-3，7            C.-3，-7          D.3，-2
3. 把方程化为的形式，则m的值是（  ）
  A．2                  B．﹣1              C．1                D．2
题型二：配方法解方程
◎例题
用配方法解方程
解： ①方程两边同时除以2得__________
②移项得__________________
③配方得__________________
④方程两边开方得__________________
⑤x₁=__________,x₂=__________
◎练习
用配方法解下列方程。
  （1）          （2）        （3）2x²+4x-3=0
题型三：配方法的应用
配方法是求代数式的最值问题中最常用的方法.基本思路是：把代数式配方成完全平方式与常数项的和，根据完全平方式的非负性求代数式的最值.
代数式ax²+bx+c=0(a≠0)配成a(x+m)²+n后，若a>0，则当x= -m时，代数式取得最小值n；若a<0，则当x=-m时，代数式取得最大值n
◎例题
1. 试用配方法证明：代数式的值不小于1。
2. 阅读下面的材料并解答后面的问题：
        小李：能求出x²+4x﹣3的最小值吗？如果能，其最小值是多少？
        小华：能．求解过程如下：
        因为x²+4x﹣3=x²+4x+4﹣4﹣3=（x²+4x+4）﹣（4+3）=(x+2)²﹣7
        而(x+2)²≥0，所以x²+4x﹣3的最小值是﹣7．
        问题：（1）小华的求解过程正确吗？
            （2）你能否求出x²﹣3x+4的最小值？如果能，写出你的求解过程。
3. 已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x²-4x+3=0的解，求这个三角形的周长。
◎练习
1. 试用配方法说明的值恒大于0。
2. 阅读下面的解答过程，求y²+4y+8的最小值。
        解：y²+4y+8=y²+4y+4+4﹣（y+2）²+4
            ∵（y+2）²≥0
            ∴（y+2）²+4≥4
            ∴y²+4y+8的最小值为4
            仿照上面的解答过程，
          （1）求m²+m+4的最小值；
          （2）求4﹣2x﹣x²的最大值；
          （3）求x²﹣12x+41的最小值。
3. 若a、b、c是△ABC的三边，且a²+b²+c²+50=6a+8b+10c，判断这个三角形的形状。
§知识小结
                                                                                 
                                                                                 
                                                                                 
【课堂检测】
1．方程x2－25＝0的解是 (  )
A．x1＝x2＝5                B．x1＝x2＝25
C．x1＝5，x2＝－5            D．x1＝25，x2＝－25
2．如果x＝－3是一元二次方程ax2＝c的一个根，那么该方程的另一个根是(  )
A．3            B．－3            C．0            D．1
3．若2x2＋3的值与2x2－4的值互为相反数，则x的值为(  )
A.              B．2              C．±2          D．±
4．用配方法解方程x2－8x－20＝0，下列变形正确的是 (  )
A．(x＋4)2＝24                B．(x＋8)2＝44
C．(x＋4)2＝36                D．(x－4)2＝36
5．用配方法解下列方程，其中应在方程左、右两边同时加上4的是(  )
A．x2－2x＝5                  B．x2－8x＝5
C．x2＋4x＝5                  D．x2＋2x＝5
6．用配方法解方程2x2－4x＋1＝0时，配方后所得的方程为(  )
A．(x－2)2＝3              B．(x－2)2＝
C．(x－1)2＝              D．2(x－1)2＝
7．把方程2x2－4x－1＝0化为(x＋m)2＝n的形式，则m，n的值是(  )
A．m＝2，n＝              B．m＝－1，n＝
C．m＝1，n＝4              D．m＝n＝2
8．一元二次方程(x＋6)2＝16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是
x＋6＝4，则另一个一元一次方程是____________．
9．方程(x＋3)2－4＝0的解为__________________．
10．若关于x的一元二次方程x2＋mx＋2n＝0有一个根是2，则m＋n＝________．
11．若关于x的一元二次方程(a＋1)x2＋4x＋a2－1＝0的一个根是0，则a＝________．
12．若关于x的一元二次方程ax2＝b(ab>0)的两个根分别是m＋1与2m－4，则＝________．
13. 用开平方法解方程
（1）2x2﹣8=0；（2）（2x﹣3）2=25．（3）（2x+3）2﹣25=0  （4）9（x+1）2=4（x﹣2）2．
14. 用配方法解下列方程：
(1)x2－2x＝1；  　(2)x2＋5x＋2＝0；  (3)x2＋9＝6x；  　(4)(x－1)(x－3)＝8.
15. 当x取什么值时，代数式x2－x－6的值与代数式3x－2的值相等？
16. 已知当x＝2时，二次三项式x2－2mx＋8的值等于4，那么当x为何值时，这个二次三项式的值是9?
17. 阅读理解阅读下面求y2＋4y＋8的最小值的解答过程．
解：y2＋4y＋8＝y2＋4y＋4＋4＝(y＋2)2＋4.
∵(y＋2)2≥0，
∴(y＋2)2＋4≥4，
∴y2＋4y＋8的最小值为4.
仿照上面的解答过程，求x2－2x＋3的最小值．
【课堂总结】
                                                                               
                                                                                                                                                               
                                                                                                                                                                 
                                                                                                                                                               
                                                                                                                                                               
                                                                                                                                                               
尝试画出本次课所学知识结构图。
【课后作业】
1．一元二次方程x2－4＝0的解为(    )
A．x＝2    B．x＝－2  C．x1＝，x2＝－  D．x1＝2，x2＝－2
2．若方程x2＝m的解是有理数，则实数m不能取下列四个数中的(  )
A．1    B．4    C.    D.
3．一元二次方程(x＋6)2＝16可化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x＋6＝4，则另一个一元一次方程是(    )
A．x－6＝4    B．x－6＝－4    C．x＋6＝4    D．x＋6＝－4
4．一元二次方程(x＋6)2－9＝0的根是(      )
A．x1＝6，x2＝－6  B．x1＝x2＝－6  C．x1＝－3，x2＝－9  D．x1＝3，x2＝－9
5．用配方法解下列方程时，配方错误的是(  )
A．x2＋2x－99＝0化为(x＋1)2＝100    B．2x2－7x－4＝0化为(x－)2＝
C．x2＋8x＋9＝0化为(x＋4)2＝25    D．3x2－4x－2＝0化为(x－)2＝
6．如果x＝－3是一元二次方程ax2＝c的一个根，那么该方程的另一个根是(  )
A．3        B．－1      C．0      D．1
7．若(a2＋b2－3)2＝25，则a2＋b2等于(  )
A．8或－2    B．－2      C．8        D．2或－8
8．关于x的一元二次方程(x－a)2＝b的解，说法正确的是(  )
A．x1＝，x2＝－                  B．当b≥0时，x1＝a＋，x2＝a－
C．当b≥0时，x1＝－a＋，x2＝－a－ D．当b≤0时，x1＝－a＋，x2＝－a－
9．已知方程x2－6x＋q＝0可以配方成(x－p)2＝7的形式，那么x2－6x＋q＝2可以配方成下列的(        )
A．(x－p)2＝5      B．(x－p)2＝9      C．(x－p＋2)2＝9      D．(x－p＋2)2＝5
10．一元二次方程x2－8x－1＝0配方后可变形为(  )
A．(x＋4)2＝17    B．(x＋4)2＝15    C．(x－4)2＝17    D．(x－4)2＝15
11．将一元二次方程x2－6x－5＝0化为(x＋a)2＝b的形式，则b等于(  )
A．－4      B．4        C．－14      D．14
12．一元二次方程x2－2x－1＝0的解是(  )
A．x1＝x2＝1                          B．x1＝1＋，x2＝1－
C．x1＝－1＋，x2＝－1－          D．x1＝1＋，x2＝－1－
13．若一元二次方程ax2＝b(ab>0)的两个根分别是m＋1与2m－4，则＝______．
14．若(x2＋y2－1)2＝4，则x2＋y2＝______．
15．用配方法解方程3x2－6x＋1＝0时，方程可变形为(x－________)2＝________．
16．若由ax2＋12x＋1＝0可得x＋＝±，则a＝________．
17．用直接开平方法解方程：
(1) 4(x－2)2－36＝0；          (2) x2＋6x＋9＝25；
(3) 4(3x－1)2－9(3x＋1)2＝0.   (4) (x－3)2－9＝0;
18．用配方法解下列方程：
(1)2x2＋7x－4＝0；              (2)3x2－6x＝8；
(3)6x2－x－12＝0;                (4)3(x－1)(x＋2)＝x＋4.
19．当x为何值时，代数式2x2＋7x－1的值与代数式x2－19的值互为相反数？
3(2x一4) 9解方程20. 已知方程(x－1)2＝k2＋2的一个根是x＝3，求k的值和方程的另一个根．
21．已知关于x的一元二次方程(m2－1)x2＋mx－3－4m＝0有一个根是1，求m的值．
22. 对于二次三项式x2－10x＋36，小强同学作出如下结论：无论x取什么实数，它的值都不可能小于11，你是否同意他的说法？请说明理由．
23. 阅读理解配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来解决很多问题．因为3a2≥0，所以3a2＋1就有最小值1，即3a2＋1≥1，只有当a＝0时，才能得到这个式子的最小值1.同样，因为－3a2≤0，所以－3a2＋1有最大值1，即－3a2＋1≤1，只有当a＝0时，才能得到这个式子的最大值1.
(1)当x＝________时，代数式－2(x－1)2＋3有最________(填“大”或“小”)值为________．
(2)当x＝________时，代数式－2x2＋4x＋3有最________(填“大”或“小”)值为________．
分析：－2x2＋4x＋3＝－2(x2－2x＋________)＋________＝－2(x－1)2＋________．
(3)如图，已知矩形花园的一边靠墙，另外三边用总长度是16 m的栅栏围成，当花园与墙垂直的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？(假设墙足够长)

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