求解二阶线性常微分方程的一个显式差分格式
杨韧;周钰谦
【摘 要】在求解常微分方程的方法中,有限差分法是使用最广泛的方法之一.考虑一个二阶线性常微分方程的边值问题,利用有限差分法,建立了一个具有二阶精度的显式差分格式.首先,通过讨论该显式差分格式的系数矩阵,证明了该显式差分格式解的存在性.然后,通过定义的3种不同范数之间的关系,证明了显式差分格式解的收敛性和稳定性.最后,通过计算机编程对实例的计算,验证了该显式差分格式的数值结果具有二阶精度,并且该显式格式数值结果绘制的图形稳定、光滑,与解析结果吻合较好.
【期刊名称】《成都信息工程学院学报》
【年(卷),期】2010(025)003
【总页数】5页(P328-332)
【关键词】计算数学;微分方程数值解法;差分格式;稳定性;收敛性
【作 者】杨韧;周钰谦
【作者单位】成都信息工程学院数学学院,四川,成都,610225;成都信息工程学院数学学院,四川,成都,610225
【正文语种】中 文
【中图分类】O241.8
1 引言
在自然界与工程技术中的很多现象,其数学描述都可以归结为微分方程定解问题,很多近似自然科学的基本方程本身就是微分方程。一般而言,绝大多数微分方程定解问题的解难以用解析形式来表示。采用有限差分法研究二阶线性常微分方程两点边值问题,建立一个求解二阶线性常微分方程的差分格式,用离散的只含有限多个未知量的差分方程组去近似代替连续变量的微分方程和定解条件,讨论了差分格式解的存在性、稳定性和收敛性,并用实例验证了数值方法的可行性。
2 差分格式的建立
二阶线性常微分方程两点边值问题
其中 p(x)≤M0,q(x)≥0,f(x)∈C[a,b]。
考虑y(x)在区间[x0-h,x0+h]上具有连续导数,x0处的Taylor展式
整理可得
其中 εi∈(x0-h,x0+h), i=0,1,2,3。
将求解区间[a,b]N等分,步长h=(b-a)/N,节点
设y={yi|0≤i≤N}为 Ωh上的函数,记
xi处的一阶中心差商
二阶中心差商
在节点上考虑定解问题式(1),则有
定义函数
于是边值问题式(1)的解y(x)在节点 xi处满足
用yi代替Yi,舍去余项,得微分方程的算子差分格式
局部截断误差为
3 差分格式解的存在性、收敛性和稳定性
3.1 差分格式解的存在性[1]
定理1 差分格式(8)是唯一可解的。
证明 网格内点 xi,i=1,2,…,N-1满足差分格式(8),以yi为未知量的线性方程组
系数矩阵严格对角占优,因此上述方程组有唯一解。
3.2 差分格式解的收敛性
3.2.1 引理
记 Vh={v|v={vi,|0≤i≤N}为 Ωh上的函数,且 v0=0,vN=0
reaction diffusion引进如下记号
引理1 (Cauchy-Schwarz不等式[3])设ak,bk(k=1,2,…,n)为实数列,则
当且仅当 ak=λ bk(k=1,2,…,n)时等号成立。
引理2[2]
设为上的函数,则有
3.2.2 引理的应用
定理2 设v={vi|0≤i≤N}为差分格式
的解 ,其中 vi≥0,则有
证明 将式(19)乘以 hvi,并对 i求和,得到
由引理2得
由于 q(xi)≥0,则有
由Cauchy-Schwarz不等式,有
于是
再由引理2式(16)得
又由引理2可得
3.2.3 收敛性定理[4-7]
定理3 设为定解问题(1)的解,}为差分格式(8)的解,≤N)为节点 xi的误差,则有
证明 将式(8)减去式(7)得
由定理2有
3.2 差分格式解的稳定性[1]
假设差分格式(8)在计算 f(xi)时产生误差gi,并设v=(v0,v1,…vm)为
的解,记 εi=vi-yi,将式(8)减去式(22)得差分格式
由定理1可得
当很小时,‖ε‖∞就很小。因此有如下稳定性定理。
定理4 差分格式(8)在下述意义下对右端函数是稳定的。
设u={ui|0≤i≤N}为差分格式
的解,则有
4 数值实例
例 试用差分格式求如下微分方程边值问题。
解 将区间[0,1]10等分,记步长 h=0.1,xi=x0+ih,0≤i≤10依题意得差分格式
图1 解曲线
系数矩阵是三对角矩阵,采用追赶法求解,与该微分方程边值问题的解析解 y比较,解曲线如图1所示,误差分析表如表1所示。
表1 误差分析表xi 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 y(xi)0.0082 0.0336 0.0774 0.1408 0.2250 0.3312 0.4606 0.6144 0.7938 yi 0.0082 0.0336 0.0774 0.1406 0.2247 0.3306 0.4598 0.6132 0.7922 Δyi0.0000 0.0000 0.0000 0.0002 0.0003 0.0006 0.0008 0.0012 0.0016
各节点的绝对误差小,为阶O(h2),从整体上看平均绝对误差0.0022较理想,解的存在性、收敛性和稳定性均满足,利用此差分格式求解二阶变系数常微分方程两点边值问题的效果良好。
参考文献：
[1]孙志忠.偏微分方程数值解法[M].北京：科学出版社,2005.
[2]胡建伟,汤怀民.微分方程数值方法[M].北京：科学出版社,2007.
[3]Dennis G Zill,Michael R Cullen.陈启宏,张凡,郭凯旋译.微分方程与边界问题[M].北京：机械工业出版社,2005.
[4]Xu C M.Improving the stability problem of the finite difference scheme for reaction-diffusion equation[J].Chin.Quart.J.of Math.,2008,23(3)：403-408.
[5]Ang S J,Yeo K S,Chew C S.A singular-value decomposition(SVD)-based generalized finite difference(GFD)method for close-interaction moving boundary flow problems[J].International Journal for Numerical Methods in Engineering,2008,76(12)：1892-1929.

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