引用格式：肖怀荣, 吉昌兵, 蔡力勋, 等. 基于柱平面压入的洛氏硬度预测模型[J]. 中国测试，2023, 49(3): 8-12. XIAO Huairong, JI Changbing, CAI Lixun, et al. Rockwell hardness prediction model based on the cylindrical flat indentation[J]. China Measurement &Test, 2023, 49(3): 8-12. DOI
: 10.11857/j.issn.1674-5124.2022070025
基于柱平面压入的洛氏硬度预测模型
肖怀荣1， 吉昌兵2,3， 蔡力勋1， 刘晓坤1
(1. 西南交通大学力学与航空航天学院 应用力学与结构安全四川省重点实验室，四川 成都 610031; 2. 长寿命高温材料国家重
点实验室，四川 德阳 618000; 3. 东方汽轮机有限公司，四川 德阳 618000)
摘　要: 在役结构材料的拉伸力学性能可通过压入试验获得，但针对材料硬度的压入试验获取方法仍需进一步发展。基于柱平面压入试验方法和锥压入载荷-位移模型，建立柱平面压入的材料洛氏硬度预测模型，并针对8种延性金属材料完成洛氏硬度模型预测值与传统测试结果之间的比对。结果表明，由柱平面压入洛氏硬度预测模型得到的结果与传统洛氏硬度测试结果吻合良好，两者之间的误差均在10%以内，新模型提高柱平面压入对材料性能指标的预测能力。
关键词: 延性金属; 柱平面压入; 洛氏硬度; 应力-应变曲线中图分类号: O346;TB9文献标志码: A
文章编号: 1674–5124(2023)03–0008–05
Rockwell hardness prediction model based on the cylindrical flat indentation
XIAO Huairong 1,  JI Changbing 2,3,  CAI Lixun 1,  LIU Xiaokun 1
(1. Applied Mechanics and Structure Safety Key Laboratory of Sichuan Province, School of Mechanics and Aerospace Engineering, Southwest Jiaotong University, Chengdu 610031,China; 2. State Key Laboratory of Long-life High-temperature Materials, Deyang 618000, China; 3. Dongfang Turbine Co., Ltd ., Deyang 618000, China)
Abstract : The tensile mechanical properties of in-service structural materials can be obtained by indentation test, the prediction method for material hardness through indentation test still needs further development. Based on  the  cylindrical  flat  indentation  test  method  and  the  load  vs. displacement  model  of  cone  indentation, a Rockwell hardness prediction model under cylindrical flat indentation is established. The comparison between the prediction results obtained by new model and the traditional test results was completed for eight ductile metals, and the error are all less than 10%. The new model improves the predictive power of cylindrical flat indentation for material properties.
Keywords : ductile metals; cylindrical flat indentation; Rockwell hardness; stress-strain curve
0    引　言
在役结构材料的力学性能检测是结构安全评价
的重要环节，近年来，压入试验[1-3]作为一种材料性能微损测试方法得到了一定的研究和应用。通过对
收稿日期: 2022-07-05；收到修改稿日期: 2022-11-01基金项目: 国家自然科学基金（11872320）
作者简介: 肖怀荣（1997-），男，甘肃永靖县人，博士研究生，研究方向为材料测试理论与技术研究。
第 49 卷 第 3 期中国测试
Vol.49  No.32023 年 3 月
CHINA MEASUREMENT & TEST March, 2023
材料表面进行微纳米级压入，压入试验可实现材料弹性模量、屈服强度、抗拉强度等关键性能指标的精准预测。
压入试验方法以压头形貌可区分为球形压头压入（球压入）、锥形压头压入（锥压入）和平面圆柱压头压入（柱平面压入）。1990年代，Haggag等[2, 4]采用球形压头建立了获取材料应力-应变关系的多级自动球压入试验方法（ABI方法），该方法需通过逐级多次加-卸载来获取材料应力-应变曲线。2019年，Chen和Cai[5]建立了单调加-卸载获取弹塑性材料应力-应变关系的ESI模型，并制定了国家球压入试验标准GB/T 37782—2019[6]，该方法对压头的球度和材料表面光洁度要求较高。锥压入试验方法受压头自相似问题的影响，需要用两个不同锥角的压头分别压入受测材料以获取材料力学性能，2016年，Chen等[7]基于能量密度等效建立了锥压入问题的理论模型，针对多种材料实现了应力-应变关系的精准预测，
并在2021年发展了单体双锥压入试验方法[8]。2020年，Liu等[9]针对柱平面压入问题提出了能量-位移半解析模型，并建立了单调加-卸载压入获取材料应力-应变关系的柱平面压入试验方法。相比于球压入和锥压入问题，柱平面压入对压头形貌和材料表面光洁度要求较低，不存在自相似问题，普遍适用于各类金属材料力学性能的获取，同时，柱平面压入受传感器精度影响较小[9]，求解精度更高，能获得更准确的应力-应变关系。
洛氏硬度作为材料的基本力学性能，是在役结构材料力学性能检测的重要指标。柱平面试验方法目前虽能准确预测材料弹性模量、屈服强度、抗拉强度和应力-应变曲线等拉伸性能[10-11]，但基于柱平面压入试验的材料洛氏硬度预测尚需进一步发展。
本文基于柱平面压入试验方法和锥压入载荷-位移模型，建立了柱平面压入的材料洛氏硬度预测模型。
1    柱平面压入试验方法
若受压入固体的材料本构关系满足Hollomon
其中E、K和n分别为材料弹性模量、应变硬化系数和应变硬化指数，名义屈服强度σy可由K=E nσy1–n 得到。
根据能量密度等效原理[7, 12-13]，受压材料有效变形域Ω内必存在一点M，该点的材料RVE应变能密度u M等于平均应变能密度，结合式(1)得到受
式中：M(x M，y M，z M)——材料变形域Ω内应变能密度中值点；
V——受压材料有效变形域体积；
εep-eq——弹塑性等效应变；
εy——屈服应变（εy=σy/E）。
假定有效变形体积V和M点的材料RVE等效应变ε
与压入位移h之间符合幂律关系
其中D为压头直径，k1~k6均为柱平面压入模型无量纲常数，且k1=5.858，k2=–1 570，k3=23.75，k4= 0.129 8，k5=0.582 1，k6=0.969 7。
则由式(2)和式(3)得到柱平面压入能量控制方程[9]
其中U*=E nσy1–n D3为特征压入功。
当柱平面压入试验采集到载荷和位移数据时，可通过积分得到能量-位移曲线，进一步地，通过式(4)对能量-位移曲线进行基于高斯-牛顿迭代的非线性最小二乘法拟合可获得材料H律参数σy和n，进而获取材料应力-应变曲线，该方法即为柱平面压入试验方法。
2    洛氏硬度预测模型
2.1    锥压入载荷-位移模型
锥压入载荷-位移关系近似满足KICK律
式中：F——压入载荷；
C——锥压入载荷-位移曲线加载系数。
且该系数C与材料H律参数和压头半锥角存在关联[7-8]
第 49 卷 第 3 期肖怀荣，等：基于柱平面压入的洛氏硬度预测模型9
式中：θ——压头半锥角；
b 1~b 3——锥压入模型无量纲参数。
为确定锥压入模型无量纲参数b 1~b 3，建立如图1所示的有限元轴对称模型，其中压头半锥角θ为60°，图2给出了不同网格密度下的有限元计算结果，可以看出在1倍、2倍和4倍网格密度下的计算结果密切吻合，为节省计算时间，本文采用1倍网格密度进行有限元分析，其单元总数为9 294。
θ
图 1    锥压入有限元模型
400
800
1 2001 600
0.050.100.150.200.25
载荷 P /N
位移 h /mm
1 倍网格密度
2 倍网格密度
4 倍网格密度
图 2    不同网格密度下的有限元计算结果
预设弹性模量E 为200 GPa 、σy i ,i =1~5={400，800，1 200，1 600，2000} MPa 及n j ,j =1~5={0.05，0.1，0.15，0.2，0.25}的25种材料完成有限元分析以获取载荷-位移曲线，并回归得到加载系数C ，进一步地，根据式(6)
确定参数b 1~b 3，表1给出了锥压入模型参数取值。
2.2    洛氏硬度模型
[14]式中：N ——全量程常数且等于100；
S ——标尺常数且等于0.002 mm ；h ——残余压痕深度。
其定义如图3所示，其中F 0和h 0分别为初试验力和相应的位移，F
S 和h S 分别为总试验力和相应的位移，h u 为卸载至初试验力F 0时的位移，即残余压痕深度为h u –h 0。
F
u 图 3    洛氏硬度残余压痕深度定义
其中λ为比例因子。
2.1节中针对25种材料的有限元分析结果表明，比例因子λ与锥压入加载系数C 和材料弹性模量其中a 1和a 2为比例因子常数并由表2给出。
表 2    比例因子常数
a 1a 2–0.285 4
1.008 4
表 1    锥压入模型参数
b 1b 2b 310.919 0
–0.157 0
0.159 3
10中国测试2023 年 3 月
该式为柱平面压入洛氏硬度预测模型，其中，F S=1 471 N，F0=98.07 N，且S和N均为常数。则通过柱平面压入试验获得材料H律参数后可直接由该模型获得材料洛氏硬度值。
3    试验验证
3.1    试验条件
在室温条件下对8种金属材料分别进行了柱平面压入试验、单轴拉伸试验和洛氏硬度测试，其中单轴拉伸试验参照GB/T 228.1—2021[15]进行，洛氏硬度测试参照GB/T 230.1—2018[14]进行。
柱平面压入试验设备为成都微力特斯科技有限
公司IMTS-R型压入仪，加载速率为0.003 mm/s，载荷和位移数据采样率为20次/s，最大加载位移为0.0
7mm。单轴拉伸试验设备为MTS 809-250 kN电液伺服材料试验系统，洛氏硬度测试设备为沈阳天星试验仪器股份有限公司PHR-100型磁力式洛氏硬度计。
3.2    应力应变曲线
为获取准确的材料应力-应变曲线，取3次压入试验的H律参数预测结果均值作为柱平面压入试验结果。图4给出了8种材料柱平面压入试验预测结果与单轴拉伸试验结果之间的对比。
从图4可知，由柱平面压入试验获得的材料应力-应变曲线与单轴拉伸试验结果密切吻合，因此，由柱平面压入试验预测得到的材料H律参数可靠，可用于材料洛氏硬度及其他性能参数的预测。
3.3    抗拉强度与洛氏硬度
材料的抗拉强度R m可以通过H律参数转化
[16]
reactor pressure vessel其中e为自然常数。
3.2节已经证明由柱平面压入试验获得的材料H律参数可靠。因此，对于已通过柱平面压入试验获得H律参数的材料，可通过式(11)和式(12)分别获得材料洛氏硬度HRC和抗拉强度R m。表3给出了8种材料HRC和R m的柱平面压入试验预测结果与单轴拉伸试验和洛氏硬度测试结果之间的对比。
表 3    8种材料HRC和R
m
结果对比
材料名称
柱平面压入试验单轴拉伸/硬度测试误差
R m HRC R m HRC R m HRC
2Cr12MoV952.528.7931.326.4  2.3%8.6% 20Cr1Mo1VNbTiB915.828.0947.126.5  3.3%  5.7% 25Cr2MoVA1 034.431.81 054.530.5  1.9%  4.3% 40CrMoVA947.328.5992.327.7  4.5%  3.0% 30Cr1Mo1V843.824.8851.723.80.9%  4.1% 45Cr1MoV1 291.938.51 255.139.4  2.9%  2.2% 1Cr12Ni2W1Mo1V1 075.332.81 042.130.0  3.2%9.2% 10Cr11Co3W3NiMoVNbNB1 011.731.1971.528.4  4.1%9.5%
由表3可知，由柱平面压入试验预测得到的抗拉强度R m与单轴拉伸试验结果密切吻合，误差均在5%以内；由柱平面压入试验预测得到的洛氏硬度与标准硬度测试结果吻合良好，有5种材料误差在6%以内，其余3种材料误差介于6%和10%。
4    结束语
基于柱平面压入试验方法和锥压入载荷-位移模型，建立了材料洛氏硬度的柱平面压入试验获取300
600
900
1 200
1 500
00.020.040.060.08
应
力
σ
/
M
P
a
应变ε/(mm·mm−1)
单轴拉伸试验
25Cr2MoV A
40CrMoV A
30Cr1Mo1V
45Cr1MoV
2Cr12MoV
20Cr1Mo1VNbTiB
1Cr12Ni2W1Mo1V
10Cr11Co3W3Ni
平面压入试验
MoVNbNB
图 4    8种材料应力-应变曲线对比
第 49 卷 第 3 期肖怀荣，等：基于柱平面压入的洛氏硬度预测模型11
方法，并针对8种金属材料进行了试验验证，本文
主要结论如下：
1) 建立了材料洛氏硬度与H 律参数之间的关联模型以及洛氏硬度的柱平面压入试验获取方法。
2) 针对8种金属材料进行了柱平面压入试验、单轴拉伸试验和洛氏硬度测试，结果表明：由柱平面压入试验预测得到的应力-应变曲线、抗拉强度和洛氏硬度与标准拉伸试验及硬度测试结果密切吻合。
3)新方法可通过单次单调柱平面压入同时获取在役结构材料的拉伸性能和洛氏硬度，提高了柱平面压入对材料性能指标的预测能力。
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[16](编辑：刘杨)
12中国测试
2023 年 3 月

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