2023学年高考数学模拟测试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知函数2()e (2)e x
x f x t t x =+--（0t ≥），若函数()f x 在x ∈R 上有唯一零点，则t 的值为（    ）
A ．1
B ．
1
2
或0 C ．1或0 D ．2或0
2．某工厂只生产口罩、抽纸和棉签，如图是该工厂2017年至2019年各产量的百分比堆积图（例如：2017年该工厂口罩、抽纸、棉签产量分别占40%、27%、33%），根据该图，以下结论一定正确的是（    ）
A ．2019年该工厂的棉签产量最少
B ．这三年中每年抽纸的产量相差不明显
C ．三年累计下来产量最多的是口罩
D ．口罩的产量逐年增加
3．已知12,F F 是双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左右焦点，过1F 的直线与双曲线的两支分别交于,A B 两点（A 在右
支，B 在左支）若2ABF ∆为等边三角形，则双曲线的离心率为（    ） A 3B 5C 6
D 74．若复数()()2a i 1i (i ++为虚数单位)在复平面内所对应的点在虚轴上，则实数a 为（  ） A ．2-
B ．2
C ．1
2
-
D ．
12
5．要得到函数sin 23y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的图象，只需将函数sin 2y x =的图象（    ）
A ．向右平移6
π
个单位 B ．向右平移3
π
个单位 C ．向左平移
3
π
个单位 D ．向左平移
6
π
个单位 6．如图所示点F 是抛物线2
8y x =的焦点，点A 、B 分别在抛物线2
8y x =及圆22
4120x y x +--=的实线部分上
运动， 且AB 总是平行于x 轴， 则FAB ∆的周长的取值范围是（    ）
A ．(6,10)
B ．(8,12)
C ．[6,8]
D ．[8,12]
7．已知向量(2
2cos 3m x =，()1,sin2n x =，设函数()f x m n =⋅，则下列关于函数()y f x =的性质的描述正确
的是(  )
A ．关于直线12
x π
=
对称
B ．关于点5,012π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称 C ．周期为2π
D ．()y f x =在,03π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
上是增函数 8．下列函数中，值域为R 且为奇函数的是（    ） A ．2y x =+
B ．y sinx =
C ．3y x x =-
D ．2x y =
9．设集合{
}2
560A x x x =--<，{}
20B x x =-<，则A B =(    )
A ．{}
32x x -<< B ．{}
22x x -<< C ．{}62x x -<<
D ．{}
12x x -<<
10．设函数()()ln 1f x x =-的定义域为D ，命题p ：x D ∀∈，()f x x ≤的否定是（    ） A ．x D ∀∈，()f x x > B ．0x D ∃∈，()00f x x ≤ C ．x D ∀∉，()f x x >
D ．0x D ∃∈，()00f x x >
11．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()11f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()2x
f x m =-，则()2019f =
3 d（    ） A ．1 B ．-1
C ．2
D ．-2
12．函数
的图象可能是下列哪一个？（    ）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．如图是一个几何体的三视图，若它的体积是
，则
_________ ，该几何体的表面积为 _________．
14．《九章算术》第七章“盈不足”中第一题：“今有共买物，人出八，盈三钱；人出七，不足四，问人数物价各几何？”借用我们现在的说法可以表述为：有几个人合买一件物品，每人出8元，则付完钱后还多3元；若每人出7元，则还差4元才够付款.问他们的人数和物品价格？答：一共有_____人；所合买的物品价格为_______元．
15．若函数()1sin 262f x x πω⎛
⎫=+- ⎪⎝
⎭在区间[]0,π上恰有4个不同的零点，则正数ω的取值范围是______.
16．在正方体1111ABCD A B C D -中，已知点P 在直线1AB 上运动，则下列四个命题中：①三棱锥1D C BP -的体积不变；②1DP D C ⊥；③当P 为1AB 中点时，二面角11P AC C -- 3
④若正方体的棱长为2，则DP BP +842+____________（写出所有说法正确的编号） 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，//EF AC ，1EF =，060ABC ∠=，CE ⊥平面ABCD ，3CE =，2CD =，G 是DE 的中点.
（Ⅰ）求证：平面//ACG 平面BEF ；
（ⅠⅠ）求直线AD 与平面ABF 所成的角的正弦值.
18．（12分）已知椭圆：2222:1(0)x y C a b a b
+=>>的四个顶点围成的四边形的面积为15原点到直线1x y a b +=的
30
.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）已知定点(0,2)P ，是否存在过P 的直线l ，使l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且以||AB 为直径的圆过椭圆C 的左顶点？若存在，求出l 的方程：若不存在，请说明理由.
19．（12分）市民小张计划贷款60万元用于购买一套商品住房，银行给小张提供了两种贷款方式.①等额本金：每月的还款额呈递减趋势，且从第二个还款月开始，每月还款额与上月还款额的差均相同；②等额本息：每个月的还款额均相同.银行规定，在贷款到账日的次月当天开始首次还款（若2019年7月7日贷款到账，则2019年8月7日首次还款）. 已知小张该笔贷款年限为20年，月利率为0.004.
（1）若小张采取等额本金的还款方式，现已得知第一个还款月应还4900元，最后一个还款月应还2510元，试计算小张该笔贷款的总利息；
（2）若小张采取等额本息的还款方式，银行规定，每月还款额不得超过家庭平均月收入的一半，已知小张家庭平均月收入为1万元，判断小张该笔贷款是否能够获批（不考虑其他因素）；
（3）对比两种还款方式，从经济利益的角度来考虑，小张应选择哪种还款方式. 参考数据：2401.004  2.61≈.
20．（12分）已知函数()2
11f x x a x =---，a R ∈.
（1）当4a =时，求函数()f x 的值域；
（2）[]00,2x ∃∈，()001f x a x ≥+，求实数a 的取值范围.
21．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是直角梯形, ,//,AB AD AB CD PC ⊥⊥底面ABCD
224,2,AB AD CD PC a E ====，是PB 的中点.
（1）.求证：平面EAC ⊥平面PBC ; （2）.若二面角P AC E --的余弦值为
6
3
，求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值. 22．（10分）如图所示，三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，点D ，E 分别在线段1AA ，
1CC 上，且11
3
AD AA =，//DE AC ，F 是线段AB 的中点.
（Ⅰ）求证：//EF 平面11B C D ；
（Ⅱ）若AB AC ⊥，AB AC =，13AA AB =，求直线BC 与平面1B DE 所成角的正弦值.
2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、C 【答案解析】
求出函数的导函数，当0t >时，只需(ln )0f t -=，即1ln 10t t -+=，令1()ln 1g t t t
=-+，利用导数求其单调区间，即可求出参数t 的值，当0t =时，根据函数的单调性及零点存在性定理可判断； 【题目详解】 解：∵2()e
(2)e x
x f x t t x =+--（0t ≥），

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