第48卷第8期西南师范大学学报(自然科学版)2023年8月V o l.48N o.8  J o u r n a l o f S o u t h w e s t C h i n aN o r m a lU n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c eE d i t i o n)A u g.2023
D O I:10.13718/j.c n k i.x s x b.2023.08.006
求解对流扩散反应方程的高阶指数型
组合紧致差分格式①
王明镜，田芳，郭亚妮
宁夏大学数学统计学院，银川750021
摘要：针对一维对流扩散反应方程，基于对流扩散方程的四阶指数型紧致差分格式，采用四阶混合差分逼近算子和P a dé公式，间接地构造了两种求解一维对流扩散反应方程的四阶指数型组合紧致差分格式；针对二维对流扩散反应方程，采用降维法，结合高阶混合差分逼近算子和P a dé公式构造了求解二维对流扩散反应方程的四阶指数型组合紧致差分格式.本文所提差分格式较经典四阶格式和文献中的组合型格式具有更低的耗散性，因此对于对流占优等边界层问题的求解计算精度更高.最后给出数值算例验证了本文格式的精度.
关键词：对流扩散反应方程；高阶紧致差分格式；对流占优；边界层
reaction diffusion
中图分类号:O241.82文献标志码:A文章编号:10005471(2023)08004114
AH i g h-O r d e rE x p o n e n t i a l C o m b i n a t i o nC o m p a c t F i n i t eD i f f e r e n c e S c h e m e f o rC o n v e c t i o n-D i f f u s i o m-R e a c t i o nE q u a t i o n
WA N G M i n g j i n g, T I A NF a n g,G U O Y a n i
S c h o o l o fM a t h e m a t i c sa n dS t a t i s t i c s,N i n g x i aU n i v e r s i t y,Y i n c h u a n750021,C h i n a
A b s t r a c t:F o r t h e o n e-d i m e n s i o n a l c o n v e c t i o nd i f f u s i o n r e a c t i o ne q u a t i o n,b a s e do n t h e f o u r t h-o r d e r e x p o-n e n t i a l c o m p a c t d i f f e r e n c e s c h e m e o f c o n v e c t i o n d i f f u s i o n e q u a t i o n,t w o f o u r t h-o r d e r e x p o n e n t i a l c o m b i n e d c o m p a c t d i f f e r e n c e l a t t i c e s f o r s o l v i n g o n e-d i m e n s i o n a l c o n v e c t i o nd i f f u s i o n r e a c t i o n e q u a t i o n a r e c o n s t r u c-t e d i n d i r e c t l y b y u s i n g f o u r t h-o r d e rm i x e dd i f f e r e n c ea p p r o x i m a t i o no p e r a t o ra n dP a déf o r m u l a;F o r t h e t w o-d i m e n s i o n a l c o n v e c t i o nd i f f u s i o nr e a c t i o ne q u a t i o n,a f o u r t h-o r d e r e x p o n e n t i a l c o m b i n e dc o m p a c t d i f f e r-e n c e s c h e m e f o r s o l v i n g t h e t w o-d i m e n s i o n a l c o n v e c t i o nd i f f u s i o n r e a c t i o n e q u a t i o n i s c o n s t r u c t e db y u s i n g t h e d i-
m e n s i o n r e d u c t i o nm e t h o d,c o m b i n i n g t h e h i g h-o r d e rm i x e dd i f f e r e n c e a p p r o x i m a t i o no p e r a t o r a n dP a déf o r m u l a. T h e d i f f e r e n c e s c h e m e p r o p o s e d i n t h i s p a p e r i s l e s s d i s s i p a t i v e t h a n t h e c l a s s i c a l f o u r t h-o r d e r s c h e m e a n d t h e c o m-b i n e d s c h e m e i n t h e l i t e r a t u r e,s o i t h a s h i g h e r a c c u r a c y f o r s o l v i n g t h e c o n v e c t i o n d o m i n a t e d b o u n d a r y l a y e r p r o b-l e m s.F i n a l l y,a n u m e r i c a l e x a m p l e i s g i v e n t o v e r i f y t h e a c c u r a c y o f t h e p r o p o s e d s c h e m e.
K e y w o r d s:c o n v e c t i o n d i f f u s i o n r e a c t i o n e q u a t i o n;h i g h o r d e r c o m p a c t d i f f e r e n c e s c h e m e;c o n v e c t i o n d o m-
i n a t e s;b o u n d a r y l a y e r
①收稿日期:20221020
基金项目：宁夏自然科学基金项目(2020A A C03059)；国家自然科学基金项目(11902170;11772165;12161067)；宁夏自治区青年拔尖人才培养工程项目.
作者简介：王明镜，硕士研究生，主要从事偏微分方程数值解法的研究.
通信作者：田芳，副教授.
对流扩散反应方程已被广泛用于研究模拟热流㊁污染物的扩散㊁化学反应等物理现象[1].求解对流扩散反应方程的数值方法有很多[2-19].针对此类方程，研究者们发展了许多高精度有限差分格式[12-19].常见的差分格式依据差分格式系数的函数类型不同可分为多项式型有限差分格式[14-15]和指数型有限差分格式[2,16]，依据有限差分格式结构的区别则可以分为方程型有限差分格式[11-17]和导数型有限差分格式[18].
本文的主要工作是基于文献[2]提出的对流扩散方程的四阶指数型有限差分格式，间接得到求解一维㊁二维对流扩散反应方程的四阶指数型组合紧致差分格式，所提出的差分格式不同于导数型差分格式，其优点在于采用高阶差分算子分步迭代计算待求量的导数值，避免求解大型代数方程组，同时还兼具了指数型格式高精度的优点.
1一维对流扩散反应方程的四阶指数型组合紧致差分格式
1.1对流扩散方程的四阶指数型紧致差分格式
对于如下对流扩散模型方程
-εu x x+μu x=S(x),xɪ[X1,X2](1)文献[2]中给出了形如
-αδ2x u i+μδx u i=S i+c1S x i+c2S x x i(2)的四阶指数型紧致差分格式，系数为
α=μh
2c o t hμ
h
2εæèçöø÷,μʂ0
ε,μ=0
ì
î
í
ïï
ï
c1=
ε-α
μ
,μʂ0
0,μ=0
ì
î
í
ïï
ï
c2=
ε(ε-α)
μ2
+h26,μʂ0
h2
12,μ=0
ì
î
í
ï
ï
ï
ï
(3)
此处δx u i和δ2x u i分别定义为
δx u i=u i+1-u i-1
2h(4)
δ2x u i=u i+1-2u i+u i-1
h2
(5)
该格式对于求解对流占优等大梯度变化的对流扩散问题具有高精度㊁高分辨率的优点.本文将基于该格式构造对流扩散反应方程的四阶指数型组合紧致差分格式.
1.2对流扩散反应方程的四阶指数型组合紧致差分格式
本文考虑如下对流扩散反应方程
-
εu x x+μu x+b(x)u=f(x),xɪ[X1,X2](6)其中:ε为扩散项系数且ε>0,μ为对流项系数;b(x)和f(x)是关于x的足够光滑的函数;u(x)是待求未知量；当b(x)=0时，模型方程(6)即为文献[2]中的对流扩散方程.
首先将求解区间[X1,X2]等分为N个子区间:x i=X1+i h,i=0,1,2, ,N,h=X2-X1
N.
在点x i处由泰勒级数展开得到
u x i=δx u i-h26∂3u∂x3æèçöø÷i+O(h4)(7)
u x x i=δ2x u i-h212∂4u∂x4æèçöø÷i+O(h4)(8)由(7)式得
u x x i=δx u x i-h26∂4u∂x4æèçöø÷i+O(h4)(9)再由(8)式和(9)式可得待求量的二阶导数u x x i的四阶组合差分逼近公式
u x x i=2δ2x u i-δx u x i+O(h4)(10)下面对对流扩散反应模型方程(6)的四阶指数型组合紧致差分格式进行推导.将模型方程(6)改写为如24西南师范大学学报(自然科学版)h t t p://x b b j b.s w u.e d u.c n第48卷
下形式
-
εu x x +μ
u x =S (x )S (x )=f (x )-b (
x )u {
(11)
对(11)式中的第一个方程考虑其在点x i 处形如(
2)式的四阶指数型紧致差分格式-αδ2
x u i +μδx u i =S i +c 1S x i +c 2S x x i
(12)其中α,c 1,c 2由(
3)式给出.对(11
)式中的第二个方程两端的x 求导得S x =f x -b x u -b u x ,S x x =f x
x -2b x u x -b x x u -b u x x (13)将(13)式代入(12
)
式中，整理得-αδ2x u i +μδx u i +(b i +c 1b x i +c 2b x x i )u i =f i +c 1f x i +c 2f x x i +(-c 1b i -2c 2b x i )u x i -c 2b i u x x i (14
)
由(10
)式得f x x i =2δ2
x f i -δx f x
i +O (h 4)并将其代入(14)式右端，略去高阶项整理得-αδ2x u i +μδx u i +(b i +c 1b x i +c 2b x x i )u i =(1+2c 2δ2
x )f i +(c 1-c 2δx )f x
i +(-c 1b i -2c 2b x i )u x i -c 2b i u x x i (15) 下面通过对(15)式右端项中待求量的二阶导数采用不同的处理方法，得到以下求解模型方程(6
)的两种四阶指数型组合紧致差分格式.
1.2.1 本文格式1
将(10)式代入(15)式中，消去u x x 项整理得
-(α-2c 2b i )δ2x u i +μδx u i +(b i +c 1b x i +c 2b x x i )u i =(1+2c 2δ2
x )f i +(c 1-c 2δx )f x
i +(-c 1b i -2c 2b x i +c 2b i δx )u x i 即得本文格式1:
-P δ2x u i +Q δx u i +R u i =F i
(16)其中
P =α-2c 2b i ,Q =μ,R =b i +c 1b x i +c 2b x x i
F i =(1+2c 2δ2
x )f i +(c 1-c 2δx )f x
i +(-c 1b i -2c 2b x i +c 2b i δx )u x i (17
)
1.2.2 本文格式2
假设εʂ0时，将原模型方程(6)改写为u x x i =-
1
ε
(f i -μu x i -b i u i )将其代入(15)式右端项，消去u x x 项整理得
-αδ2
x u i
+μδx u i +b i +c 1b x i +c 2b x x i +c b 2i εæèçöø÷u i =1+c 2b i ε+2c 2δ2x æèçöø÷f i +(c 1-c 2δx )f x i +-c 1b i -2c 2b x i -c 2μb i εæè
çöø÷u x i 即得本文格式2:
-P δ2
x u i +Q δx u i +R u i =F i
(18
)其中
P =α,Q =μ,R =b i +c 1b x i +c 2b x x i +
c 2b 2
i
ε
F i =1+c 2b i ε+2c 2δ2x æèçöø÷f i +(c 1-c 2δx )f x i +-c 1b i -2c 2b x i -c 2μb i εæè
çöø÷u x i (19
)1.3 本文格式右端项F i 的计算
若使(16)式和(18)式逼近模型方程(6)的精度达到四阶，则需要对F i 中的u x i ,f x i 采用四阶差分逼近.此处采用如下四阶P a d é型紧致差分公式进行离散
16(U x )i -1+23(U x )i +1
6
(U x )i +1=δx U i ,i =1,2, ,N (20
)其中U 代表u 或f .离散u x i 和f x i ，边界条件采用如下四阶逼近公式
[20]
3
4第8期      王明镜，等：求解对流扩散反应方程的高阶指数型组合紧致差分格式
(U x )0+89(U x )1=
1h -22190U 0+433108U 1-196U 2+4318U 3-2527U 4+27180U 5æèçöø÷(U x )N -89(U x )N -1=1h 2110U N -641108U N -1+12118U N -2-256U N -3+4127U N -4-43180U N -5æèçöø÷ìî
í
ïïïï(21
)1.4 F o u r i e r 误差分析
令u ~=e i k x
,
i 为虚数单位，则δx u ~=i s i n k h h u ~,δ2x
u ~=2h
2(c o s k h -1)u ~
且由(20
)式得u ~
x
=i 3s i n k h h (2+c o s k h )u ~
,f ~x =i 3s i n k h h (2+c o s k h )f
~
又令ω=k h ,P e =μεh ,C o u n t =b μ
h ,η=P e ㊃C o u n t =b εh 2
，则微分方程(6)精确的特征函数为λE x a c t =ε
h
2(
ω2+η)+i (ω㊃P e )[](22
)
经过计算可得文献中的F O C 格式[14]㊁文献[18]格式㊁MHO C 格式[1
9]
㊁本文格式1和本文格式2的特征函数均可统一地表示为如下形式
λ=εh 2
M 1
M 2
(23
)其中相应的M 1和M 2的表达式详见表1.
表1 差分格式的特征函数
差分格式
M 1
M 2
F O C 格式[1
4
]
-
2-P e 2
6()(c o s ω-1)+η6
㊃(c o s ω+5)[]
+i ㊃s i n ωP e -η
㊃P e
12
()
5+c o s ω6-i P e ㊃s i n ω
12
MHO C 格式[1
9
]
4(c o s ω-1)+η+
3(s i n ω)
2
2+c o s ω
[
]
+
i ㊃P e ㊃
3s i n ω
2+c o s ω
1
文献[18
]格式24(1-c o s ω)+η2-ηP e 2
+12η[]+
i ㊃(12P e -P e 3
)s i n ω
i ㊃P e 2
+2
(c o s ω+5)[]-i ㊃P e ㊃s i n ω本文格式1
-2γ(c o s ω-1)+4σ2η(c o s ω-1)+η+3σ2η㊃(s i n ω)22+c
o
s ω[]+i ㊃P e ㊃s i n ω+3σ1η㊃s i n ω2+c
o
s ω()
1+4σ2(c o s ω-1)+3σ2(s i n ω)
2
2+c o s ω[]
+i ㊃3σ1s i n ω
2+c o s ω本文格式2
-2γ(c o s ω-1)+η+σ2η2
[]+
i ㊃P e ㊃s i n ω+3σ1η㊃s i n ω2+c o
s ω+3σ2P e ㊃η㊃s i n ω
2+c o s ω()
1+ησ24σ2(c o s ω-1)+3σ2
(s i n ω)
2
2+c o s ω
[
]
+
i ㊃3σ1
s i n ω
2+c o s ω
图1表示了在区间0ɤk h ɤπ上，当C o u n t 数确定为常数1.0时，对于不同的网格雷诺数P e ，数值
波数和精确波数之间的关系.图中κ2h 2表示耗散误差.结果表明：在P e =1.0时,MHO C 格式耗散误差很大，而F O C 格式和文献[18
]格式的耗散误差曲线完全重合，并且相比其他格式，本文格式1和本文格式2的耗散误差较小；当网格雷诺数P e 从10增大到1000时，本文格式1的耗散误差逐渐增大，表现出强耗散性，而本文格式2的耗散误差要明显小于其它格式的耗散误差.
4
4西南师范大学学报(自然科学版)    h t t p ://x b b j
b .s w u .e d u .
c n    第48卷
图1 C o u n t =1.0的耗散误差比较
图2表示了在区间0ɤk h ɤπ上，当网格雷诺数P e 确定为常数1.0时，对于不同的C o u n t 数，数值波数和精确波数之间的关系.结果表明：对于不同的C o u n t 数取值，本文格式1和本文格式2的耗散误差均明显小于F O C 格式的耗散误差，并且在高波段上本文格式2的耗散误差小于本文格式1的耗散误差.
图2 P e =1.0时的耗散误差比较
5
4第8期      王明镜，等：求解对流扩散反应方程的高阶指数型组合紧致差分格式

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