长 方 体 和 正 方 体
专项一 长方体和正方体
例1   有大、中、小三个正方体水池，它们的内边长分别为5m、3m、2m。把两堆碎石分别沉没在中、小水池里，两个水池水面分别上升了6cm和4cm。如果将这两堆碎石都沉没在大水池里，大水池的水面上升了多少厘米？
分析   长方体和正方体这部分知识是学生首次比较系统全面地接触立体图形，掌握长方体和正方体的特征、表面积、体积的知识，并灵活运用，可以解决生活中的很多数学问题，发展空间观念。
中、小水池中升高的水的体积分别等于这两堆碎石的体积，则大水池中升高的水的体积将等于两堆碎石的体积之和。从而用大水池中升高的水的体积（两堆碎石体积之和）÷大水池的底面积＝大水池水面升高的高度。
解答   （300×300×6＋200×200×4）÷（500×500）＝2.8（cm）
答：大水池的水面上升了2.8cm。
反馈练习
1.一个长方体盒子，上底面积是108cm²，前面面积是84cm²，左面面积是63cm²，且长宽高均为整厘米数。那么这个长方体的体积是多少立方厘米？
2.学校要新盖两个少先队活动室（地基的形状和长、宽如图所示）。为了打墙基，需要挖1m宽，0.5m深的沟。一共要挖土多少方？（1方＝1m³）
3.将一个棱长为2m的正方体木块分别沿长、宽、高三个方向锯开1、2、3次，得到24个长方体木块。这24个长方体木块的表面积之和是多少平方米？
4.有一个长80cm、宽60cm、高30cm的长方体木箱，如图这样用绳子捆绑时，绳子的总长是多少分米？（接头处忽略不计）
5.一个长方体，前面和上面的面积之和是272cm²，这个长方体的长、宽、高均以厘米为单位且都是质数。这个长方体的体积是多少？

参考答案
1.108＝12×9,84＝12×7,63＝7×9  12×9×7＝756（cm）
2.底面积：20×8－（20－1×3）×（8－1×2）＝58（m²）
共挖土的体积：58×0.5＝29（m³）＝29（方）
提示：柱体的体积等于底面积乘高，则一共要挖土的体积＝阴影底面积x沟的深度。
3.2×2×6＋2×2×2×（1＋2＋3）＝72（m²）   提示：每锯1次增加2个面，锯6次共增加了12个面，用正方体的表面积加上新增加的面积。
4.80×6＋60×8＋30×10＝1260（cm）＝126dm  提示：先计算出这6股绳子的长度分别相当于几个长、宽、高。（1）相同的2股绳长相当于4个长和4个高；（2）相同的3股绳长相当于
6个宽和6个高；（3）另一股绳长相当于2个长和2个宽，则绳总长相当于6个长、8个宽和10个高。
5.设长、宽高分别是acm,bcm,ccm，则ab＋ac＝272，a（b＋c）＝24×17。因为a,b,c都是质数，故a＝2或17。
（1）当a＝2时，b＋c＝136,136＝5＋131＝23＋113＝29＋107＝47＋89＝53＋83
（2）当a＝17时，b＋c＝16,16＝3＋13＝5＋11，则长方体体积可以为2×5×131＝1310（cm³），2×23×113＝5198（cm³），2×29×107＝6206（cm³），2×47×89＝8366（cm³），2×53×83＝8798（cm³），17×3×13＝663（cm³），17×5×11＝935（cm³）
33岁学霸第12次高考提示：根据长×高＋长×宽＝272和质数的特点来求解。

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