数学核心内容教学的问题串精细化设计
台州市实验中学 朱善聪
［摘  要］当前课改聚焦课堂教学改革.课堂教学应主要围绕核心内容展开，这样才能使数学课堂教学变得更有效。而数学课堂是在不断的提出问题、分析问题、解决问题过程中展开的。在数学核心内容教学中精细化设计问题串使学生加深对数学知识、原理、方法的理解，拓展学生的思维.本文结合核心概念课例以及核心内容习题课例的问题设计，并对比了“浅入深出,由小及大"，“深入出浅，以大概小”两种问题串的设计方式，最后对核心内容教学的问题串精细化设计进行了概念辨析和反思。
    [关键词］核心内容，问题串，精细化设计
    高中数学课程标准指出：数学教学中应加强对基本概念和基本思想的理解和掌握，对一些核心概念和基本思想要贯穿高中数学教学的始终，帮助学生逐步加深理解uniapp 字符串转数组①.恩格斯说：“在一定意义上,科学的内容就是概念的体系。"在数学教学中，从课堂提问到新概念的形成与确立，新知识的巩固与应用,学生思维方法的训练与提高，以及实际应用能力和创新能力的增强,均从“问
题”开始。所谓问题串，是由一连串具有逻辑联系的问题构成的问题系列。在数学核心内容教学中如何精细化设计问题串才能使得提问更有针对性,课堂更有效，笔者结合自己的教实践，浅谈个人的观点.
1引发“核心内容教学的问题串精细化设计"的例子
下面是两种不同课型的问题串设计的数学课:
1.1核心概念课的教学设计
同课异构下的《函数单调性》的概念课教学设计。
我们如何用代数方法证明函数在区间上为单调递增函数?
有同学提出来用两个特殊值来检验，有同学因为表格中的数据直观地显示出随x的增大越来越大,可能把区间上“所有的”实数都一一例举验证，有的考虑用字母符号表述。
为了启发学生获得证明思路，突破思维瓶颈，老师设计了下面的问题:
设计1:
问题1：如果对于区间上任意有，则函数在区间上单调递增。这个说法对吗？请举例或者画图说明.
问题2:设函数在区间上，有无数个自变量，使得当时，有，可不可以说它在上单调递增？请举例或者画图说明。
问题3:在函数的图象上任意取两点，自变量大的函数值也一定大,能否说明函数在上单调递增?
设计意图：问题1描述性定义的辨析，逐渐引出定量定义，让学生获得必须是两个变化的量的比较.问题2较为贴近描述性定义,但是属于对描述性定义的误解。通过学生们通过思考,交流，给出许多对问题否定的图例，并发现必须选能代表（或代表）区间内的所有实数的字母。 “许多个”不能代表“全部"，也不实际。取“任意一个”不行，“任意三个”多了，所以用“任意两个"更能精确表述了。问题3,在前两个问题的分析之后提出一个具体函数，比较它们的函数值， 进而提出“怎样用符号来表示”的问题。
设计2:
问题1：因为函数满足，所以在区间上是增函数，对么？
问题2：因为函数满足所以在区间上是增函数，对么？
问题3：对于函数在上任意的，当时,是否都有?
设计意图:通过反例说明要取遍所有的数.引导学生联想到用字母符号表示任意的数值。取任意两个，通过说理，明确符合“任意性”的要求。
点评：对定义中的“任意两个”这种表述或多或少是存有疑义的。我们必须引导学生去比照,去思考分析，概念中 “任意两个”这种数学叙述的重要意义。如何想到用任意两点的变化方向来刻画函数的增减性是难点所在,也正是数学中惯常使用的“用局部点的性质刻画整体性质的思想方法”。教师在教学中实际使用了一系列相关问题不断启发学生的学习，使学生在解决问题的过程中理解单调性概念形式化的必要性（解决问题的需要），从而既达到了教学目的。当然，企图在一节课中完成学生对函数单调性的真正理解是不现实的。在概念教学中，要从感性认识开始,使学生对概念表象，再上升到理性认识,并在“理解”与“使用”的多次反复中达到深
刻理解概念。这就要求教师不仅要把数学原理讲细讲透,还必须精细化问题串的设计,使学生加深对数学原理的理解,拓展学生的思维。
1。2核心内容例题、习题课的教学设计
设计3
人教A版《普通高中课程标准实验教科书·数学必修2》第3.2节“直线的方程"的例5是这样的：已知直线经过点A（6，—4 ), 斜率为, 求直线的点斜式方程和一般方程。我们可以将此例题进行设计问题串一题多变。
问题1:已知直线经过点A(6,-4 ),且与x轴垂直，求直线的方程。
问题2: 已知直线经过点A(6，-4 ),且与x轴平行，求直线的方程。
问题3:已知直线的 斜率为—4/3，求直线的方程。
问题4：已知直线经过点A(6，—4 ），求直线的方程。
    问题5： 已知直线经过点A（6，—4 )，且在x轴y轴上截距相等,求直线的方程。
设计意图： 问题1、2引出斜率不存在与斜率为0的直线方程,问题3、问题4促进对确定直线位置的几何要素的理解， 引出平行直线系、 引出中心直线系 ,问题5需要改变思维策略，进行分类讨论，利于培养学生思维严密性。
设计4:解析几何习题课
题目：如图1，对于点P，若存在过点P的直线交曲线于不同的两点A、B,且｜PA|=|AB｜，则称点P为“好点",点B为“伴点”。
问题1:P（1，0）是“好点”吗？
问题2：求出直线y=x-1上的所有“好点”。
问题3:平面上的“好点”一定在直线y=x—1上吗？
问题4：每个”好点“对应着几个“伴点”？
问题5:如图2,设B1、B2是点P对应的“伴点"请以此为背景设计一些题目,并说说解决它的大致思路。
1.3两种问题串的教学设计对比
设计1和设计2,问题设计“浅入深出，由小及大"，引导自主建构。先解决小问题,再解决大问题，让学生“看得见”，“够得着”。这样的设计，第一让学生从简单的情景出发，从学生的“最近发展区"出发，引导学生回顾旧的知识,激起对所学知识的回忆，建立知识间的联系。第二
教师真真发挥了主导者的作用,始终把握着知识的制高点，积极推进数学知识体系的构建。第三课前的精细化设计和课上即时生成一系列问题，引导学生自主展开有效的探究活动，预设与生成有机融合无缝对接,问题串的设计思考体现了课堂教学设计的主线.
设计3和设计4。问题设计“深入浅出,以大概小"，创造探究氛围.先抛出大问题,由学生自发探究小问题,历经千辛万苦,最后柳暗花明，豁然开朗。当然这样的设计基于学生的“最近发展区”，学生只要“伸伸手”、“垫垫脚"就可以够得着。这样的设计,首先教师只是从侧面引导，抛出大问题，留有空白，让学生自由发挥，实质上是引导学生就问题带着任务进行积极地自主学习,由表及里，深入浅出的进行探究。因此，问题串的设计应体现梯度性和过渡性,备课时要在精细化上下工夫，使学生在问题串的引导下，通过自身积极主动的探索，实现由未知向已知的转变．其次学生直面问题,锻炼学生的思维，本质上就是促使学生自己提出问题并想方设法解决问题,提高他们分析问题和解决问题的能力.
以上两种问题串的设计,解决问题的过程就是启发学生思维、掌握数学知识、培养数学能力的过程.经教师精细化设计的问题串，可以有效帮助学生形成新的数学概念，巩固与应用新知识,复习与强化旧知识，同时训练与提高学生的思维方法，增强学生的实际运用能力和创新能力.
2对“核心内容”的理解和“精细化问题串设计"的辨析
2。1“核心内容“的理解
    中学数学中的概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容反映出来的数学思想和方法① 称为知识。而核心知识指中学数学知识体系中，明确的、结构性的知识，因而是有广泛运用的、重要的知识。概念是人们对事物的本质认识.任何一门学科都是以基本概念为基础的。中学核心内容包括核心概念和基本思想方法。“学科教学需要体现学科本质"的认识已逐渐被认同。对中学数学教学核心知识的研究，可以帮助教师和学生准确把握数学知识体系,扼制“题海战术”,减轻教学负担.对中学数学教学核心知识的研究,可以为教学评价提供具体的内容依据。
2.2“核心内容教学的精细化问题串设计”的辨析
    为什么要进行核心内容教学的精细化设计？
首先核心内容教学设计，是数学课堂教学设计重点所在。精细化设计，往往能为一个好的教学设计带来画龙点睛的功效.教学要想取得良好的效果，各个环节都起着重要的作用,而其中
一个很重要的环节就是对问题的设计以及相关例题的设计。在数学教学中最难,也是最重要的是数学核心概念的教学。长期以来，数学教师普遍重解题、轻概念。核心概念教学，思想方法的渗透淹没在大量的解题技能培训中。数学概念较为抽象，使人费解，常使学生感到索然无味,对数学课提不起兴趣，致使不少学生概念模糊,从而影响对数学内容的后续学习。
其次，学生在数学学习过程中，普遍感到数学课能“听懂"，可不会解题。产生这种现象的原因一是来源于老师的教，二是学生的学。教师的怎样教，取决于教师对数学本质的理解。大部分教师通常在课堂上采取这样的一种教学模式，提出问题→介绍相关概念、定理、推论→引出最后的结论。高中数学教学要依仗对数学问题的设计、例题的设计，这样才能够比较好地将学生们的思维自然地引入到数学思考中来。这样可以让学生们比较容易地接受数学概念和逻辑性,但是在数学教学过程中，如何合理地选择和设置问题、选取例题一直以来都是数学教师争相探讨的问题,也是困扰高中老师的难题。教师在设计问题中，“问题"没有针对性，价值不高，没有起到启发引领的作用；教师在例题教学中，往往对例题本身讲解较透,但是缺少对进行例题扩展和变式训练。而科学合理的对核心内容（包括核心概念、例题)进行设计,确保准、落实重难点,让基础知识、基本技能得到强化，让学生在方法习得上有明显的提高，并满足不同层次学生恰到好处地进行自主探究，构建有思维的数学课堂，会使激发学生们的
数学学习兴趣，从而提高课堂教学效率.
3“核心内容教学的问题串精细化设计”的教学反思
    在新课程理念下,要以学生为主体,改变以往单调枯燥的学习数学概念方法，要研究学生，研究教材，通过对核心内容的精细化设计,充分调动学生积极性，提高学生学习数学的兴趣.由于数学思维就是解决数学问题的心智活动,就是提高学生学力主观能动过程,总是表现为不断地提出问题、分析问题和解决问题，因此数学问题是数学思维载体,也是数学思维活动的核心动力．如果问题串的设计能从学生知识可接受性的实际出发，确定合理的难度和适当的思维强度，就能有效促进学生求异思维和发散思维的发展。特别注意的是问题串的精细化设计,不是要面面俱到，不是无限制下注角,也不是堆砌层层关卡，道道习题，更不是简单的概念+例题+变式,“为赋新词强说愁”。对核心内容教学的问题串设计，强调知识构建，重视思维训练，提倡自主生成；是抓大放小，“大处着眼，小处着手”;围绕“核心"，主次分明，虽“细”但“精”，是科学合理对核心概念、基本思想方法的一体化生态设计。
参考文献:
[1]  中华人民共和国教育部。普遍高中数学课程标准（实验)[M].北京：人民教育出版社，2003。
［2]  章建跃。《高中数学核心内容教学设计案例集》（上、下册)［M］.北京：人民教育出版社，2014。
[3］  朱立明，韩继伟.《高中“数与代数”领域的核心内容:函数-—基于核心内容内涵、特征及其数学本质的解析》［J］。《中小学教师培训》，2015年07期.
[4］  朱善聪.《新课标课本例题教学精细化设计摭谈》［J］。《新课程研究》,2014年04期。
［5]  王先进。《谈问题串的设计方法》[J].《数学通报》, 2012年07期 .
 
本文系2016年市教育规划课题《高中数学核心内容教学的精细化设计》（编号TG16283）的阶段研究成果。
作者简介：朱善聪，中学高级，中国数学奥林匹克一级教练员。论文《catalan数的一些结论》为国家自然科学基金资助项目（10371048），主持多项省市课题并获优秀结题证书和优秀成果奖,多篇论文发表国家级省级核心期刊。

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