§5.4  额外载流子的扩散
图5-13  非平衡载流子的扩散
一、扩散运动概念
微观粒子在分布不均匀的情况下，因热运动而从高浓度区向低浓度区迁移的现象称为扩散。
描述扩散运动的第一和第二菲克定律分别是
  ；
式中，D为扩散系数，是一个表征扩散快慢的物质常数，具有量纲L2 T 1，常用单位cm2/s。
二、局部注入额外载流子的扩散
1、额外载流子的光注入
如图5-13所示，如果用适当波长的光向一块n型半导体均匀注入额外载流子，由于注入深度的限制，额外载流子密度必在注入表面高于内部、从而形成额外载流子由体内指向注入表面的密度梯度，引起额外载流子自注入表面向体内扩散。
2、额外载流子的扩散流密度
考虑额外载流子密度只随x变化的一维情况，用Sp表示额外空穴的扩散流密度，则有
                    (5-79)
类似地，额外电子的扩散流密度也可用其密度梯度和电子扩散系数Dn表示为
问题：什么情况下只须考虑一种额外载流子，什么情况下需要考虑两种载流子的扩散？
3、复合对额外载流子扩散的影响
扩散问题的另一个关注点是扩散路径各处粒子密度随时间的变化。因为半导体中的额外载流子在扩散过程中会因复合而消失，所以引起空间各处额外载流子密度随时间变化的原因，除扩散引起的积累而外，还有额外载流子复合导致的消失。利用菲克第二定律不难得出
                      (1-19)
式中，∆p(x)/τp表示复合率，即单位时间单位体积内由于复合而消失的额外空穴数。称此式为n型半导体中额外载流子（空穴）的扩散方程。
4、一维稳态扩散方程
若注入恒定，即保持注入表层额外载流子密度∆p(0)恒定不变，扩散路径各处的载流子复合率也保持不变，则经过短暂时间后系统会趋于稳定，形成不随时间变化的额外载流子密度分布∆p(x)和扩散流密度分布Sp(x)。称这种情况为额外载流子的稳定扩散。这时，由上式不难得出
                          (5-81)
这就是一维稳定扩散情况下额外载流子所遵守的扩散方程，称为稳态扩散方程，其普遍解为 
                  (5-82)
其中，被称为空穴扩散长度。类似地，被称为电子扩散长度。
向P型半导体中注入额外电子时，其稳态扩散方程和相应的普遍解为
      和           (5-83)
三、扩散方程在不同边界条件下的解
1、无限厚样品
凡是有足够厚度能使额外载流子在尚未到达样品的另一端之前就全部因复合而消失，即可视
为无限厚样品。相应的边界条件是：x时，∆p＝0；x＝0时，∆p＝∆p(0)。按此边界条件，稳态扩散方程的通解式中必有B＝0，A＝(∆p)0，于是，无限厚样品稳态扩散方程的解是
                        (5-84)
这表明注入载流子的密度从表面的∆p(0)开始，向内部按指数规律衰减。显然，扩散长度Lp表示额外空穴在边扩散边复合的过程中，密度减少至原值的1／e时所扩散过的距离。Lp还表示额外载流子在复合之前的平均扩散距离，因为
                （5-85）
扩散长度由载流子的扩散系数和寿命决定。实际情况中，一种材料的载流子扩散系数已有标准数据，因而扩散长度的测量常作为测量寿命的方法之一。
将式(5-84)代入式(5-79)得到空穴扩散流密度的表达式
或             (5-86)
扩散速度  以上公式中的Dp/Lp 具有速度的量纲，称为扩散速度。
第一个等式表明，空穴流密度以扩散长度Lp作为特征参数由表向内衰减。式中，Sp0表示光注入表面上的空穴扩散流密度，其值为
第二个等式则意味着各处的扩散流的大小即为各处额外载流子的密度与其扩散速度的乘积，正如漂移电流密度等于载流子密度与漂移速度的乘积一样。
    2、有限厚度样品
设样品厚度为W，额外载流子扩散到样品背面前尚未完全复合，但会被表面全部吸收。这时的边界条件是：在x＝W处，∆p＝0；在x＝0处，∆p＝∆p(0)。将这两个条件代入式(5-82)得
                        (5-87)
解此联立方程得
    ；            (5-88)
因此，稳态扩散方程对厚度为W的样品的解是
                        (5-89)
对W<< Lp的特例，上式简化为
                        (5-90)
图5-14  非平衡载流子的线性分布
这时，额外载流子密度在样品内呈线性分布，如图5-14所示。其浓度梯度为
              (5-91)
扩散流密度为一常数，即
                    (5-92)
这意味着在厚度小于载流子扩散长度的样品中额外载流子没有复合。在晶体管中，基区宽度一般比扩散长度小得多，从发射区注入基区的额外载流子在基区的分布近似符合上述情况。
四、高维扩散方程（点注入情况）
多数情况下，三维半导体器件的电流密度可以按一维情况对待而无太大变化，需要时按二维问题处理也足够精确，很少考虑三维问题。即便是三维问题，一般也可根据具体情况选择适当的坐标系，使问题简化。例如，对探针注入的特殊情况，设想探针尖陷入半导体表面形成半径为r0的半球，注入载流子的扩散具有球对称型，密度∆p只是径向距离r的函数。这时，用球面坐标系建立稳态扩散方程较为简单，三维稳态扩散方程
就变成了一个一维方程
该方程满足边界条件的解为
在注入边界r0处，沿径向的扩散流密度
与平面注入情况相比，上式中扩散速度增加了一项Dp/r0。这表明，点注入比平面注入的扩散效率高。道理很明显，因为在平面情况下，浓度梯度完全依靠额外载流子的复合来建立；而在点注入情况下，径向运动本身就是对载流子的疏散，造成浓度梯度，增强了扩散的效率。特别当r0<<Lp时，由注入面的几何形状产生的扩散效果远超过复合的效果。
五、扩散电流
因为电子和空穴都是带电粒子，所以它们的扩散运动也必然伴随着电流的出现，形成扩散电流。考虑到空穴和电子的极性不同，其扩散电流密度分别为
；
§5.5  电场作用下的载流子扩散
一、外加电场下的额外载流子
若半导体中额外载流子密度不均匀，同时又有外加电场的作用，那么额外载流子除了扩散运动外，还要做漂移运动。若外加电场为E，则全部电子和全部空穴的的漂移电流密度分别为
；
注意式中p=p0+p，n=n0+n。扩散电流和漂移电流叠加在一起构成半导体的总电流。例如，对一块掺杂均匀的n型半导体，沿x方向加一均匀电场│E│，同时在表面处光注入额外载流子，则少数载流子空穴的电流密度为
                    (5-111)
电子的电流密度为
                    (5-112)
  二、扩散系数与迁移率的关系  爱因斯坦关系
1、非均匀掺杂半导体中的载流子扩散
在热平衡状态，即便是掺杂浓度不均匀的半导体，客观上观察不到载流子的扩散，但这并不意味着扩散理论不适合于掺杂浓度不均匀的情况。
以n型半导体为例，设其中的施主杂质浓度沿x方向降低，因而电子的热平衡密度是x的函数，写为n 0 (x)。由于浓度梯度的存在，电子沿x方向扩散，产生扩散电流，电流密度
                            (5-113)
    因为电离施主不能移动，电子的扩散使电中性受到破坏，产生体内静电场│E│，该电场使电子沿－x方向漂移，产生的漂移电流密度
                            (5-114)
在热平衡条件下不存在宏观电流，即平衡时电子的扩散电流和漂移电流之和为零，即
                    (5-115)
2、电场对半导体能带结构和热平衡载流子密度的影响
当半导体内部出现电场时，半导体中各处的电势要发生变化，成为x的函数，写为V(x)，即
                                                      (5-116)
在考虑电子的能量时，必须计入附加的静电势能[－qV(x)]，因而导带底的能量应为[EcqV(x)]，它也相应地随x变化。在非简并情况下，电子密度应为
                                    (5-117)
求导得
                        (5-118)
3、爱因斯坦关系式
将式(5-116)和式(5-118)代入式(5-115)得到
                              (5-119)
同理，对空穴可得
                      (5-120)
以上二式称为爱因斯坦关系式。它表明，非简并情况下载流子迁移率和扩散系数之间保持与温度有关的正比例关系。
虽然爱因斯坦关系式是针对热平衡推导出来的，但实验证明，这个关系可直接用于非平衡态。这说明刚注入的额外载流子虽然具有跟平衡态载流子不同的速度和能量，但由于晶格的作用，在比寿命τ短得多的时间内就取得了与该温度相适应的速度分布，因此在复合前的绝大部分时间内已和平衡态载流子没有什么区别。
利用爱因斯坦关系式，由己知的迁移率数据，可以得到扩散系数。
三、半导体中同时存在扩散和漂移时的电流密度方程
由式(5-111)和式(5-112)，再利用爱因斯坦关系式，可将半导体中由额外载流子密度差产生的电流密度表示为
            (5-121)
对非均匀半导体，热平衡载流子浓度也随x而变化，扩散电流应由载流子的总浓度梯度dn/dx，dp/dx决定。因此，半导体中同时存在扩散运功和漂移运动时的电流密度方程式又可写为
            (5-122)
注入

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