数学实验报告
实验序号：      03              日期：2017年  12 月 20  日
班级
信息计算科学
姓名
学号
1601114041
实验名称
求代数方程近似根
问题背景描述：求代数方程的根是最常见的数学问题之一，当f（x）是一次多项式时，称f(x)=0为线性方程；否则称之为非线性方程。当f(x)=0是非线性方程时，由于f(x)的多样性，尚无一般的解析解法可使用，但如果对任意的精度要求，能求出方程的近似跟，则可以认为求根的计算问题已经解决，至少能满足实际要求。
实验目的：本实验介绍一些求方程实根的近似值的有效方法，要求在使用这些方法前先确定求根区间[a,b]，或给出某根的近似值x0。在实际问题抽象出的数学模型中，x0可以根据物理背景确定；也可根据y=f(x)的草图等方法确定，还可用对分法，迭代法及牛顿切线法大致确定根的分布情况。
实验原理与数学模型：对分法函数；function [ x ] = duifen( a,b,tol,f )
if abs(f(a))<tol;
    x=a;
else if abs(f(b))<tol;
        x=b;
    else x=(a+b)/2;
        fx=f(x);
        k=1;
        while abs(fx)>tol&&a<b
            fprintf('k=%d,a=%f,b=%f,f(x)=%e\n',k,a,b,fx);
            if f(a)*fx<0;
                b=x;
            else a=x;
            end
            a=(a+b)/2;
            fx=f(x);
            k=k+1;
        end
         fprintf('k=%d,a=%f,b=%f,f(x)=%e\n',k,a,b,fx);
    end
end
迭代法函数：迭代法：
function [x]=Diedai(tol,f,g,x)
k=1;
fx=f(x);
fprintf('k=%d,x=%f,f(x)=%e\n',k,x,fx);
while abs(fx)>tol;
    x=g(x);fx=f(x);
    k=k+1;
    fprintf('k=%d,x=%f,f(x)=%e\n',k,x,fx);
end
实验所用软件及版本：matlab
主要内容（要点）：本实验主要介绍一些有效的求解方程的数值方法：对分法，不动点迭代法及加速方法、牛顿法
第一题：选择适当的迭代过程，分别使用（1）普通迭代法（2）与之相应的松弛迭代法和Altken迭代法。求方程在1.4附近的根，精确到4位小数。请注意迭代次数的变化。
第二题：分别用对分法、普通迭代法、松弛迭代法、Alken迭代法、牛顿切线法等五种方法求方程
tx=sin(x)的正的近似跟，0<t<=1.（建议取t=0.5.时间许可的话可进一步考虑t=0.25,t=0.125的情况）
求代数方程近似解的方法有：（1）对分法：将区域不断对分，判断根在某个分段内，再对该段进行对分，以此类推，直至满足精度为止。对分法适用于求有跟区间内的单实根或奇重实根。
（2）迭代法：从某个近似根x出发计算x(k+1)=ɸ(xk) k=0,1,2……
（3）松弛迭代原理：x(k+1)=(1-wk)*xk+wk*ɸ(xk) k=0,1,2……其中wk= ,(ɸ’(xk)
(4)牛顿法迭代：x(k+1)=xk-f(xk)/f’(xk) k=0,1,2……
（5）其他方法：solve，roots，fzero，linsolve
实验过程记录（含基本步骤、主要程序清单及异常情况记录等）：1.画函数图像，观察根的分布 2.对分法求根的近似值，精度低 3普通迭代法（不动点迭代） 3.普通迭代法（不动点迭代） 4判断所选迭代形式（函数）的收敛性 4.判断所选迭代形式（函数）的收敛性 5.迭代加速方法：松弛加速；Altken方法 迭代加速方法松弛加速；方法 6.Newton 迭代法 7.列表对比各种方法迭代法的结果及迭代次数
松弛迭代法：第一题：clear;
clc;
tol=1e-4;
f=@(x)x^3-3*x+1;
g=@(x)(x^3+1)/3;
dg=@(x)x^2;
x=1.4;
k=1;
fx=f(x);
gx=g(x);
dgx=dg(x);
fprintf('k=%d,x=%f,f(x)=%e\n',k,x,fx);
while abs(f(x))>tol;
    w=1/(1-dgx);
    x=(1-w)*x+w*gx;
matlab中fprintf是什么意思    k=k+1;
    fx=f(x);gx=g(x);
    dgx=dg(x);
    fprintf('k=%g,x=%f,f(x)=%e,w=%f\n',k,x,fx,w);
end
fprintf('迭代步数k=%d,结果x=%f',k,x)
结果：k=1,x=1.400000,f(x)=-4.560000e-01
k=2,x=1.558333,f(x)=1.092610e-01,w=-1.041667
k=3,x=1.532836,f(x)=3.022685e-03,w=-0.700083
k=4,x=1.532090,f(x)=2.562645e-06,w=-0.740968
迭代步数k=4,结果x=1.532090>>
第二题：t=0.5；
clear;
clc;
tol=1e-4;
f=@(x)0.5*x-sin(x);
g=@(x)2*sin(x);
dg=@(x)2*cos(x);
x=1;
k=1;
牛顿法，第二题：
clear;
clc;
tol=1e-4;
f=@(x)0.5*x-sin(x);
df=@(x)0.5-cos(x);
x=1;
k=1;
fx=f(x);
dfx=df(x);
fprintf('k=%d,x=%f,f(x)=%e\n',k,x,fx);
while abs(f(x))>tol;
    x=x-fx/dfx;
    k=k+1;
    fx=f(x);
    dfx=df(x);
    fprintf('k=%d,x=%f,f(x)=%e\n',k,x,fx);
end
fprintf('迭代步数k=%d,结果x=%f',k,x);
结果：k=1,x=1.000000,f(x)=-3.414710e-01
k=2,x=-7.472741,f(x)=-2.808167e+00
k=3,x=14.478521,f(x)=6.296958e+00
k=4,x=6.935115,f(x)=2.860836e+00
k=5,x=16.635684,f(x)=9.118097e+00
k=6,x=8.343938,f(x)=3.289615e+00
k=7,x=4.954633,f(x)=3.448119e+00
k=8,x=-8.301318,f(x)=-3.249057e+00
k=9,x=-4.817320,f(x)=-3.403160e+00
k=10,x=3.792574,f(x)=2.502255e+00
k=11,x=1.861061,f(x)=-2.763770e-02
k=12,x=1.896214,f(x)=5.898963e-04
k=13,x=1.895495,f(x)=2.453740e-07
迭代步数k=13,结果x=1.895495>>
其他方法：fzero('x^3-3*x+1',1.4)
结果：1.5321
函数运行结果：第一题：
f=@(x)x^3-3*x+1;
duifen(1,2,1e-4,f)
k=1,a=1.000000,b=2.000000,f(x)=-1.250000e-01
k=2,a=1.750000,b=2.000000,f(x)=-1.250000e-01
k=3,a=1.625000,b=1.500000,f(x)=-1.250000e-01
ans =
    1.5000
fx=f(x);
gx=g(x);
dgx=dg(x);
fprintf('k=%d,x=%f,f(x)=%e\n',k,x,fx);
while abs(f(x))>tol;
    w=1/(1-dgx);
    x=(1-w)*x+w*gx;
    k=k+1;
    fx=f(x);gx=g(x);
    dgx=dg(x);
    fprintf('k=%g,x=%f,f(x)=%e,w=%f\n',k,x,fx,w);
end
fprintf('迭代步数k=%d,结果x=%f',k,x)
结果：k=1,x=1.000000,f(x)=-3.414710e-01
k=2,x=-7.472741,f(x)=-2.808167e+00,w=-12.406238
k=3,x=14.478521,f(x)=6.296958e+00,w=3.908468
k=4,x=6.935115,f(x)=2.860836e+00,w=0.598972
k=5,x=16.635684,f(x)=9.118097e+00,w=-1.695408
k=6,x=8.343938,f(x)=3.289615e+00,w=0.454686
k=7,x=4.954633,f(x)=3.448119e+00,w=0.515152
k=8,x=-8.301318,f(x)=-3.249057e+00,w=1.922201
k=9,x=-4.817320,f(x)=-3.403160e+00,w=0.536155
k=10,x=3.792578,f(x)=2.502259e+00,w=1.264986
k=11,x=1.861058,f(x)=-2.763992e-02,w=0.385955
k=12,x=1.896214,f(x)=5.899952e-04,w=0.635968
k=13,x=1.895495,f(x)=2.454563e-07,w=0.609976
迭代步数k=13,结果x=1.895495>>
Altken法：第一题：
clear;
clc;
tol=1e-4;
f=@(x)x^3-3*x+1;
g=@(x)(x^3+1)/3;
x=1.4;
k=1;
fx=f(x);
gx=g(x);
fprintf('k=%d,x=%f,f(x)=%e\n',k,x,fx);
while abs(f(x))>tol;
    y=g(x);
    z=g(y);
    x=z-(z-y)^2/(z-2*y+x);
    k=k+1;
    fx=f(x);gx=g(x);
    fprintf('k=%g,x=%f,f(x)=%e\n',k,x,fx);
end
fprintf('迭代步数k=%d,结果x=%f',k,x)
结果：k=1,x=1.400000,f(x)=-4.560000e-01
k=2,x=1.601351,f(x)=3.023306e-01
k=3,x=1.543068,f(x)=4.493007e-02
k=4,x=1.532402,f(x)=1.267174e-03
k=5,x=1.532089,f(x)=1.058857e-06
迭代步数k=5,结果x=1.532089>>
第二题：t=0.5
clear;
clc;
tol=1e-4;
f=@(x)0.5*x-sin(x);
g=@(x)2*sin(x);
x=1;
k=1;
fx=f(x);
gx=g(x);
fprintf('k=%d,x=%f,f(x)=%e\n',k,x,fx);
while abs(f(x))>tol;
    y=g(x);
    z=g(y);
    x=z-(z-y)^2/(z-2*y+x);
    k=k+1;
    fx=f(x);gx=g(x);
    fprintf('k=%g,x=%f,f(x)=%e\n',k,x,fx);
end
fprintf('迭代步数k=%d,结果x=%f',k,x)
结果：k=1,x=1.000000,f(x)=-3.414710e-01
k=2,x=2.232429,f(x)=3.272248e-01
k=3,x=1.834532,f(x)=-4.815707e-02
k=4,x=1.894225,f(x)=-1.038775e-03
k=5,x=1.895494,f(x)=-4.863193e-07
迭代步数k=5,结果x=1.895494>>
实验结果报告与实验总结：松弛法具有较好的加速效果,甚至有些不收敛的迭代，加速后也能收敛
缺点：每次迭代需计算导数.
Altken算法中不需要计算导数，Altken算法同样具有较好的加速效果。
牛顿法优点：至少二阶局部收敛，收敛速度较快，特别是当迭代点充分靠近精确解时。是目前求解非线性方程(组) 的主要方法。
牛顿法的缺点：对重根收敛速度较慢（线性收敛）。对初值的选取很敏感，要求初值相当接近真解。
在实际计算中，可以先用其它方法获得真解的一个粗糙近似然后再用牛顿法求解。
第一，二题中，根据题目要求，可以画出大致图像：
思考与深入：(1)判断使用某种方法求已经知道的方程近似解主要是看题目，观察题目要求给的是区间还是某点的值。若已知函数的导数不方便求出来，还需要用别的方法求导数，但是后面就需要用subs。
（2）错误之处:fx=f(x),f(x)=fx,写反。区间选择过大，进入死循环，或者迭代次数过多，停不下来。
（3）错误之处：乘法的符号总是忘记打，.^忘记打. 直接用乘法的话，是矩阵乘法，也就是说，必须满足前一个矩阵的列数等于后一个矩阵的行数。.^表示数组相乘，数组中的每一个元素相乘；
（4）松弛加速法加速效果明显，牛顿法收敛速度明显快于对分法。

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