Vol  55 ,No. 6
Jun.2021
第55卷第6期
2021年6月
原子能科学技术
AtomicEnergyScienceandTechnology
堆本体抗震试验动力相似关系推导与验证
刘强1王明政S 李楠S 李保超2
"1.中国原子能科学研究院反应堆工程技术研究部，北京102413#
2.原兴核技术有限公司，北京102488)
摘要：为确保堆本体抗震试验中流体对流效应、脉冲效应和堆本体结构响应的准确性，需保证重力、流体
与固体惯性力、结构弹性力和结构应变的相似性％本文从固体结构的振动方程、不可压牛顿流体的动力 学方程、流固交界面的边界条件和环形柱体域内液体线性晃动的动力学公式出发，基于控制方程的量纲 分析法，推导了考虑液体晃动效应的堆本体地震响应动力相似关系％基于上述相似关系建立了堆容器
堆内构件和堆容器内自由液面流体域的缩尺模型，通过有限体积法分析堆容器堆内构件原型和缩尺模 型中液体的晃动固有频率、晃动波高、压力以及液体晃动对堆容器支承裙的倾覆力矩％结果表明本文动
力相似关系具有合理性和准确性，可用于堆本体缩尺模型的抗震试验研究％关键词：堆本体；抗震试验；缩尺模型；液体晃动；相似关系
中图分类号：O39
文献标志码:A  文章编号：10006931(2021)06-1083-08
doi ：
10. 7538/yzk. 2020. youxian. 0861
Analysis  on  Dynamic  Similitude  Law  for  Seismic  Test  of  Reactor  Vessel
LIU  Qiangi  , WANG  Mingzheng 1 , LI  Nan 1 , LI  Baochao (1. Division  of  Reactor  Engineering  Technology  Research  ,
China  Institute  of  Atomic  Energy  , Beijing  102413 , China  #
2. AtomStar  Nuclear  Technology  , Beijing  102488 , China )
Abstract : To  keep  accuracy  of  the  effects  of  liquid  sloshing  convective , impulsive  and
structuralresponsesofreactorvessel !thesimilarityofgravity !inertialforces !elastic  forces  and  strains  should  be  ensured  during  seismic  tests.The  vibration  equations  of
solid  structure !dynamic  equations  of  incompressible  Newtonian  fluid !boundary  condi- tionsoffluid-solidinterfaceandlinearliquidsloshingdynamicequationsinannularcyl-
inderdomain  were  analyzed.Based  upon  dimensional  method !the  dynamic  similitude  lawsforseismicresponsesofreactorvesselandreactorinternalswasderivedconsidering
liquidsloshinge f ect.Thescaled  modelsofreactorvessel !reactorinternalsandliquid  withfreesurfacesinthereactorvesselwereestablishedaccordingtoproposedsimilitude  laws.Themodalanalysisandresponsespectrumanalysiswerecarriedoutontheproto-
typeandscaled  modelsbasedfinitevolumemethod.Thefrequencyandheightofliquid
收稿日期：2020-11-23；修回日期2021-02-02
1084原子能科学技术第55卷
sloshing,hydrodynamic pressure and overturning moment caused by hydrodynamic pressurewereobtained&Theresultsshowthatproposeddynamicsimilitudelawsareof great reasonableness and accuracy,and then could be applied in seismic tests of the scaledreac,orvesselandi,sin,ernalss,ruc,ures.
Key words：reactor vessel；seismic test；scaled model；liquid sloshing；similitude law
池式钠冷快堆堆本体环形柱域腔室内具有较大自由液面，受到低频地震激励作用会发生晃动，如何准确计入堆容器及堆内构件液-固边界处的液体晃动载荷，量化液体晃动过程中对堆本体支承裙产生倾覆力矩，是当前池式钠冷快堆堆本体抗震试验研究的重点％
关于地震作用下的液体晃动及相关动力相似准则的研究成果较多，如Abramson^、Ewart2*、Bauer[3]、Lomen"*、Kornecki5*在假定容器为刚性结构且流体不可穿透，流体无旋、无黏、不可压，并忽略毛细作用和表面张力的前提下，采用势流理论推导了流体域自由晃动和受迫简谐晃动运动方程的一般形式％I
brahim6推导了多种形状刚性容器内液体晃动的模态公式、波高公式和压力公式并详细介绍了液体晃动数值计算的有限体积（VOF）法％Fujita等⑺推导了环形柱体域内地震作用下液体线性晃动的频率、波高和压力分布公式，通过正弦三波试验验证了液体线性晃动的频率和波高结果，研究了液体深度和环形柱体域内外径比值对晃动频率、晃动波高和容器壁面压力的影响。Frano 等8建立了XADS反应堆容器及堆内构件的简化三维有限元模型，采用ALE算法计算了地震作用下铅铋介质的晃动频率和晃动载荷，并进行了堆容器及堆内构件的屈曲分析以评价晃动载荷作用下的结构完整性％陈厚等）9*于20世纪70〜90年代对大型外浮顶储油罐的抗震试验开展了深入研究，提出了小变形范畴的动力相似准则，并基于此相似准则设计了储油罐缩尺模型，开展了该模型的正弦三波试验，进一步深入探讨了罐底翘离问题％中国实验快堆堆本体抗震试验）1011*采用了结构弹性力和惯性力相似关系进行试验模型设计以考虑液体脉冲效应，并通过数值计算评价了相似关系引起重力失真的影响％
可见，目前常用于分析地震作用下堆本体流固耦合问题的三维有限元模型均大幅简化了堆本体结构，导致无法直接根据模型计算结果评价堆本体结构的完整性％既有试验研究采用的动力相似准则或仅满足液体晃动的相似关系，或仅满足堆本体结构地震响应的相似关系%为确保堆本体抗震试验中流体对流效应、脉冲效应和堆本体结构响应的准确性，保证重力、流体与固体惯性力、结构弹性力和结构应变的相似性，需发展更为适用的相似比模型，以更好地支撑堆本体的抗震试验研究％
在堆本体抗震试验中，为获得准确的流体对流效应，避免重力失真问题，同时获得准确的流体脉冲效应
和堆本体结构响应，本文基于控制方程的量纲分析法，根据固体结构振动方程、流固界面边界条件和环形柱域液体晃动波高公式及压力分布公式"*建立同时满足重力相似、流体与固体惯性力相似和结构弹性力相似的堆本体地震动力相似准则，并确保结构应变严格相似，以满足可能存在的堆本体失稳破坏相似要求％
1相似关系推导
首先给出固体结构的振动方程:
(%A+G
w+)s+F s(1)
%s%s
式中："为位移;%为密度G为体力；-为体应变A J为拉梅常数;'为时间；下标s表示结构相关变量％
）s=5*+U y j+u"(2)
-=(
U q,du y(u z
(3)
(Q1(1十
(k
()
2（1十〃）（1—2$)
G=(，)(5)
2(十$)
▽=
d.|d.
=—i M—^j十6)
（Q（1（K
2-（2.十（（2十
(2
(7)
（Q（（1(K
第6期 刘强等：堆本体抗震试验动力相似关系推导与验证
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11
12
式中:u Q 'y 'K 为结构位移在Q 、y 、K 方向上的 分量# '、k 为q 、y 、k 方向上的基矢量;E 为结
构材料的弹性模量昭为结构材料的泊松比％
由式(1)-(3)可推导出无量纲表达式：
Ft 一旱
⑻
%s <s
F t  一 a  s t
( 9 )
u s  u s
式中:< 为几何尺寸#为加速度％
不可压牛顿流体的动力学基本方程为：
$ + $ 一 g  —丄 Vp  + ^2V  (10)
(t  %
式中：为流体速度％为流体密度；-为重力加 速度;p 为流体压强#为流体运动黏性系数％
V  = V * + V y j  + 7" (11)p  一 + p y j  +
(12)
式中:V q 、V y 、7为流体速度在q 、y 、K 方向上的 分量；p Q 、p y 、p K 为流体压强在Q 、y 、K 方向上的 分量％由此可得到4个无量纲表达式：
_ 7
_ 7
13 一 厂,14 一 ~r~
L f  g<f
_ p  _ L 15 一 ---2 , 16 一 ---%f V  /
式中，下标f 表示流体相关变量％
以上4个无量纲表达式分别代表流体的斯
特劳哈尔数Sr 、弗劳德数Fr 、欧拉数Eu 和雷 诺数R e  %
在流固交界面上满足：
—p  一(#,)” 一 #0 + 2!9
("s )
It  ) n
(13)
(14)(15)
V n
式中：6j 为应力张量#9为应变张量#n 为速度 矢量；下标)表示流固界面的正法线方向％
可得无量纲表达式为：
—pL f 17 一 F —
Eu  s (16)
718 一 —u s
由式(13)中13和式(17)导出无量纲表达式:(17)
19 一 u
(18)
L f
由式(8)、(9)、(16)、(17)、(18)可推出如下
独立相似关系：重力相似关系、固体与流体惯性 力相似关系 弹性力相似关系以及雷诺数相似
关系：p u s
11(
EL f
p f u v (
113
L f
(19)(0)(1)
(22)
考虑到堆容器中液态金属钠正常运行温度
下的黏度较小，故在计算其地震晃动波高时，可
忽略流体的黏性，即模型流体与原型流体雷诺 数相似的要求可放松％
选取模型尺寸L 、时间t 、流体密度％及重
力加速度g 为基本变量，获得地震作用下准确 的堆本体液体晃动响应要求：
S a  一 S g  一 1
( 3)
式中，S 表示相似比％
同时为获得地震作用下准确的流体脉冲效
应和堆本体结构响应，要求流体与固体惯性力、 结构弹性力和结构应变严格相似，即：
111 = 一 1
(24)
p f u s
112 一
EL f  一 1
((5)p f u v
S M
S £ 一
一 1
reactor pressure vessel
(6)
式中为应变相似比％
将式(6)代入式(4)可获得流体与固体密
度的相似关系：
S 。
113 一 € 一 1
(7)
将式(9)、(17)、(18)、(26)、(27)代入式
(25 ) 可 得 ：
S a  -
(28)S P
s
S u s  一 S L SS —S a
(29)由 s ”=S E S )=S E S u s s d  可得：
S ” 一 S e S ) 一 S l S p S %
(30)
用分离变量法求解描述液体线性晃动问题
的Laplace 方程可得液体晃动的自振频率：
9 一 g "”tanh h "n  h )
(31)
aa
式中："”为与一阶第一类贝塞尔函数有关的 常数;9”为液体晃动的频率；h 为自由液面液
体初始高度％由式(31)
可得液体晃动频率的
1086原子能科学技术 第55卷
相似关系为:  2.1堆容器堆内构件相似关系
验证计算中选取的主要相似系数列于
表1堆容器堆内构件计算模型如图1所示％
将式(23)代入式(32)可获得以下相似
关系：
在地震作用下，堆本体内液体的晃动属于 受迫振动。受简谐振动激励时，堆本体中具有
自由液面的环形柱体域内液体晃动的波高公 式为:
2
v
A n C 1"
81 —
)、
! = (
&、
如e 7'cos  ,・"& M  ) 2-------%
屮 \% n =0
(*_ _])丿
(34)
式中：为液体晃动自由液面波高7为激励角
频率;Q 0为激励振幅#和，分别为环形域在极 坐标下的极径与极角；A n 和C 1
(1
% )分别为
文献中给出的相关系数%由式(34)可得液 体晃动波高的相似关系:
S s  = S “s  = S <f  (35)
简谐振动激励下液体晃动的压力公式为：
$ = Q 0 e 7% cos  , X  (
% M
A n /osh
p gQz  — h ) (36)
式中，为k 轴坐标％由式(36)可得液体晃动
压力的相似关系：
S $c
= S p f S <S 2 (37)S $] = S p f S <S %
(38)
式中，$c 、$I 分别为动水压力和静水压力％
2相似关系验证
为验证所选取相似准则的合理性与准确 性，堆容器堆内构件验证模型的尺寸相似系数
取为6，堆容器内液体计算模型的尺寸相似系
数取为7，建立堆容器及堆内构件、堆容器内液
体的缩尺模型，对堆容器堆内构件缩尺模型进 行模态及反应谱分析％
表1结构相似系数
Table  1 Structural  similarity  coefficient
物理量
相似系数
长度6流体密度0.464286
弹性模量
2.785714应力
2.785714
应变1
壁厚
6结构密度
0.464286
刚度16. 714 29结构频率0.408248
加速度
1
图1堆容器堆内构件计算模型剖视图
Fig.1 Se/tionviewofrea/torvesseland
rea/torintervals/omputationalmodel
2.2堆容器内液体晃动相似关系
由于堆容器内具有自由液面的液体主要集
中于由堆内支承上板、主容器筒体及堆内屏蔽
外钢筒所围成的环形柱域内，因此堆容器内液 体晃动相似验证采用简化模型％简化模型由内
筒、外筒及底板组成，内外筒间为液体域，模型 如图2所示，液体晃动验证计算中主要相似系
数列于表2，计算模型尺寸列于表3，原型与缩
尺模型的计算输入参数列于表4
%
第6期刘强等：堆本体抗震试验动力相似关系推导与验证1087
原型与缩尺模型前1100阶固有频率，两者总有
效质量与模型总质量的比值均大于97.8%%原
型与缩尺模型主要模态的计算结果列于表5%
图2堆容器内液体计算模型示意图Fig.2Schemeofliquidcomputational modelinreactorvessel
表3液体晃动计算模型尺寸参数
Table3Dimensional parameter
of iquid s8oshing computationa8mode8参数类型-
参数值
原型缩尺模型环域外径",m15.415  2.202环域内径,m7.500  1.071筒体咼度0，m8.711  1.244液体域高01，  6.0150.859
表2液体晃动计算中的主要相似系数
Table2Similarity coefficient
in liquid sloshing calculation
物理量相似系数
晃动频率0.3780
晃动波高7.0000
对流压力  2.3900
冲击压力  2.3900
2.3结果验证
2.3.1模态计算在模态分析中，分别计算了
表4液体晃动模型数值计算输入参数
Table4Input parameter of liquid sloshing
computationalmodel
参数
参数值
原型缩尺模型弹性模量，GPa19581.59结构密度，kg/m3785022991.6液体密度，kg/m310002928.9水中声速,m/s1450548.05激励幅值,m0.4970.071
激励类型正弦波正弦波
表5原型与缩尺模型主要模态的计算结果
Table5Calculation result of main modal of prototype and scaled model
模态阶数
频率/Hz有效质量占比/%
频率比原型缩尺模型原型缩尺模型
44  5.597813.71225.9925.980.4082 66  6.771116.58616.4516.40.4082 11  3.03097.424312.7012.700.4082 45  5.649013.8377.207.200.4083 1427.666218.778  3.51  3.510.4083 33  4.561011.172  3.33  3.330.4083
由表5可看出，原型与缩尺模型的模态计算结果符合相似关系，且两者相同模态下有着基本一致的有效质量占比，使得计算结果可信度较高%原型与缩尺模型第11、44及66阶模态的振型对比示于图3%
由原型与缩尺模型的模态振型对比可看出两者的振型一致％模型经过相似关系缩尺后，模态振型保持不变，频率按相似系数放大，由此可验证计算模型中所采用的相似准则满足动力相似的要求％
2.3.2谱分析分别对原型和缩尺模型进行谱分析计算，得到谱分析计算结果％在谱分析中分别给出和k3个方向上的加速度谱输入，计算结果按照平方和开平方(SRSS)方法进

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