习  题 1-1 1．计算下列极限 xaa xlima 0;（1）,                    x ax axaaaa ax axa  lim[ ](a)| (x)|解：原式=   x ax ax ax ax aaa 1aa(lna 1)alna a a== sinx sinalim（2）；   sin(x a)x asinx sina  (sinx)' cosa lim解：原式   x ax ax a1  2nlimn(a  2), a 0;（3）    nan    n1a 1  x222 [(a)'] lim() lna解：原式          n1/nx 0an  1plimn[(1 ) 1]p 0;（4），   nn  1pp(1 ) 1  n  p 1p px p lim (x)| 解：原式   x 11x 1n  n  1010(1 tanx) (1 sinx)lim;（5）          sinxx 01010(1 tanx)(1 sinx) 1 1 lim lim解：原式   tanx sinxx 0x 09910(1 t)| 10(1 t)| 20= t 0t 0  mx 1limm,n（6）  ，为正整数； nx 1x 1  1m(x)'  mnx 1x 1x 1  lim  解：原式       1nmx 1x 1x 1n(x)'x 1f(x h) 2f(x) f(x h)000xlimf(x)2．设在处二阶可导，计算.   02hh 0      f(x h) f(x h)f(x h) f(x) f(x) f(x h)000000 lim lim解：原式   2h2hh 0h 0            f(x h) f(x)f(x h) f(x)110000      lim lim f(x) f(x) f(x)      000222h 2hh 0h 0        1 / 27 
1f(x)  a 0 lnx lnalim[]f(a) 0f(a)3．设，，存在，计算.   f(a)x alnf(x) lnf(a)1f(x)      lnx lna limelnx lnalim[]解：   x af(a)x alnf(x) lnf(a)lnf(x) lnf(a)x alimlim   lnx lna ex a  x ax alnx lna e    f'(a)a   f(a) e33xxkk    习  题 1-2  1.求下列极限    lim(sinx 1 sinx 1)（1）;  x  1    limcos [(x 1) (x 1)] 0x 1 x 1解：原式 ，其中在与之间   2x  cos(sinx) cosxlim（2）;   4sinxx 0   sin(sinx x)1sinsinx xx lim lim() ()()sinx解：原式===，其中在与之间         43x6 xxx 0x 0  666565lim(x x x x);（3）  x  11
511111   666 limx[(1 ) (1 )] limx (1 ) [(1 ) (1 )]解：原式   xx6xxx  x  51111   6 1  lim(1 )     ，其中在与之间 1         x33xx  112limn(arctan arctan);（4）    n 1nn  111112 limn( )  解：原式与之间 1，其中其中在        2n 1 1 nn 1nn  n1  f(a )n  limaf(x)f(a) 02．设在处可导，，计算.     1)f(a n    n  1111n(lnf(a ) lnf(a ))limn(lnf(a ) lnf(a ))  nnnn lime en  解：原式 n  11) lnf(a)lnf(a ) lnf(a)lnf(a   nn  f(a)f(a)2f(a)[lim] lim  11 n  n    f(a)f(a)f(a)  e enn e            习  题 1-3 1．求下列极限 (1 x) 1 lim 0;（1）,    (1 x) 1x 0    2 / 27 
  x lim 解：原式     xx 01 cosxcos2x  cosnxlim（2）;   2x 01 x 1lncosx lncos2x    lncosnx lncosxcos2x  cosnx  2limI lim解：       21xx 0x 02x  2222nx (2x)    (nx)cosx 1 cos2x 1    cosnx 12   2lim lim i          22xxx 0x 0i 111 lim（)（3）;              xxe 1x 0xxxe 1 xe 1 xe 1x1 lim lim  lim lim解：原式       x22x2x(e 1)x2xx 0x 0x 0x 011  2xxlimx[(1 x) x]（4）; x  1111ln(1 x)lnx  22xx limx(e e) limx (ln(1 x) lnx) limxln(1 )解：原式   xxx  x  x  1 limx 1      xx  2. 求下列极限 1 cosx lncosxlim（1）;              22x x2x 0e sinx e1122x x  22 1 lim    解：原式  222x xx 0xln(x e) 2sinxlim（2）;   sin(2tan2x) sin(tan2x) tanxx 0xxln(1 x e 1) 2sinxx e 1 2sinx lim lim解：原式   sin(2tan2x) sin(tan2x) tanxsin(2tan2x) sin(tan2x) tanxx 0x 0x x 2x 4 lim      4x 2x xx 0习  题  1-4 1．求下列极限 12limn(1 nsin)
（1）；    nn  1111112  limn[1 n( o())] lim( o(1)) 解：原式          33n3!nn3!6n  n      3 / 27 
3x3e 1 xlim（2）求；    6sinxx 06x363x  o(x) x3x3  e 1 x12 lim lim 解：原式   66xx2x 0x 012lim[x xln(1 )]（3）；      xx  11112  lim[x x( o())]解：原式       22x2xx2x  12x xlim(1 )e（4）；        xx  112) x][xln(1    x2 lime e解：原式 x  x 0h 0 f(x)f(0) 0f(0) 0af(h) bf(2h) f(0)此题已换3．设在处可导，，.若在ha,b时是比高阶的无穷小，试确定的值.  f(h) f(0) f(0)h o(h)f(2h) f(0) 2f(0)h o(h)解：因为 ，  af(h) bf(2h) 2f(0)(a b 1)f(0) (a 2b)f(0) o(h)0 lim lim所以   hhh 0h 0a b 1 0a 2b 0a 2,b  1从而        解得： f(x h) 2f(x) f(x h)000xlimf(x)3．设在处二阶可导，用泰勒公式求   02hh 0解：原式 f''(x)f''(x)222200f(x) f'(x)h h o(h) 2f(x) f(x) f'(x)h h o(h)  00100022!2! lim  2hh 0222f''(x)h o(h) o(h)012 f''(x) lim      02hh 0sinxf(x)1 f(x)x 0 lim( ) 2.limf(x)f(0),f(0)4. 设在处可导，且求和.       2xxxx 0x 0sinxf(x)sinx xf(x)2 lim( ) lim    解  因为    22xxxx 0x 0  2 x o(x) xf(0) f(0)x o(x) lim      2xx 022 (1 f(0))x f(0)x o(x) lim                    2xx 0  1 f(0) 0,f(0) 2f(0)  1,f(0) 2所以 ,即    4 / 27 

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