专题10  切线问题
一、考情分析
函数与导数一直是高考中的热点与难点, 我们知道二次函数是重要的且具有广泛应用的基本初等函数,，学生对此已有较为全面、系统、深刻的认识,
数，使得我们可以利用二次函数研究三次函数的图象与性质，二、解题秘籍
(一) 三次函数的图象与性质
三次函数3
2
()(0)f x ax bx cx d a =+++≠的图象有六种,10010
200
200
f x ()x
f x ()10010
200
200
f x ()x
10010
200
0200f x ()x
f x ()对函数3
2
()(0)f x ax bx cx d a =+++≠进行求导：()f x '单调性与导函数的正负有关，所以容易发现导函数中的参数
的图象应为上图中的（1）、（3）、（5）三种情况；而当a 为负时，原函数的图象则为（2）、（4）、（6）三种情况.当0∆>时，二次方程()0f x '=有两相异实根12,x x ，且在12,x x 的两边()f x '的符号相反，故函数()f x 存在两个极值点，图象为上图中的（3）、（4）两种；当0∆=时，二次方程()0f x '=有两相等实根，且在根的两边
()f x '的符号相同，这时函数()f x 只存在驻点（但不是极值点），函数的图象为上图中（1）、（2）两种，当0
∆<；时；方程()0f x '=无实根,()f x '的值恒为正（或负），函数的图象为上图中的（5）、（6）两种. 仔细观察图象，我们还不难发现三次函数是中心对称曲线，这一点可以得到进一步的验证：设
n x m f x m f 2)()(=++-，得
n
d x m c x m b x m a d x m c x m b x m a 2])()()([])()()([2323=++++++++-+-+-整
理
得
,
n d mc bm am x b ma 2)2222()26(232=+++++.据多项式恒等对应系数相等，可得a
b
m 3-
=且d mc bm am n +++=23，从而三次函数是中心对称曲线，且由)(m f n =知其对称中心))(,(m f m 仍然在曲
线上.而a
b
m 3-
=是否具有特殊的意义？对函数)(x f 进行两次求导,b ax x f 26)(+=''再令等于0，得a
b
x 3-
=，恰好是对称中心的横坐标，这可不是巧合，因为满足0)(=''m f 的m 正是函数拐点的横坐标，这一性质刚好与图象吻合.除此，三次函数的对称中心还有一个很少引起注意的性质---过三次曲线的对称中心且与该三次曲线相切的直线有且仅有一条；而过三次曲线上除对称中心外的任一点与该三次曲线相切的直线有二条.
由于三次曲线都是中心对称曲线，因此，将其对称中心移至坐标原点便可将三次函数的解析式简化为
bx ax x f +=3)(.
若M （x 1,y 1）是三次曲线bx ax x f +=3
)(上的任一点，设过M 的切线与曲线y=f （x ）相切于（x 0,y 0），则切线方程为))((000x x x f y y -'=-，因点M 上此切线上，故))((01001x x x f y y -'=-，又
13110300,bx ax y bx ax y +=+=，所以))(3()(012
0030131x x b ax bx ax bx ax -+=+-+，整理得：
0)2()(10210=+-x x x x ，解得,10x x =或2
1
0x x -
=. 综上所述，当点M 是对称中心即01=x 时，过点M 作曲线的切线切点是惟一的，且为M，故只有一条切线；当点M 不是对称中心即01≠x 时，过点M 作曲线的切线可产生两个不同的切点，故必有两条切线，其中一条就是以
M 为切点（亦即曲线在点M 处）的切线.
由此可见，不仅切线与曲线的公共点可以多于一个，而且过曲线上点的切线也不一定惟一求以曲线上的点(x 0,f (x 0))为切点的切线方程的求解步骤：①求出函数f (x )的导数f ′(x )；②求切线的斜率f ′(x 0)；③写出切线方程y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)，并化简．
【例1】（2021届贵州省凯里市高三三模）已知函数()3
32f x x kx =-+,k ∈R .
（1）若2x =-是函数()f x 的极值点，求k 的值及()f x 的单调区间；
（2）若函数()f x 在[]0,2上有且仅有
2个零点，求()f x 在[]0,2上的最大值()g k . 【分析】（1）由 ()233f x x k '=-，得()21230f k '-=-=，解得4k =,
()f x 的单调增区间是(),2-∞-和()2,+∞，单调减区间为()2,2-.
（2）()()
2
3f x x k '=-,
①当0k ≤时,()()
2
30f x x k '=-≥恒成立,
()f x ∴在[]0,2上单调递增，最多只有1个零点，不符合条件.
②当4k ≥时,()f x 在[]0,2上单调递减，最多只有1个零点，不符合条件. ③()f x
在(上递减,
在
)
2上递增,
要使函数()f x 在区间[]0,2上有且仅有2个零点，必有
()(0)0,
0,20,f f f ≥⎧⎪⎪<⎨
⎪≥⎪⎩
即
320,320,8620,
k ≥⎧⎪⎪-<⎨⎪
-+≥⎪⎩解得513k <≤, 当()()200f f -≥，即4
13
k <≤
时, 由()f x 的单调性可知()()max 2106f x f k ==-, 同理，当()()200f f -<，即
45
33
k <≤时,()()max 02f x f ==, ()f x ∴在[]0,2上的最大值()4106,1,3
452,.
33k k g k k ⎧
-<≤⎪⎪=⎨⎪<≤⎪⎩33岁学霸第12次高考
(二)三次函数的零点
1.若三次函数()f x 没有极值点，则()f x 有1个零点；
2. 三次函数()f x 有2个极值点12,,x x ，则()()120f x f x >时()f x 有1个零点；()()120f x f x =时()f x 有2个零点；()()120f x f x <；时()f x 有3个零点.
【例2】（2022届四川省内江市高三零模）已知函数()3
13
f x x tx t =++．
（1）讨论函数()f x 的单调区间；
（2）若函数()f x 有三个不同的零点1x 、2x 、3x ，求t 的取值范围，并证明：123x x x ++． 【分析】（1）2()f x x t =+'
①当0t 时,()0f x '，则()f x 在R 上单调递增，无递减区间；
②当0t <；时, ()f x 在(上单调递减，在(,)∞∞-+上单调递增 （2）由（1）知函数f (x )有三个零点，则0t <
∵()f x 在(上单调递减，在(,)∞∞-+上单调递增
∵()f x 的极大值为2(3f t =-且极大值大于0，极小值为2
3f t =+
∵()f x 有三个不同的零点123,,x x x ,∵2
03
f t =+
解得94t <-，故t 的取值范围为9,4⎛
⎫-∞- ⎪⎝
⎭．
又∵(0)0f t =<，当x →+∞时，有()f x →+∞，当x →-∞时，有()f x →-∞．
∵设123x x x <<，由零点存在性定理知1230x x x <<<．
∵12x x +<
又∵3
1233
f t t t =++=-
(0f =>
3x <,
因此123x x x ++．
(三)过平面上一点P 作三次函数图象的切线的条数
此类问题一般是先设出切点()()
,t f t ，写出曲线()f x 在x t =处的切线方程，把点P 坐标代入，整理出一个关于t 的三次方程，该方程实根个数就是切线条数.
【例3】（2022届新疆伊宁市高三上学期第一次月考）已知函数32()f x ax bx =-在2x =处取得极小值-4. （1）求实数a ,b 的值
（2）若过点()1,0-是否可作曲线()y f x =的三条切线，并说明理由
【分析】(1)由'(2)1240
(2)844f a b f a b =-=⎧⎨
=-=-⎩,a=1,b=3.经验证()f x 在2x =处取得极小值-4. 所以a=1,b=3.
（2）设过()1,0-点切线的切点为()00,x y ，则32
0003y x x =-切线的斜率20036k x x =-,
所以切线的方程为()
2
000036()y y x x x x -=--,
若切线过点()1,0-，则方程为()
2
000036(1)y x x x -=---①,
将32
0003y x x =-代入①，则()
32200000(3)36(1)x x x x x --=---,
∵()
322
00000336(1)x x x x x -+=---
3
00260x x -+=,∵()
200
230x x --=,
∵00x =,0x =所以切点有3个,
所以过点()1,0-可作曲线()y f x =的三条切线.  (四)三次函数与韦达定理的交汇
由于三次函数的导数是二次函数，而二次函数常与韦达定理交汇，故有时可以用定理交汇处理三次函数问题 【例4】设21,x x 是函数)0(2
3)(22
3>-+=a x a x b x a x f 的两个极值点，且2||||21=+x x  (1)求a 的取值范围；  (2)求证：9
3
4||≤
b . 【分析】(1)2
2')(a bx ax x f -+=,'
12,()0x x f x =是的两个实根，又a ＞0
a b x x a x x -=+<-=2121,0,a a b x x x x 4||||||2
2
2121+=-=+
由2||||21=+x x 得22232
244444(1)b a b a a a a a
+==-=-，即
1002≤<∴≥a b

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