集合及其表示方法
知识精要
1.集合：我们把能够确切指定的一些对象组成的整体叫做集合，简称集。集合中的各个对象叫做集合的元素。
集合、元素以及关系的表示符号：
集合常用大写英文字母、、……来表示，集合中的元素常用小写英文字母、、……来表示。
如果是集合的元素，记作，读作“属于”；如果不是集合的元素，记作，读作“不属于”。
2.集合元素的特性
（1）确定性：元素与集合的从属关系是明确的（即与 ，二者必居其一）。
元素的属性是明确的（模棱两可是不可以的）。
（2）互异性：集合中的元素是互不相同的（即一个给定的集合中的任何两个元素都是不同的对象）。
（3）无序性：不考虑集合中元素之间的顺序。
3.集合的分类
（1）有限集：含有有限个元素的集合；
（2）无限集：含有无限个元素的集合；
另外，根据集合元素的类型可以把集合分成数集、点集等。
4.空集：空集不含元素。记作
5.集合的表示方法
（1）列举法：将集合中的元素一一列出（不考虑元素的顺序），注意元素之间用逗号隔开，并且写在大括号内。
例如：不等式的正整数解的集合，可以表示成{1，2，3，4，5}。
又如：方程组的解组成的集合可表示为。
① a与{a}不同：a表示一个元素，{a}表示一个集合，该集合只有一个元素
② 元素与元素之间用逗号隔开，单元素集合不用逗号。
（2）描述法：在大括号内先写出这个集合的元素一般形式，再画出一条竖线，在竖线后面写出集合中元素所共同具有的特性。其形式是{x|x满足性质p}。
例如：方程的解的集合，可表示为；
又如：直线x+y=1上的点组成的集合，可以表示为：{}
注：同一个集合，有时既可以用列举法又可以用描述法，那么何时用列举法？何时用描述法？
（1）有些集合的公共属性不明显，难以概括，不适合用描述法表示，只能用列举法。如集合。
（2）当集合中元素个数较少时，多用列举法。
（3）当集合中元素个数较多时，都写出来太烦了，可写其中一部分元素，由此提供一定规律可用省略号代表余下的元素。如：从51到100的所有整数组成的集合：{}；所有正奇数组成的集合：{}。
（4）有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法。
注：1）在不致混淆的情况下，可以省去竖线及左边部分，即{锐角三角形}，但不可写成{所有锐角三角形}或{锐角三角形集}，因为集合符号“{ }”已包含“所有”的意思；且“{ }”就是集合的符号，因而大括号内的文字描述，不应再用“全体”“所有”“全部”或“集”等术语。
2）用描述法表示一个集合，必须认真出集合中元素的公共属性，既要是每一元素所共有，又要不为集合外其它元素具有。
例如将1、3、5、7、9所组成的集合表示为：{小于10的自然数}就不对，因为1、3、5、7、9虽然是小于10的自然数，但尚有其他小于10的自然数2、4、6、8等不是集合中的元素。
6.常用数集的符号表示：
数的集合简称数集。
自然数集，记作，不包括零的自然数组成的集合，记作
整数集，记作；正整数集，记作；负整数集，记作；
有理数集，记作；正有理数集，记作；负有理数集，记作；
实数集，记作；正实数集，记作；负实数集，记作.
精解名题
例1.判断下列对象能否组成集合:
(1)不等式的正整数解；       
(2)方程的解；             
(3)数轴上非常靠近原点的点；         
(4)使的值很小的的值。       
注意：元素的属性是明确的（模棱两可是不可以的）
集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素；只要是它的元素就必须符合条件．
例2. 用或填空：
(1)  0    {0}；    (2)  0    ；    (3)  0    ； 
(4)  -1    ；    (5)     ；    (6)  0    。
注：、与区别：它们都表示集合。但只有一个元素0；不含任何元素；是以空集作为元素的集合。
例3. 用适当的方法表示下列集合：
(1) 关于的不等式的整数的解集；   
(2) 所有奇数构成的集合；                 
(3) 方程的解的集合； 
(4) 直角坐标平面上所有第三象限的点；       
(5) 函数y=|x|-3 的所有函数值组成的集合。 
例4.判断元素0，1，（0，1）分别与集合A={x|y=x2+1},B={y|y=x2+1},C={(x,y)|y=x2+1}之间的关系。
注意：点集与数集的区别。集合中的元素可以是数、点、图形甚至是集合。
例5.已知集合, 求的取值范围.
例6.已知集合，求集合。
例7.用列举法表示下列集合：
备选例题
例1、用适当的方法表示下列集合
  （1）大于0且不超过6的全体偶数组成的集合
  （2）被3除余2的自然数全体组成的集合
  （3）直角坐标平面上第二象限的点组成的集合
例2、已知集合，，若集合中至多有一个元素，求
 
例3、设集合A={(x,y)|x+y=6,} ，使用列举法表示集合A。
例4．关于x的方程，当a,b,c分别满足什么条件时解集为空集、含一个集合、含两个集合？
例5、已知集合A={}只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A。
巩固练习
一、选择题
1、下列给出的对象中，能表示集合的是(  )
A、一切很大的数                  B、无限接近零的数
C、聪明的人                      D、方程的实数根
2、给出下列命题：
1) N中最小的元素是1；     
2) 若，则；
3)若则a+b的最小值是2                                   
其中所有正确命题的个数为（    ）
A、0          B、1          C、2          D、3
3、由组成一个集合A，A含有3个元素，则实数a的取值是（      ）
A、1  B、-2  C、6    D、2
4、下列集合表示法正确的是（          ）
A.{1,2,2}        B.{全体实数}     
C.{有理数}      D.不等式的解集为{}
5、设A={a},则下列各式正确的是（    ）
A、        B、        C、        D、a=A
6、集合{}的另一种表示法是（      ）
字符串是什么字符的集合
A、{0，1，2，3，4}              B、{1，2，3，4}
C、{0，1，2，3，4，5}          D、{1，2，3，4，5}
7、由大于-3且小于11的偶数所组成的集合是（    ）
A、{x|-3<x<11,}                    B、{x|-3<x<11}
C、{x|-3<x<11,x=2k,}                D、{x|-3<x<11,x=2k,}
8、下列说法正确的是        （    ）
    Ａ．某个村子里的年青人组成一个集合
    Ｂ．所有小正数组成的集合
    Ｃ．｛１，２，３，４，５｝和｛５，４，３，２，１｝表示同一个集合
    Ｄ．这些数组成的集合有五个元素
9、下面有四个命题：
    （１）集合Ｎ中最小的数是0；
    （２）０是自然数；
    （３）｛１，２，３｝是不大于３的自然数组成的集合；
    （４）
    其中正确的命题的个数是            （        ）
    Ａ．１个        Ｂ．２个        Ｃ．３个            Ｄ．４个
二、填空题
10、已知集合A={2，4，}，若，则x=________________
11、在平面直角坐标系内第二象限的点组成的集合为_______________
12、方程的解集可表示为_____________________
13、方程的解集中含有_________个元素。
14、集合{}用列举法表示为_________________

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