第六章  统计计算方法
在统计领域里，统计计算技术近年来发展很快，它使得许多统计方法，尤其是Bayes统计得到广泛运用。下面我们介绍一些基本的计算方法以及最近发展很快的一些计算技术。
§6.1  随机数的产生
在各种统计计算中常需要产生各种概率分布的随机数，而大多数概率分布的随机数的产生均基于均匀分布U(0,1)的随机数。本节我们首先介绍产生各种分布随机数的方法。基本方法有如下三种：逆变换方法，合成方法和筛选方法。然后介绍一些特定分布的随机数产生方法。此外，我们假定读者已掌握了U(0,1)分布的随机数的产生方法。事实上，U(0,1)分布随机数的产生在大多数计算语言（软件）中都有现成的程序可调用，另外，U(0,1)分布随机数的产生在一些文献[1][2]中有详细的介绍。
本节主要介绍一个随机数的产生方法。一般情况下，n个独立随机变量可由n次重复抽样获得。
§6.1.1  逆变换法
设随机变量X的分布函数为F（x），定义
                （6.1）
则有如下定理：
定理6.1  设随机变量U服从(0,1)上的均匀分布，则的分布函数为
证明：由(6.1)式和均匀分布的分布函数可得
证毕.
由定理6.1, 要产生来自的随机数,只要先产生来自的随机数u,然后计算即可. 其具体步骤为
                （6.1）
例6.1  设则其分布函数
从而
若由抽得u，则是来自的一个随机数。
例6.2  设是来自的一个样本，我们要产生Y1的随机数。当然，这可以通过产生n个来自F(x)的独立变量并求最小值来得到，但这样做是不必要的。我们知道，
易计算
应用（6.2），可直接产生来自G（Y）的随机数. 譬如，若，则由于与U同分布，上式也可写成
例6.3  设连续随机变量X的密度函数为
其中
    令则对任一x，令有
由F(X)=U可解出
此处i满足. 具体步骤为
§6.1.2  合成法
合成方法的应用最早见于Butler的书[3]中. 他的想法是：如果X的密度函数p(x)难于抽样，而X关于字符串常量长度计算方法Y的条件密度函数p(x|y)以及Y的密度函数g(y)均易于抽样，则X的随机数可如下产生.
                    （6.3）
可以证明[2]，由（6.3）得到的X服从p(x).
例6.4  设X的密度函数为，其中诸 是密度函数. 令由合成法，X的随机数可如下抽取：
譬如，, 其分布函数为，若用逆变换法抽样，则要解二次方程，较为麻烦. 考虑用合成法，将分解， 由(6.3)，结合逆变换法，我们可给出具体抽样步骤为
§6.1.3  筛选抽样
假设我们要从抽样，如果可以将表示成，其中h(·)是一个密度函数且易于抽样，而是常数，则X的抽样可如下进行.
                  （6.4）
由(6.4)表示的抽样方法称为筛选抽样（Acceptance/Rejection Sampler），其理论依据是下述定理6.2
定理6.2  设X的密度函数为，且 其中 是一个密度函数. 令U和Y分别服从和，则在的条件下，Y的条件密度为
证明：由Bayes公式，注意到有
证毕.
应该指出(6.4)抽样有两点很重要. 一方面h(x)应易于抽样，另一方面，我们不能保证抽几次可以得到一个p(x)的随机数，这就涉及到关于抽样方法的效的问题。所谓效，指的是平均抽几次可以得到一个随机数[4]。
h(x)的选取有多种方法. 一种直观的方法是：如果存在一个函数M(x)，满足且·若h(x)易于抽样，则（6.4）变成
                （6.5）
特别，若X的取值空间有限，譬如并设存在，则可取（6.5）简化为
        （6.6）
例6.5  设此处应用（6.6）即可给了如下抽样方法：
例6.6  设
                    (6.7)
已知. 注意到
取
则
于是，分布(6.7)的随机数可如下抽取：
筛选抽样方法是一个相当重要的抽样方法，它可解决许多难以直接抽样的分布的抽样问题。关于筛选抽样的进一步讨论查阅有关文献[4]。
§6.1.4  连续分布的抽样方法
§6.1.4.1  指数分布的抽样法

版权声明：本站内容均来自互联网，仅供演示用，请勿用于商业和其他非法用途。如果侵犯了您的权益请与我们联系QQ:729038198，我们将在24小时内删除。