全国100所名校单元测试示范卷·高三·数学卷(十一)
第十一单元　数列综合测试
(120分钟　150分)
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
                            　
1.已知数列{an}为等比数列,且a3a9=2,a2=2,则a1等于
A.±    B.    C.-    D.2
解析:a3a9==2,q==±,故a1==±.
答案:A
2.在等差数列{an}中,a1=0,公差d≠0,若an=a2+a3+a6+a8,则n等于
A.15    B.16    C.17    D.18
解析:an=a2+a3+a6+a8=4a1+15d=a1+15d,故an为等差数列{an}的第16项,∴n=16.故选B.
答案:B
3.若等差数列{an}满足递推关系an+1=-an+n,则a5等于
A.    B.    C.    D.
解析:令n=4,则a5+a4=4,令n=5,则a6+a5=5,两式相加2a5+a4+a6=9,∴a5=.
答案:B
4.设Sn为等比数列{an}的前n项和,已知3S2013=a2014-2012,3S2012=a2013-2012,则公比q等于
A.4    B.3    C.2    D.8
解析:由3S2013=a2014-2012,3S2012=a2013-2012得3a2013=a2014-a2013,∴q==4.
答案:A
5.已知数列{an}的通项公式是an=-n2+bn+c,若an+1<an 对n∈N+恒成立,则实数b的取值范围是
A.b>0    B.b≥-1    C.b≤3    D.b<3
解析:∵an+1<an恒成立,∴an+1-an=b-(2n+1)<0,即b<2n+1恒成立,∴b<3.
答案:D
6.已知函数f(x)是R上的单调增函数且为奇函数,数列{an}是等差数列,a11>0,则f(a9)+f(a11)+f(a13)的值
A.恒为正数    B.恒为负数    C.恒为0    D.可正可负
解析:因为f(a11)>f(0)=0,a9+a13=2a11>0,a9>-a13,
所以有f(a9)>f(-a13)=-f(a13),f(a9)+f(a13)>0,故选A.
答案:A
7.已知等差数列{an}的前n38所项和为Sn,若m>1,2am-1+2am+1--4=0,S2m-1=38,则m等于
A.7    B.8    C.9    D.10
解析:∵am-1+am+1=2am,
∴2am-1+2am+1--4=4am--4=0,∴am=2.
故S2m-1===2(2m-1)=38.∴m=10.
答案:D
8.若数列满足a1=,an+1=(n∈N+),则该数列的前2014项的乘积a1·a2·a3·…·a2014等于
A.3    B.1    C.    D.
解析:易求得a1=,a2=3,a3=-2,a4=-,a5=,…,这是一个周期为4的周期数列,
且每相邻四项a1·a2·a3·a4=1,故原式=×3=.
答案:C
9.已知数列{an}的通项公式an=n2+n,若数列{}的前n项和为Sn,则Sn的取值范围为
A.[0,1]    B.(2,1)    C.[,1)    D.[,1]
解析:依题意==-,∴Sn=++…+=1-+-+…+-=1-<1,∴当n=1时,Sn取最小值,∴Sn值范围为[,1).
答案:C
10.在数列{an}中,对于任意的n∈N+,都有=k(k为常数),则称{an}为“等差比数列”.下面对“等差比数列”的判断:①等差数列一定是“等差比数列”;②等比数列一定是“等差比数列”;③通项公式为an=a·bn+c(a≠0,b≠0,1)的数列一定是“等差比数列”.其中正确的个数是
A.0    B.1    C.2    D.3
解析:①②错误,对于①②只要举常数列即可验证它是错的;③正确,对于③,其中k=b.
答案:B
11.已知数列{an}满足a1=1,nan=(n+1)an-1(n≥2,且n∈N+),则取最小值的n值为
A.2    B.3    C.4    D.5
解析:∵nan=(n+1)an-1,∴=,∴··…·=··…·=n+1,即an=n+1(n≥2),∴=n++2,令f(x)=x++2,∵f(x)在(0,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增.故当n=3或4时,取最小值,
∵=3++2=10,=4++2=,故当n=4时取最小值,故选C.
答案:C
12.对任意x∈R,函数f(x)满足f(x+1)=+1,设an=[f(n)]2-2f(n),数列{an}的前2013项的和为-1003,则f(2013)等于
A.4    B.3    C.2    D.1
解析:因为[f(x+1)-1]2=[f(x+1)]2-2f(x+1)+1=2f(x)-[f(x)]2,所以有an+1+an=-1.
前2013项和S2013=1006·(-1)+a2013=-1003,由此可得a2013=3,a2012=-4.
因而f(2013)=+1=3,故选B.
答案:B
第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上.
13.等差数列{an}的前n项和为Sn,且S3=6,a3=4,则公差d=    . 
解析:由题意知解得d=2.
答案:2
14.设Sn是等差数列{an}的前n项和,若a3+a9=S7,且a4,a6为等比数列{bn}相邻的两项,则等比数列{bn}的公比q=    . 
解析:∵a3+a9=S7,∴2a6=×=a4,∴q=或2.
答案:或2
15.数列{an}中,a1=1,an+1=2an+1,则通项an=    . 
解析:由题可得an+1+1=2(an+1),∴=2,数列{an+1}为等比数列,∴an+1=2n-1(a1+1)=2n,故an=2n-1.
答案:2n-1
16.数列{an}中,对任意的m,n,p∈N+,当m+n=p时,都有am·an=ap,若a1=,则a10的值为    . 
解析:∵am·an=ap,
∴=a2,
a1·a2=a3,
a1·a3=a4,
……
a1·a9=a10,
累乘得=a10=()10=.
答案:
三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
17.(本小题满分10分)
设{an}是一个公差为d(d≠0)的等差数列,它的前10项和S10=110且a1,a2,a4成等比数列,求数列{an}的通项公式.
解析:因a1,a2,a4成等比数列,故=a1a4,而{an}是等差数列,有a2=a1+d,a4=a1+3d,于是(a1+d)2=a1(a1+3d),即+2a1d+d2=+3a1d,化简得a1=d.5分
∵S10=10a1+d=110,∴10a1+45d=110.
又∵a1=d,∴55d=110,∴d=2,∴an=a1+(n-1)d=2n.10分
18.(本小题满分12分)
已知幂函数f(x)图象过点(-,-2),数列{an},{bn}满足a1=1,b1=1,且对任意n∈N+,均有an+1=,bn+1-bn=.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)试求数列{an},{bn}的通项公式.
解析:(1)由题意可知(-)a=-2,所以a=-1,故f(x)=(x≠0).4分
(2)由(1)可得an+1==,所以有=+3,故an=.
bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b2-b1)+=3[(n-1)+(n-2)+…+2+1]-2(n-1)+1=3·(n-1)-2n+2+1=.12分
19.(本小题满分12分)
设Sn是正项数列的前n项和,且Sn=+an.
(1)求an;
(2)设=(n∈N+),且数列的前n项和为Tn,试比较Tn与的大小.
解析:(1)由已知可得a1=+a1,a1>0,所以a1=.
当n≥2时,有an=Sn-Sn-1=+an-(+an-1)
=(-)+(an-an-1),∴(+an-1)(an-an-1-)=0,
又an>0,所以有an-an-1=,数列为等差数列.
所以an=n.6分
(2)由(1)可知bn==<<(-),
所以有Tn=b1+b2+…+bn<[(-)+(-)+…+(-)]=(1-)<.12分
20.(本小题满分12分)
已知{an}是各项均为正数的等比数列,且a1+a2=2(+),a3+a4+a5=64(++).
(1)求{an}的通项公式;
(2)设bn=(an+)2,求数列{bn}的前n项和Tn.
解析:(1)设公比为q,则an=a1qn-1,易知q≠1.
由已知得
化简得又a1>0,故q=2,a1=1,∴an=2n-1.6分
(2)由(1)知bn=(an+)2=++2=4n-1++2,
∴Tn=b1+b2+b3+…+bn=(1+4+…+4n-1)+(1++…+)+2n=++2n=(4n-41-n)+2n+1.12分

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