取整函数
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下取整函数
上取整函数
在数学和计算机科学中，取整函数是一类将实数映射到相近的整数的函数。[1]
常用的取整函数有两个，分别是下取整函数和上取整函数。
下取整函数在数学中一般记作或者E(x)，在计算机科学中一般记作 floor(x) ，表示不超过x的整数中最大的一个。
举例来说，，，，。对于非负的实数，其下取整函数的值一般叫做它的整数部分或取整部分。而叫做x的小数部分。每个分数都可以表示成其整数部分与一个真分数的和，而实数的整数部分和小数部分是与此概念相应的拓延。
下取整函数的符号也会用方括号表示，如[2.3]=2，称作高斯符号。而(x)则被用来表示一个数的小数部分，如(2.3)=0.3。
上取整函数在数学中一般记作，在计算机科学中一般记作ceil(x)，表示不小于x的整数中最小的一个。
举例来说，，，，。
计算机中的上取整函数和下取整函数的命名来自于英文的 ceiling(天花板) 和 floor(地板) ，相关的记法由肯尼斯·艾佛森于1962年引入。[2]
[编辑] 性质
对于下取整函数，有如下性质。
∙按定义：
等号成立当且仅当x为整数。
∙设 x 和 n 为正实数，则：
∙下取整函数为等幂运算: .
∙对任意的整数 k 和任意实数 x，
∙一般的数值修约规则可以表述为将x映射到 floor(x + 0.5)；
∙下取整函数不是连续函数，但是上半连续的。作为一个分段的常数函数，在其导数有定义的地方，下取整函数导数为零。
∙设 x 为一个实数， n 为整数，则由定义，n ≤ x 当且仅当 n ≤ floor(x)。
∙用下取整函数可以写出若干个素数公式，但没有什么实际价值。
∙对于非整数的 x，下取整函数有如下的富里叶展开：
∙对于互素的正整数 m 和 n ，有：
∙根据Beatty定理，每个正无理数都可以通过下取整函数制造出一个整数集的分划。
∙最后，对于每个正整数k，其数位长度为：
对于上取整函数：
∙显然有：
∙以及：
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∙对于整数k有：
.
[编辑] 其它等式
∙设 x 为一个实数， n 为整数，则

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