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高一数学必修 3 公式总结以及例题
§1 算法初步
秦九韶算法：通过一次式的反复计算逐步得出高次多项式的值，对于一个 n
次多项式，只要作 n  次乘法和 n  次加法即可。表达式如下：
a  x  n
+ a  n
n -1 x  n -1
+ ...
+ a  = ((((a  x  + a
1 n
n -1
)x  + a  )x  + ... )x  + a  )x  + a
n -2 2 1
例题： 3x  6 + 4 x  5 + 5x  4 + 6 x  3 + 7 x  2 + 8x  + 1 ,
当 x  = 0.4 时,
需要做几次加法和乘法 运算 ? 答案： 6 ， 6
即 : (((((3x  + 4)x  + 5)x  + 6)x  + 7)x  + 8)x  + 1
while语句流程图怎么画
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理解算法的含义：一般而言，对于一类问题的机械的、统一的求解方法称为算法，
其意义具有广泛的含义，如：广播操图解是广播操的算法，歌谱是一首歌的算法，空调说明
书是空调使用的算法… ()
1. 描述算法有三种方式：自然语言，流程图，程序设计语言（本书指伪代码）
2. 算法的特征：
①有限性：算法执行的步骤总是有限的，不能无休止的进行下去
②确定性：算法的每一步操作内容和顺序必须含义确切，而且必须有输出，输出可
以是一个或多个。没有输出的算法是无意义的。
③可行性：算法的每一步都必须是可执行的，即每一步都可以通过手工或者机器在
一定时间内可以完成，在时间上有一个合理的限度
3. 算法含有两大要素： ①操作：算术运算，逻辑运算，函数运算，关系运算等②
控制结构：顺序结构，选择结构，循环结构
♦
流程图：（ ）: 是用一些规定的图形、连线及简单的文字说明表示算法及程序结构
的一种图形程序，它直观、清晰、易懂，便于检查及修改。
注意：1. 画流程图的时候一定要清晰，用铅笔和直尺画，要养成有开始和结束的好习惯
2. 拿不准的时候可以先根据结构特点画出大致的流程，反过来再检查，比如：遇 到判断框时，往往临界的范围或者条件不好确定，就先给出一个临界条件，画好大致流 程，然后检查这个条件是否正确，再考虑是否取等号的问题，这时候也就可以有几种书 写方法了。
3. 在输出结果时，如果有多个输出，一定要用流程线把所有的输出总结到一起，
一起终结到结束框。
⌧
算法结构： 顺序结构，选择结构，循环结构
A
A
A  Y          N
N    p
p
B
A            B                    Y
N
Y
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“ ,
环
Ⅰ.顺序结构（
直到型循环            当型循
）：是一种最简单最基本的结构它不存在条件判断、控制转移和重复执
行的操作，一个顺序结构的各部分是按照语句出现的先后顺序执行的。
Ⅱ.选择结构（
）：或者称为分支结构。其中的判断框，书写时主要是注意临界条件的确
定。它有一个入口，两个出口，执行时只能执行一个语句，不能同时执行，其中的
两语句可以有一个为空，既不执行任何操作，只是表明在某条件成立时，执行某语 句，至于不成立时，不执行该语句，也不执行其它语句。
Ⅲ.循环结构（ ）：它用来解决现实生活中的重复操作问题，分直到型（）和当型()两种结
构(见上图)。当事先不知道是否至少执行一次循环体时（即不知道循环次数时）用当 型循环。
基本算法语句： 本书中指的是伪代码（
），且是使用 语言编写的，是介于
自然语言和机器语言之间的文字和符号，是表达算法的简单而实用的好方
法。伪代码没有统一的格式，只要书写清楚，易于理解即可，但也要注意
符号要相对统一，避免引起混淆。如：赋值语句中可以用 x  = y  ，也可以
用
x  ← y  ;
表示两变量相乘时可以用“*”，也可以用“ ⨯ ”
Ⅰ. 赋值语句（ ）：用 ← 表示， 如： x  ← y  ，表示将 y  的值赋给 x ，其中 x  是一个
变量，y  是一个与 x  同类型的变量或者表达式.
一般格式： 变量 ← 表达式 ” ，有时在伪代码的书写时也可以用 “ x  = y  ”，
但此时的 “ = ”不是数学运算中的等号，而应理解为一个赋值号。
注： 1. 赋值号左边只能是变量，不能是常数或者表达式，右边可以是常数或者表达式。
“ = ”具有计算功能。如： 3 = a  + 6 = a  都是错误的，而 a  = 3*5 – 1 , a  = 2a  + 3
都是正确的。2.一个赋值语句一次只能给一个变量赋值。 如：a  = b  = c  = 2 , a  , b  ,
c  =2 都是错误的，而 a  = 3 是正确的. 例题：将 x  和 y  的值交换
p  ← x
x  ← y  , 同样的如果交换三个变量的值 : y  ← p
p  ← x  x  ← y  y  ← z  z  ← p
Ⅱ. 输入语句（ ）: a  表示输入的数一次送给 a
输出语句（ ） ： x  表示一次输出 运算结果 x
注：1.支持多个输入和输出，但是中间要用逗号隔开！2. 语句输入的只能是变量而 不是表达式 3. 语句不能起赋值语句，意旨不能在 语句中用 “ = ”4. 语句可以输
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出常量和表达式的值.5.有多个语句在一行书写时用“；”隔开.
例题：当x等于5时，“x=”;x在屏幕上输出的结果是x=5
Ⅲ.条件语句（）：
1.行语句:A B注：没有
2.块语句：注：①不要忘记结束语句，当有语句嵌套使用时，有几个，
就必须要有几个②.是对上一个条件的否定，即已经不属于上面的条件，另外后面也要有③注意每个条件的临界性，即某个值是属于上一个条件里，还是属于下一个条件。④为了使得书写清晰易懂，应缩进书写。格式如下：
A
B
C
例题：用条件语句写出求三个数种最大数的一个算法.A B C D
a,b,c a≥b
a≥c
a
c b≥c
b 或者
a,b,c
a≥b a≥c
a
b≥c
b
c
c 注：1.同样的你可以写出求三个数中最小的数。
2.也可以类似的求出四个数中最小、大的
数
Ⅳ.循环语句（）：◆当事先知道循环次数时用循环，即使是N次也是已知次数的循环❖当循环次数不确定时用循环♦循环有两种表达形式，与循环结构的两种循环相对应.
I初值终值步长A
……
循环
p
……
循环
当型循环p直到型循环
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说明：1. 循环是前测试型的，即满足什么条件才进入循环，其实质是当型循环，一般在
解决有关问题时，可以写成循环，较为简单，因为它的条件相对好判断 2. 凡是能用 循环书写的循环都能用 循环书写 3. 循环和循环可以相互转化 4. 循环的两种形式也
可以相互转化，转化时条件要相应变化 5. 注意临界条件的判定.
例题： 设计计算 1⨯ 3 ⨯ 5 ⨯ ...  ⨯ 99 的一个算法. （见课本 P  ）
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S  ← 1
For  I  From  3 T o  99 S tep  2 S  ← 1 I  ← 1
W hile  I  ≤ 97 S  ← 1 I  ← 1
W hile  I  ≤ 99  S  ← S  ⨯ I  I  ← I  + 2 S  ← S  ⨯ I
End  For  Pr  int  S
S  ← S  ⨯ I  End  W hile  Pr  int  S
I  ← I  + 2
End  W hile  Pr  int  S
◆
❖
♦
S  ← 1
S  ← 1
I  ← 1 D o
S  ← S  ⨯ I  I  ← I  + 2
Loop  Until  I  ≥ 100 (或者 I  > 99 ) Pr  int  S
I  ← 1 D o
I  ← I  + 2 S  ← S  ⨯ I
Loop  Until  I  ≥ 99 Pr  int  S
⌧
⍓
S  ← 1 S  ← 1 I  ← 1
I  ← 1
D o  While  I  ≤ 99 (或者I  < 100 )
S  ← S  ⨯ I  I  ← I  + 2
Loop
Pr  int  S
D o  While  I  ≤ 97 (或者I  < 99 )
I  ← I  + 2 S  ← S  ⨯ I
Loop
Pr  int  S
友情提醒：1. 一定要看清题意，看题目让你干什么，有的只要写出算法，有的只要求写出 伪代码，而有的题目则是既写出算法画出流程还要写出伪代码。
2. 在具体做题时，可能好多的同学感觉先画流程图较为简单，但也有的算法伪代码 比较好写，你也可以在草稿纸上按照你自己的思路先做出来，然后根据题目要求作答。 一般是先写算法，后画流程图，最后写伪代码。
3. 书写程序时一定要规范化，使用统一的符号，最好与教材一致，由于是新教材的 原因，再加上各种版本，可能同学会看到各种参考书上的书写格式不一样，而且有时还 会碰到我们没有见过的语言，希望大家能以课本为依据，不要被铺天盖地的资料所淹没！
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