算法初步
【学法导航】
算法是高中数学课程中的新内容，本章的重点是算法的概念和算法的三种逻辑结构。以选择题或填空题的形式出现，分值在5分左右，考察的热点是算法的概念
【典例精析】
1.自然语言表示的算法
【内容解读】通过对解决具体问题过程与步骤的分析，体会算法的思想，理解算法的含义；对于某一问题往往能够设计出多种算法，通过选用步骤最少的、结构最好的算法【命题规律】以选择题或解答题的题型为主，难度不大。
while语句的嵌套流程图
例1、烧水泡茶需要洗刷茶具(5 min)、刷水壶(2 min)、烧水(8 min)、泡茶(2 min)等个步骤、从以下选项中选最好的一种算法( )
（A）第一步：洗刷茶具；第二步：刷水壶；第三步：烧水；第四步：泡茶
（B）第一步：刷水壶；第二步：洗刷茶具；第三步：烧水；第四步：泡茶
（C）第一步：烧水；第二步：刷水壶；第三步：洗刷茶具；第四步：泡茶
（D）第一步：烧水；第二步：烧水的同时洗刷茶具和刷水壶；第三步：泡茶解：烧水要8分钟，这时刚好刷茶具和水壶，可节省时间。所以选（D）
点评：一个问题的算法有多种，我们应该选择结构最好的算法。
例2、已知直角三角形的两直角边长分别为a b
，，设计一个求该三角形周长的算法．解：由勾股定理，可求出斜边22
=+++．
l a b a b
c a b
=+，从而周长22
算法步骤如下：
第一步：输入实数a b
，；
第二步：计算22
+的结果，并将这个结果赋给c；
a b
第三步：执行计算：l a b c
=++；
第四步：输出l．
点评：用自然语言描绘算法，然后才能画出程序框图，写出程序。所以，用自然描绘算法是程序设计的基础
2.程序框图
【内容解读】顺序结构、选择结构和循环结构是算法的三种基本逻辑结构．在画流程图时，首先要实行逻辑结构的选择，若求只含有一个关系式的解析式的函数的函数值时，只用顺序结构就能解决，顺序结
构是任何一个算法中必不可少的结构．选择结构主要用在一些需要依据选择实行判断的算法中，如分段函数的求值、数据的大小关系比较等问题．循环结构主要用在一些有规律的重复计算的算法中，如累加求和、累乘求积等问题．用循环结构表达算法，关键要做好以下三点：①确定循环变量和初始值；②确定算法中反复执行的局部，即循环体；③确定循环的终止选择．
循环结构又分为当型（Ｗhile型）和直到型（Until型）两种．当型循环在每次执行循环体前对控制循环的选择实行判断，当选择满足时执行循环体，不满足则停止；直到型循环在
执行了一次循环体之后，对控制循环的选择实行判断，当选择不满足时执行循环体，满足则停止．两种循环仅仅实现循环的不同方法，它们是能够互相转换的．对同一个问题假如分别用当型循环和直到型循环来处理的话，那么两者判断的条件恰好相反．
【命题规律】考查程序框图的知识经常出现在高考的选择题或填空题中，理解程序框图中，程序的流向，执行步骤。难度属中等
例3、（2008广东）阅读图1的程序框图，若输入4m =，6n =，则输出a =          ，i =          ．
（注：框图中的赋值符号“=”也能够写成“←”或“:=”）
解：要结束程序的运算，就必须通过n 整除a 的条件运算， 而同时m 也整除a ，那么a 的最小值应为m
和n 的最小公倍 数12，即此时有3i = 所以填：12，3
点评：这是一个直到型循环结构的程序框图，求解时，最好先写出程序运行的前几步，再总结出规律，最后才到答案。
例4、（2008山东）执行右边的程序框图，若
0.8p =，则输出的n =          ．
解：循环的第一步：S ＝2
1
，n ＝2， 循环的第二步：S ＝
21＋41
，n ＝3， 循环的第三步：S ＝111
0.8248
++>，n ＝4，
所以输出  4.n =
点评：这是一个当型循环结构的程序框图， 解法还是一样，从第一步开始写，直到循环的
条件不成立时，结束循环，输出结果。
例5、（2008海南、宁夏）右面的程序框图，假如输入三个实数a ，b ，c ，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（    ）
A ．c x >
B ．x c >
C ．c b >
D ．b c >
解：由流程图可知第一个选择框作用是比较x 与b 的大小，
开始 1i =
n 整除a ?
是 输入m n ，
结束 a m i =⨯
输出a i ，
图1
否
1i i =+
开始
输入a b c ，，
x a =
b x >
x b =
x c =
输出x  结束
是
是
否
否 开始 10n S ==，
S p <?
是
输入p
结束
输出n  12
n S S =+
否
1n n =+
图2
Read x
If x >0  Then
1y x ←+
Else
1y x ←-
End If
Print y    （例6）
故第二个选择框的作用应该是比较x 与c 的大小，故应选Ａ；
点评：此题考查条件结构的程序框图，求解时，对字母比较难理解，能够取一些特殊的数值，代进去，方便理解。从以上三题来看，因为算法是新课程中的新增加的内容，所以它也必然是新高考中的一个热点，应高度重视
3.基本算法语句
【内容解读】算法语句是表达算法的简单而实用的好方法，要注意各语句的作用，准确理解赋值语句，灵活表达选择语句，注意WHILE 语句和UNTIL 语句的区别．
（1）输入、输出语句和赋值语句基本对应于算法中的顺序结构，这是任何一个算法都用到的语句，利用输入、输出语句和赋值语句设计算法时应明确：需输入信息时用INPUT 语句，需输出信息时用PRINT 语句．当变量需要的数据较少或给变量赋予表达式时，用赋值语句即可，当变量需要输入多组数据且程序重复使用时，使用输入语句较好．当然，赋值语句还具有将一个变量的值赋给另一个变量，前一个变量的值保持不变的功能．
（2）选择语句是表达算法中的选择结构，因为算法的流程根据选择是否成立有不同的流向，就需要对选择作出判断，所以算法中要用到选择语句．在某些较复杂的算法中，有时需要对按选择要求执行的某
一语句（特别是Else 后的语句）继续按照另一选择实行判断，这时能够再利用一选择语句完成这个要求，这就需要选择语句的嵌套．
（3）循环语句是用来实现循环结构的，在本章我们主要需要掌握WHILE 语句和UNTIL 语句．
【命题规律】考查基本算法语句的试题出现在选择题、填空题或解答题中都有可能，属中等偏难
例6、（2008江苏模拟）右边是根据所输入的x 值计算y 值的一个算法程序,  若x 依次取数列1100n ⎧⎫
-⎨
⎬⎩⎭
()n N +∈中的前200项，则所得y 值中的最小值为          .
（注：程序中的赋值符号“=”也能够写成“←”或“:=”）
解：1≤n ≤200，所以，－10099≤100
n
－1≤ 1，
当x ＞0，即0＜x ≤1时，由y ＝1＋x ，得1＜y ≤2， 当x ≤0，即－
10099≤x ≤0时，由y ＝1－x ，得1≤y ≤1＋100
99， 所以，y 值中的最小值为1。
点评：此题考查条件语句，与数列和不等式结合，属中等难度的试题。 例7、（2008江苏模拟）已知伪代码如下，则输出结果S=          .  （注：程序中的赋值符号“=”也能够写成“←”或“:=”）
I ←0
S ←0
While I ＜6
INPUT  t IF t<= 3  THEN  c=0.2 ELSE  c=0.2+0.1(t-3) END  IF PRINT c END          I ←I+2        S ←S+I 2
End while Print S
解：第一步：I ＝2，S ＝4，第二步：I ＝4，S ＝4＋16，第三步：I ＝6，S ＝4＋16＋36＝56，所以，
输出56
点评：这是一个当型循环语句，求解时，写出前面几步中循环体的结果即可。 例8、某电信部门规定：拨打市内时，假如通话时间不超过3分钟，则收取通话费0.2元，假如通话时间超过3分钟，则超过局部以每分钟0.1元收取通话费（通话缺乏1分钟时按1分钟计），试设计一个计算通话费用的算法.要求写出算法，画出程序框图，编写程序.
解： 我们用c （单位：元）表示通话费，t （单位：分钟）表示通话时间，
则依题意有  ⎩
⎨⎧>-+≤<=3),3(1.02.03
0,2.0t t t c
算法步骤如下：第一步，输入通话时间t ；
第二步，假如t ≤3，那么c = 0.2 ；否则令 c = 0.2+0.1 (t －3); 第三步，输出通话费用c ; 程序框图如下图
点评：这是综合考查程序算法中的程序框图，程序的写法，属中等偏难试题。 4.算法案例
【内容解读】掌握辗转相除法、更相减损术求最大公约数的方法；掌握秦九韶算法，各种进位制之间的转换方法。
【命题规律】多以选择题或填空题为主，属容易题
例9、用秦九韶算法计算多项式1876543)(2
3
4
5
6
++++++=x x x x x x x f 当
4.0=x 时的值时，需要做乘法和加法的次数共        次.
解：12次。
对于一个n 次多项式，利用秦九韶算法计算，只要做n 次乘法和n 次加法。  点评：此题考查秦九韶算法中加法与乘法的最优化问题
例10、以下各数中最小的数是  (    )
A.)9(85
B.)6(210
C.)4(1000
D. )2(111111
解：)9(85 ＝8×9＋5＝77，)6(210＝2×62＋1×6＋0＝78，
)4(1000＝1×43＝64 ，  )2(111111＝1×25＋1×24＋1×23＋1×22＋1×2＋1＝63，
所以，选（D ）。
点评：此题考查进位制之间的转换，将所以其它进制数转换为十进制数来比较大小
【专题突破】
1.假如执行右面的程序框图，那么输出的S =（  ） Ａ．2450  Ｂ．2500  Ｃ．2550  Ｄ．2652
2.如右图所示的程序框图的输出结果是                  （  ）
A. 2
B. 4
C. 8
D. 16
开始
1k =
0S =
50?
k ≤是
2S S k =+
1k k =+
否
输出S  结束
k ≤n
开始 S ←1,k ←1
结束
是
否 S ←S ×2 输出S k ←k+1
输入n=3 第1题
第2题

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