正态分布函数表达式推导truncated normal distribution
    正态分布函数（NormalDistribution）是数学统计学中最常用的概率分布，它可以提供最重要的信息，包括一般抽样分布的均值和方差，以及一些特定随机变量的概率密度。此外，正态分布还可以用于描述现实世界中的多种随机过程，如外观质量、财务报表质量等，从而被广泛用于实际工作和研究中。本文将从表达式来推导正态分布函数，从而更深入地理解正态分布以及如何用它来描述实际现象。
    首先，正态分布函数的表达式是一个非常复杂的概率密度函数。它可以表示为：
    $$N(x ; mu,sigma^2) = frac {1}{sqrt {2 pi sigma ^2}}e ^{frac{-(x - mu)^2}{2 sigma^2}}$$
    其中，μ是正态分布的均值，σ2表示方差。可以看出，此表达式与已知的指数函数形式有所不同。为了更好地理解正态分布函数的概念，我们假设μ和σ2的值都固定，将上述表达式展开并展示如下：
    $$ N(x ; mu,sigma^2) = frac{1}{sqrt {2 pi sigma ^2}}{e^{-frac {(x-mu)^2}{2 sigma^2}}} = frac{1}{sqrt {2 pi sigma ^2}}{ (1- frac{(x-mu)^2}{2 sigma^2})^{-frac{1}{2}} } $$
    其中，指数项称为正态分布函数的多项式因子，可以通过幂级数来表示：
    $$N(x ; mu,sigma^2) = frac {1}{sqrt {2 pi sigma ^2}} sum_{n=0}^{infty} frac{(-1)^n}{2^n cdot n!} cdot (x - mu)^{2n}$$
    接下来，我们可以将正态分布函数的多项式因子以紧凑方式表示出来，即：
    $$N(x ; mu,sigma^2) = frac {1}{sqrt {2 pi sigma ^2}} cdot e^{-frac {(x-mu)^2}{2 sigma^2}} cdot left( 1 + frac{(x-mu)^2}{sigma^2} + frac{(x-mu)^4}{2 sigma^4} + frac{(x-mu)^6}{6 sigma^6} + frac{(x-mu)^8}{24 sigma^8} + cdotsright)  $$
    以上，就是正态分布函数的表达式，它可以用来描述多种实际情况，比如外观质量、财务报表质量等。值得提醒的是，在实际应用中，来自实际情况的数据可能不完全遵循正态分布，因此需要用更适宜的方法拟合实际数据，以便得出更准确的推论。
    总而言之，通过以上对正态分布函数表达式的推导，我们可以更好地理解正态分布的概念，从而有效应用它，描述实际的现象。

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