武汉理工大学考试试题纸（ A 卷）
课程名称 概率论与数理统计
专业班级
一．选择题（每题3分，共15分）
1.设φ=>>B A B P A P ,0)(,0)(，则（ ） （A ）B A 与互相对立。（B ）B A 与相互独立。（C ）B A 与互不相容。（D ）B A 与相
容。
2．设B A 与为二个对立事件，,0)(,0)(>>B P A P 则 （ ）
（A ）0)/(>A B P ，（B ）
)
()/(A P B A P =，（C ）
)/(=B A P ，（D ）
)()()(B P A P AB P =。
3．设
A 与
B 是两个随机事件，且0)(=AB P ，则 （ ）
（Ａ）A 与B 互不相容，（Ｂ）A 与B 互相独立，（C ）()0P A =或()0P B =，（Ｄ）
)()(A P B A P =-
４．设
n X X X ,,,21 是从总体X ～),(2σu N 中抽取的样本，其中u 未知，0>σ已知，
X 、2S 分
别为样本均值和样本方差。则下列各式中能作为统计量的是（ ） （Ａ）
21
)(u X n
i i -∑=，
（Ｂ）2
2)1(σS n -，（Ｃ）n u
X σ
-，（Ｄ）
3 dn S
u
X - ５．若随机变量)3,1(~2N X
，
则EX 与DX 分别为 ( )
)(A 1，3； )(B 3，1； )(C 1，9； )(D 9，1；
二．填空题每题（3分，共15分）
1．设随机变量)2.0,10(~B X ，则=EX ______
2．设随机变量)()(),4,1(~C X P C X P N X >=<；且，则常数C =______
3. 设随机变量X 与Y 互相独立，且1,2==DY DX ，则=--)213(Y X D ______
4. 袋中有10只球，其中有4只是红球，从中任取2只球，则其中恰有一只红球的概率为_____
5．设X 为总体X 之样本n X X ,,1 的样本均值，2
)(σ=X D ，则=⎪⎭
⎫
⎝⎛-∑=n i i X X E 12)(
三．（9分）已知8.0)(,6.0)(,5.0)(===A B P B P A P ，求)(AB P 及)(B A P ⋃。 四．（9分）已知41)()(==B P A P ，21)(=C P ，8
1)(=AC P ，
0)()(==AB P BC P 。
五．（9分）设工厂A 和B 的产品的次品率分别为1%和2%，现从A 、B 产品分别占60%和40%的产
品中随机抽取一件，发现是次品。求次品属于A 生产的概率。 六．（9分）设二维随机变量),(Y X 在区域}0,1|),{(2
2
>≤+=x y x y x G 上服从均匀分布。
（1）求),(Y X 的联合分布密度及边际密度。（2）讨论Y X ，的独立性。 七．（9分）设),(Y X 的联合分布律为：
确定数A ，B ，使随机变量与相互独立。 八．（9分）设随机变量X 与Y 独立，其分布密度分别为：
⎩⎨⎧≤≤=其它,01
0,1)(x x f X ；⎩
⎨⎧>=-其它,00,)(y e y f y Y
（1）求X T 2=的分布； （2）求Y X Z +=2的分布密度。
九。（9分）设n X X X ,,,21 是来自总体X 的样本，且总体X 的分布密度为：
⎩⎨⎧<<+=其它,
01
0,)1()(x x x f θθ
其中1->θ，求θ的矩估计和极大似然估计。
十．（7分）设随机变X 和Y 同分布,X 的分布密度为 ⎩⎨
⎧<<=其它
,
0,
20)(2
x kx x f (1)求
常数k ；
（2）已知事件{}a X A >=和{
}a Y B >=独立，且4
3
)(=⋃B A P , 求常数a 。
A 卷
一．1．C 2.C 3.D 4.B 5.C 二． 1．2 2. 1 3.11 4.
15
8 5.()2
1σ-n 三．()()()44.08.05.0/ =⨯==B A P A P AB P 分
()()()()7.04.06.05.0=-+=-+=⋃AB P B P A P B A P …… 9分 四． ∵AB ABC ⊂ ∴()0=ABC P …… 3分
()()()()()()()()8
781214141=-++=
+---++=⋃⋃⇒ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P …… 9分 五．1）设B=｛恰好取到一只一等品｝
()35.080
28
==
B P ……4分 2）i A =｛取到第i 个箱子｝ i =1，2
()()()()()2211//A B P A P A B P A P B P += …… 7分 =4.030
18
5.015105.0=⨯+⨯
…… 9分
六．1）()y x , 分布密度()=y x f .
2/ x .(x,y )∈G
…… 2分
0 (x,y )∈G
1.1)()()dy y x f x f x ⎰+∞
∞
-
=
,
当10<<x 时 ()π
2
111422
2
x dy x x f x x x -=
=
⎰
--- 其它 ()=x f x 0 ……4分 1.2）()()dx y x f y f Y ⎰+∞
∞
-
=
,
当11<<-y ()210
12
2
2
y dx y f y y -=
=
⎰
-π
π
其它 ()0=y f y ……6分
2) ()()()y f x f y x f y x ≠, ∴ x 与y 不独立 ……9分 七． 124
11218381=+++++B A (1) ……3分
若x 与y 独立, 应有:()()()212,1=⋅====y P x P y x P
⎪⎭
⎫
⎝⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⇒
A 12124112181121 (2) ……6分
综合(1)(2)有:41=
A 8
1
=B ……8分 经检验知当41=A ，8
1
=B 时有:0≥ij p ,
1213
1
=∑∑==i j ij
p
且
{}{}{}j i j i y y p x x p y y x x p =⋅====, 2,1=i 3,2,1=j ……9分
八．1)2t x =
()=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴2
1
2t f t f x T 1/2 0≤t ≤2 其它: ()0=t f T ……3分 2)Y T Y X z +=+=2
()()()dy y f y z f z f Y T z -=
⎰
+∞
∞
- 当0≤z-y ≤2 ()2
1
=
-y z f T , 其它()0=-y z f T ∴2.1) 当z ≤0时 ()0=z f z 2.2) 当0≤z ≤2时 ()()z
y z
z e dy e z f ---==
⎰121210
2.3) 当z>2时 ()()121212
-==
--⎰e e dy e z f z y z
z ……9分 九．（1）()()2
1
11
1
++=+==
++∞
∞
-⎰
⎰ϑϑϑϑdx x dx x xf EX ……3分 令 21
++=ϑϑx x
x --=⇒∧112ϑ ……5分
（2）似然函数为 ()()ϑ
ϑϑ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
+=∏=n
i i n x L 11 1<<i x o n i ,2,1 =
()()∑=++=n
i i x n L 1
ln 1ln ln ϑϑϑ ……7分
()0ln 1ln 1
=++=∑=n i i x n
d L ϑϑϑϑ ϑϑ∑=∧
--=⇒n
i i
x
n
1
ln 1 ……9分
十．（1）()k dx kx dx x f 3812
2
===
⎰⎰+∞∞- ……2分 8
3
=⇒k ……3分 （2）
()()
B P A p B A p )(14
3
-=⋃= ……5分 ()()
{}()8833
20
ααα
α
=
==≤==⎰⎰∞-dx x dx x f X P B P A P 3
2
348143=⇒⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⇒αα ……7分
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