江西省吉安县第三中学、安福二中2024年高三数学第一学期期末经典试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合2{|23}A x y x x ==-++，{}2|log 1B x x =>则全集U =R 则下列结论正确的是( ) A ．A
B A =
B ．A B B ⋃=
C ．
(
)U
A B =∅ D ．U
B A ⊆
2．某三棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A ．27π
B ．28π
C ．29π
D ．30π
3．已知复数z 满足202020191z i i ⋅=+（其中i 为虚数单位），则复数z 的虚部是（ ） A ．1-
B ．1
C ．i -
D ．i
4．在复平面内，复数z a bi =+（a ，b R ∈）对应向量OZ （O 为坐标原点），设OZ r =，以射线Ox 为始边，OZ 为终边旋转的角为θ，则()cos sin z r i θθ=+，法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：()1111cos sin z r i θθ=+，
()2222cos sin z r i θθ=+，则()()12121212cos sin z z rr i θθθθ=+++⎡⎤⎣⎦，由棣莫弗定理可以导出复数乘方公式：
()()cos sin cos sin n
n
r i r n i n θθθθ+=+⎡⎤⎣⎦，已知)
4
3z i =
，
则z =（ ）
A ．23
B ．4
C ．83
D ．16
5．已知2
cos(2019)3
πα+=-
，则sin(2)2
πα-=（ ）
A ．
79
B ．
59
C ．59
-
D ．79
-
6．某网店2019年全年的月收支数据如图所示，则针对2019年这一年的收支情况，下列说法中错误的是（ ）
A ．月收入的极差为60
B ．7月份的利润最大
C ．这12个月利润的中位数与众数均为30
D ．这一年的总利润超过400万元
7．记()[]f x x x =-其中[]x 表示不大于x 的最大整数,0()1,0kx x g x x x
≥⎧⎪
=⎨-<⎪⎩，若方程在()()f x g x =在[5,5]-有7个不
同的实数根，则实数k 的取值范围( ) A ．11,65
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．11,65⎛⎤
⎥⎝⎦
C ．11,
54⎛⎫
⎪⎝⎭
D ．11,
54⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
8．已知函数()2
2
cos sin 4f x x x π⎛
⎫
=++
⎪⎝
⎭
，则()f x 的最小值为( ) A ．212
+
B ．
12
C ．212
-
D ．214
-
3 d9．若复数z 满足2
(13)(1)i z i +=+，则||z =（ ）
A 5
B 5
C ．
102
D ．
105
10．某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有 A ．72种
B ．36种
C ．24种
D ．18种
11．已知函数()sin 3f x a x x =-的图像的一条对称轴为直线56
x π
=，且12()()4f x f x ⋅=-，则12x x +的最小值为( ) A ．3
π-
B ．0
C ．
3
π D ．
23
π 12．对于函数()f x ，定义满足()00f x x =的实数0x 为()f x 的不动点，设()log a f x x =，其中0a >且1a ≠，若()f x 有且仅有一个不动点，则a 的取值范围是（ ）
A ．01a <<；或a =
B ．1a <<
C ．01a <<；或
1
e a e =
D ．01a <<
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，已知14799a a a ++=，25893a a a ++=，若对任意*n N ∈都有
n k S S ≤成立，则k 的值为__________．
14．已知复数22i
z i
+=
-
（i 为虚数单位），则z 的模为____． 15．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c .若sin sin b A a C =，1c =，则b =__，ABC ∆面积的最大值为___.
16．已知平面向量a ，b ，c 满足|a |＝1，|b |＝2，a ，b 的夹角等于3
π
，且（a c -）•（b c -）＝0，则|c |的取值范围是_____．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知数列{}n a 中，11a =，前n 项和为n S ，若对任意的*n N ∈，均有n n k S a k +=-（k 是常数，且*k N ∈）成立，则称数列{}n a 为“()H k 数列”.
（1）若数列{}n a 为“()1H 数列”，求数列{}n a 的前n 项和n S ；
（2）若数列{}n a 为“()2H 数列”，且2a 为整数，试问：是否存在数列{}n a ，使得2
1140n n n a a a -+-≤对任意2n ≥，
*n N ∈成立？如果存在，求出这样数列{}n a 的2a 的所有可能值，如果不存在，请说明理由.
18．（12分）已知函数()|1||1|2f x x x =-++-. （1）求不等式()1f x 的解集；
（2）若关于x 的不等式2
()2f x a a --在R 上恒成立，求实数a 的取值范围.
19．（12分）设函数1
()1|1|2
f x x x =++-（x ∈R ）的最小值为m . （1）求m 的值；
（2）若a ，b ，c 为正实数，且
1112233ma mb mc ++=，证明：21993
a b c ++≥. 20．（12分）已知函数()24f x x x =+-，设()f x 的最小值为m . （1）求m 的值；
（2）是否存在实数a ，b ，使得22a b +=，
12
m a b
+=？并说明理由. 21．（12分）已知点P 在抛物线()2
20C x py p =：＞上，且点P 的横坐标为2，以P 为圆心，PO 为半径的圆（O 为原点），与抛物线C 的准线交于M ，N 两点，且2MN =． （1）求抛物线C 的方程；
（2）若抛物线的准线与y 轴的交点为H ．过抛物线焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B ，且AB HB ⊥，求AF BF -的值．
22．（10分）设实数,x y 满足3x y +=. （1）若32x x y +<-，求x 的取值范围；
（2）若0x >，0y >，求证：
11
11x y
+≥+. 参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。 1、D 【解题分析】
化简集合A ，根据对数函数的性质，化简集合B ，按照集合交集、并集、补集定义，逐项判断，即可求出结论. 【题目详解】
由2
230,(23)(1)0x x x x -++≥-+≤，
则31,2A ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，故U 3(,1),2A ⎛⎫
=-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭
，
由2log 1x >知，(2,)B =+∞，因此A
B =∅，
31,(2,)2A B ⎡⎤
⋃=-⋃+∞⎢⎥⎣⎦
，(
)U
(2,)A B ⋂=+∞，
3(2,)(,1),2⎛⎫
+∞⊆-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭
，
故选:D 【题目点拨】
本题考查集合运算以及集合间的关系，求解不等式是解题的关键，属于基础题. 2、C 【解题分析】
作出三棱锥的实物图P ACD -，然后补成直四棱锥P ABCD -，且底面为矩形，可得知三棱锥P ACD -的外接球和直四棱锥P ABCD -的外接球为同一个球，然后计算出矩形ABCD 的外接圆直径AC ，利用公式22
2R PB AC =+可计算出外接球的直径2R ，再利用球体的表面积公式即可得出该三棱锥的外接球的表面积. 【题目详解】
三棱锥P ACD -的实物图如下图所示：
将其补成直四棱锥P ABCD -，PB ⊥底面ABCD ， 可知四边形ABCD 为矩形，且3AB =，4BC =. 矩形ABCD 的外接圆直径225AC =
AB +BC ，且2PB =.
所以，三棱锥P ACD -外接球的直径为22229R PB AC =
+=
因此，该三棱锥的外接球的表面积为()2
24229R R πππ=⨯=. 故选：C. 【题目点拨】
本题考查三棱锥外接球的表面积，解题时要结合三视图作出三棱锥的实物图，并分析三棱锥的结构，选择合适的模型进行计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 3、A 【解题分析】
由虚数单位i 的运算性质可得1z i =-，则答案可求. 【题目详解】 解：∵41i =，
∴202045051i i ⨯==，201945043i i i ⨯+==-，
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