第三部分 上下文无关语言和下推自动机
前面介绍的有限自动机是计算的初级模型，它所接受的正规语言不太关心字符串自身的结构。上下文无关文法（CFL）是一种简单的描述语法规则的递归方法，语言中的字符串由这些规则产生。所有的正规语言都能用上下文无关文法描述，它也可以描述非正规语言。上下文无关文法描述的语法规则更复杂多变，可以在相当大的程度上，描述高级程序设计语言的语法和其他一些形式语言。
类似正则语言对应的抽象机模型是有限自动机，CFL也有对应的抽象机模型。CFL对应的计算模型是在有限自动机的基础上增加存储空间得到，并被设想成无限空间（对应有限自动机的有限空间），采用了一种简单的管理模式，栈（stack），这种新的计算模型（或抽象机）称为下推自动机（pushdown automata），下推是栈最典型的操作。有必要在下推自动机中保留非确定性，确定型下推自动机不能接受所有的CFL，但给定一个CFG，容易构造一个相应的非确定型下推自动机，它在识别字符串过程中的移动模拟了文法的推导过程，这个过程称为分析（parse）。分析不是一定需要下推自动机来完成。
CFL仍然不够通用，不能包括所有有意义的、或有用的形式语言。采用类似第五章的技术，我
们将给出一些不是CFL的简单例子，这些技术也用于解决与CFL相关的判定问题。


6 上下文无关文法
6.1 上下文无关文法的定义
为了描述我们在第二部分考察的各种语言，包括一些非正则语言，我们引入一种语言的递归定义方法，称为文法。文法与我们熟悉的语言的语法描述相近，是描述语言和分析语言的有力工具。
问题：文法的形式化定义似乎可以模仿有限自动机，比如5元组或6元组之类。
例子6.1 正如我们在例子2.16中所见，字母表{a, b}上的回文语言pal可以用下面的递归方法描述：
1. , a, b pal
2. 对每个S pal，aSa和bSb也属于pal
3. pal中不包含其他字符串
如果将上面的符号S看成一个变量，代表了所有我们希望计算（比如某种递归算法）的pal的元素，那么上面的规则1和规则2可以非正式地重新表述如下：
1. S的值可以是 , a, b
2. 每个S可以写成aSa或bSb的形式
如果我们用 表示“可以取值为”，则可以写出下面的式子：
    S aSa abSba ab ba=abba
    上面的产生过程可以总结成下面的两组产生式（或称规则）：
    S a | b |
    S aSa | bSb
    符号“|”表示“或”的含义。上式的含义是aSa或bSb，而不是a或b，即连接运算的优先级高于“|”。我们使用的这套术语中，小写字母a和b表示终结符，大写字母S表示非终结符，或称变量。总共有5条规则，或产生式（production）。符号S是非终结符，也是起始终结符，即我们生成字符串的起始符号是S，然后不断利用规则替换符号串中的非终结符，直到最终得到一个不含非终结符的符号串，就生成了规则所定义的语言的一个字符串。
    例子2中的产生式具有除起始符S外的多个非终结符，我们设想S表示了语言中任意的字符串，其他非终结符表示了其他辅助性的字符串类型，他们可用来方便地生成S表示的字符串。
    例子6.2 我们要构造一个生成所有在字母表{a, b}上的非回文字符串的文法，那样的字符串可以描述如下：从字符串的两端开始比较，也许能够发现一些相同的字符对，但最终能够发现一对不同的字符。对于前一种情况，我们可以借用回文语言的产生式：
    S aSa | bSb
如果加入产生式
    S a | b |
则这种左右匹配的形式将体现在整个字符串上，为了中断这种左右匹配的情况，即体现上面提到的第二种情况，我们引入新的非终结符，比如D，表示那些左右两个端点上的字符不同的字符串。且所有符合D的字符串也符合S，因此有S D。
    非终结符的定义比较简单，它唯一的条件是左右两个端点的字符不相同，中间的字符串可以是任意的，我们用非终结符A表示任意的字符串，则有D aAb | bAa。
    A表示任意的字符串，因此A的产生式更简单了，不用添加新的非终结符来简化问题，它的产生式是，A  | aA | bA。
    我们把上面三个非终结符的产生式写在一起，就得到了描述所规定语言的产生式集：
    S aSa | bSb | D
    D aAb | bAa
    A  | aA | bA
    因此一个完整的非回文字符串“abbaaba”的产生过程是，
    S aSa abSba abDba abbAaba abbaAaba abba aba abbaaba
    定义6.1 上下文无关文法（context-free grammar, CFG）是一个4元组G=(V, , S, P)，其中，V和 是不相交的有限集，S V，P是一组有限的产生式规则，形如A  ，其中A V，且  (V  )*。
V的元素称为非终结符（或变量）， 的元素称为终结符，S是一个特殊的非终结符，称为起始符，P的元素称为语法规则，或产生式。
设G=(V, , S, P)是一个CFG，我们将符号 保留给P的产生式专用，符号 G用于表示字符串的产生过程的每一步，如  G 表示字符串 能够通过替换 中的某些变量（根据P定义的产生式来替换）得到，即如果有
= 1A 2且A  P，则 = 1  2。
这里能够看到，我们命名为上下文无关（context-free）的含义，即我们在利用产生式规则，
用一组符号替换某个非终结符时，与非终结符的上下文无关（此处，A的替换与 1和 2无关），替换是无限制的。
符合标识符的字符串是什么    在没有多个文法出现，很清楚用到文法G是什么的情况下，推导符号 G可以简写成 。多步的推导可以写成 *G，即如果存在一组符号串， = 0、 1、…、 k= ，每个后者都是前者的直接推导，则称为 可以多步推导出 ，记为  *G ，简写成  * 。
    定义6.2 G=(V, , S, P)是一个CFG，则G产生的语言是所有可由G产生的字符串组成的集合，即L(G)={x  * | S *Gx}。一个语言L是上下文无关语言（context-free language, CFL），当且仅当存在一个CFG G，使得L=L(G)。
   
此处可以把文法设想成类似自动机的抽象模型，则一个语言L是CFL当且仅当存在一个CFG G接受它（或识别它），类似前面正则语言与有限自动机的关系，接受（或识别）的含义是两方面的，一方面凡是L中的字符串都能由G产生，另一方面，凡是不属于L的字符串都不能由G产生。前面的例子，能够比较容易地说明这两方面的限制，下面的例子则不是很明显。
例子6.3 考虑语言L={x {0, 1}* | n0(x)=n1(x)}，其中ni(x)表示数字i在x中的出现次数（即含有相同数目0和1的语言）。写出生成L的CFG。
分析：既然CFG的本质是一个递归定义，那么类似例子6.1，我们可以先发现归纳基础，然后到归纳推理。显然  L，另外如果存在一个字符串x L，那么得到更长的属于L的字符串的两个方法是，0x1和1x0，即分别在两端添加相同数量的0和1。（当然，还有很多生成方法，比如x01，x10，或在x中插入相同数量的0和1），这样得到三个产生式：
S  | 0S1 | 1S0
显然，还遗漏了一些字符串，如0110。我们注意到L中任意两个元素的连接仍然属于L，因此可以增加一个产生式，S SS。与前面的三个产生式合并，我们得到一个CFG G如下，
S  | 0S1 | 1S0 | SS
显然G产生的字符串都满足0和1数目相等这个条件，即L(G) L，现在只要证明L L(G)。
令d(x)=n0(x)-n1(x)。则字符串x L，当且仅当d(x)=0。因此只需证明每个满足d(x)=0的x，都有x L(G)。我们用数学归纳法来证明L L(G)。归纳对象是字符串的长度|x|。
1. 归纳基础，|x|=0且d(x)=0，则x L(G)，这是显然的，因为此时x= ，而 可以由产生式S  得到。

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