第61卷 第3期吉林大学学报(理学版)
V o l .61 N o .3
2023年5月
J o u r n a l o f J i l i nU n i v e r s i t y (
S c i e n c eE d i t i o n )M a y
2023d o i :10.13413/j .c n k i .j
d x b l x b .2022315带p (t )-L a p l a c
e 算子的分数阶L a n g
e v i n 方程参数型反周期边值问题解的存在性
倪晋波，陈 港，董蝴蝶
(安徽理工大学数学与大数据学院，安徽淮南232001
)
摘要：利用S c h a e f e r 不动点定理，讨论一类带有p (t )-L a p l a c e 算子的分数阶L a n g
e v i n 方程参数型反周期边值问题，通过给出非线性项合理的假设条件得到了其解的存在性结果，并举例说明主要结果的应用.关键词:S c h a e
f e r 不动点定理;p (t )-L a p l a c e 算子；分数阶L a n
g e v i n 方程；参数型反周期边值问题
中图分类号:O 175.8  文献标志码:A  文章编号:1671-5489(2023)03-0490-07
E x i s t e n c e o f S o l u t i o n s f o rP a r a m e t r i cT y p eA n t i -p
e r i o d i c B o u n d a r y V a l u eP r o b l e m s o
f F r a c t i o n a l L a n g
e v i n E q u a t i o nw i t h p (t )-L a p l a c eO p
e r a t o r N I J i n b o ,C H E N G a n g
,
D O N G H u d i e (S c h o o l o f M a t h e m a t i c s a n dB i g D a t a ,A n h u i U n i v e r s i t y o f S c i e n c e a n dT e c h n o l o g y ,
H u a i n a n 232001,A n h u i P r o v i n c e ,C h i n a )A b s t r a c t :B y u s i n g S c h a e f e r f i x e d p o i n t t h e o r e m ,w e d i s c u s s e d a c l a s s o f p a r a m e t r i c t y p e a n t i -p e r i o d i c b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m so f f r a c t i o n a lL a n g e v i ne q u a t i o n w i t h p (t )-L a p l a c eo p
e r a t o r ,t h ee x i s t e n c e r e s u l to fs o l u t i o n w a s o b t a i n e d b y g i v i n g r e a s o n a b l e a s s u m p t i o n s
f o r n o n l i n e a rt e r m ,a n d t h e a p p l i c a t i o no f t h em a i n r e s u l tw a s i l l u s t r a t e dw i t ha ne x a m p
l e .K e y
w o r d s :S c h a e f e rf i x e d p o i n tt h e o r e m ;p (t )-L a p l a c e o p e r a t o r ;f r a c t i o n a l L a n g e v i n e q u a t i o n ;p a r a m e t r i c t y p e a n t i -
p e r i o d i c b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m 收稿日期:2022-07-19. 网络首发日期:2023-04-20.
第一作者简介：倪晋波(1978 )，男，汉族，硕士，副教授，从事常微分方程定性理论的研究,E -m a i l :n i j i n b o 2005@126.c o m.基金项目：国家自然科学基金(批准号:11601007)和安徽省高等学校自然科学研究项目(批准号:K J 2020A 0291).网络首发地址:h t t p
s ://k n s .c n k i .n e t /k c m s /d e t a i l /22.1340.O.20230419.1704.001.h t m l .0 引 言
分数阶微分方程广泛应用于光学㊁热学系统㊁数学建模和力学等领域[1-3
].L a n g
e v i n 在研究粒子布朗运动时，导出如下方程[
4
]m
d x d t
+a x (t )=F (
t ),(1)式(1)称为L a n g
e v i n 方程.在复杂介质环境下，方程(1)不能准确描述物体运动的动力学行为.基于分数阶微分算子的长程相关性和记忆性,L u t z [5]和B u r o v 等[6]
提出了下列分数阶L a n g
e v i n 方程:x ᵡ+ψC D α0+
x =Γ(t ),  0<α<1.
目前，关于分数阶L a n g e v i n 方程(初)边值问题解的存在性研究已被广泛关注[7-13
].例如,A h m a d a 等[9]
利用K r a s n o s e l s k i i 不动点定理讨论了如下L a n g
e v i n 方程三点边值问题解的存在性:C
D β0+(
python trunc函数C D α
0++λ)x (t )=f (t ,x (t )),  t ɪ(0,1),x (0)=0, x (η)=0, x (1)=0, 0<η<1{
,(2
)其中0<α<1,0<βɤ2,C D α0+和C D β
0+是C
a p u t o 型分数阶微分算子,f ɪC ([0,1]ˑℝ,ℝ),λɪℝ.Z h o u 等[10]
利用L e r a y -S c h a e f e r 不动点定理讨论了如下带p -L a p l a c e 算子的分数阶L a n g e v i n 方程反周期边值问题解的存在性:
C
D β0+ϕ
p [(C D α0++λ)x (t )]=f (t ,x (t ),C D α
0+x (t )), 0<t <1,x (0)=-x (1), C D α0+
x (0)=-C D α
0+x (1){.(3
)其中0<α,β<1,C D α0+和C D β
0+是C a p u t o 型分数阶微分算子,λȡ0,ϕ
p (s )=s p -2s ,p >1是p -L a p l a c e 算子,f :[
0,1]ˑℝ2ңℝ满足C a r a t h éo d o r y 条件.张纪凤等[12
]利用S c h a e f e r 不动点定理讨论了带p (
t )-L a p l a c e 算子分数阶L a n g e v i n 方程反周期边值问题解的存在性:C D β0+ϕp (
t )[(C D α0++λ)x (t )]=f (t ,x (t ),C D α
0+x (t )), 0<t <1,x (0)=-x (1), C D α0+
x (0)=-C D α
0+x (1{
),(4
)
其中0<α,β<1,C D α0+和C D β
0+是C
a p u t o 型分数阶微分算子,1<α+βɤ2,f ɪC ([0,1]ˑℝ,ℝ),ϕ
p (t )(㊃)是p (t )-L a p l a c e 算子,p (0)=p (1),p (t )>1.A g a r w a l 等[14]
利用B a n a c h 压缩映射原理讨论了如下C a p
u t o 型分数阶微分方程参数型反周期边值问题解的存在唯一性:C
D αx (t )=f (
t ,x (t )), t ɪ[0,T ], T >0, 1<q ɤ2,x (a )=-x (T ), x ᶄ(a )=-x
ᶄ(T ), 0<a <T {
,(5
)其中C D α0+是C a p u t o 型分数阶微分算子,f ɪC (
[0,1]ˑℝ,ℝ).受上述研究结果的启发，本文讨论带p (t )-L a p l a c e 算子的分数阶L a n g
e v i n 方程参数型反周期边值问题:
C
D β0+ϕ
p (t )[(C D α0++λ)x (t )]=f (t ,x (t ),C D α0+x (t )), 0<t <1,x (a )=-x (1), C D α0+
x (a )=-C D α
0+x (1), 0<a <1{
,(6
)其中0<α,β<1,C D α0+和C D β
0+是C a p u t o 型分数阶微分算子,1<α+βɤ2,
f ɪC ([0,1]ˑℝ2,ℝ),ϕ
p (t )(㊃)是p (t )-L a p l a c e 算子，满足p (a )=p (1),p (t )>1.文献[10]讨论了带p -L a p l a c e 算子的分数阶L a n g e v i n 方程反周期边值问题解的存在性，显然参数型反周期边值条件和p (t )-L a p l a c e 算子分别是反周期边值条件和p -L a p l a c e 算子的推广，当式(6)中a ң0,p (
t )恒为p >1时，文献[10]研究的问题是本文的特例；与文献[12]相比，本文讨论的是含参数的反周期边值条件，是非局部边值条件，当式(6)中a ң0时，文献[12]研究的问题是本文的特例.此外，将文献[14]的工作推广到带拟线性算子情形.因此，本文推广和丰富了已有文献的相关结果.
1 预备知识
定义1[3
] 函数f :(0,+ɕ)ңℝ的α(α>0)阶R i e m a n n -
L i o u v i l l e 型分数阶积分定义为I α0+
f (t )=1Γ(α)ʏ
t
0(t -s )α-1f (s )d s ，其中等式右端在(0,+ɕ)
上有定义.定义2[3
] 函数f :(0,+ɕ)ңℝ的α(α>0)阶C a p
u t o 型分数阶导数定义为C
D α
0+
f (t )=I n -α0+d n f (t )d t
n
=1Γ(n -α)ʏ
t
0(t -s )n -α-1f (n )(s )d s ，其中n =[α]+1，假设等式右端在(0,+ɕ)上有定义.定义3[15-16]
对任意的(t ,x )ɪ[0,1]ˑℝ,ϕ
p (t )(x )=x p (
t )-2x 是从ℝ到ℝ的同胚映射，且当t
固定时,ϕ
p (t )(㊃)是严格单调递增的，其逆映射定义为194 第3期  倪晋波，等：带p (t )-L a p l a c e 算子的分数阶L a n g
e v i n 方程参数型反周期边值问题解的存在性
ϕ
-1p (
t )(x )=
x
(2-p (t ))/(p (
t )-1)x ,x ɪℝ\{0
},ϕ
-1p (t )(x )=0,x =0{
，是将有界集映成有界集的连续映射.
引理1[3] 令α>0，假设f ɪA C n
[0,1
]，则I α0+C D α0+f (t )=f (t )+c 0+c 1t +c 2t 2+ +c n -
1t n -1,(7
)其中c i ɪℝ,
i =0,1,2 ,n -1,n =[α]+1.引理2(S c h a e f e r 不动点定理)[17
] 设X 是B a n a c h 空间，算子T :X ңX 为全连续算子，若集合
Ω={x ɪX x =μT x ,μɪ(
0,1)}有界，则算子T 在X 中至少存在一个不动点.2 主要结果
定义空间X ={x :x ,C D α
0+x ɪC [0,1]}，赋予范数 x  X = x  ɕ+ C D α0+x  ɕ，其中
㊃ X =m a x t ɪ[0,1
]
㊃，则(X , ㊃ X )是B a n a c h 空间.定义N e m y t s k i i 算子N :C [0,1]ңC [0,1]为N x (t )=f (t ,x (t ),C D α
0+x (t )),t ɪ[0,1].引理3 分数阶L a n g
e v i n 方程C
D β0+ϕp (t )[(C D α
0++λ)x (t )]=N x (t ),  t ɪ(0,1),(8)在边值条件
x (a )=-x (1),  C D α0+
x (a )=-C D α
0+x (1)(9
)下，有如下形式的解:
x (t )=I α0+ϕ
-1p (t )(I β0+N x (t )+A N x (t ))+B N x (t )-λI α0+x (t )=1Γ(α)ʏt 0(t -s )α-1ϕ-1p (s )1Γ(β)ʏs 0(s -τ)β-1N x (τ)d τ+A N x (s æèçöø÷)d s +B N x (t )-λΓ(α
)ʏ
t
0(t -s )α-1x (s )d s ，其中
A N x (t )=-12
(I β0+N x (t )t =a +I β0+N
x (t )t =1)=-12Γ(β
)ʏ
a 0
(a -s )α-1N x (s )d s +
ʏ10
(
1-s )α-
1N x (s )d ()s , ∀t ɪ[0,1
],B N x (t )=-12
(I α0+ϕ-1p (t )(I β0+N x (t )+A N x (t )t =a )+I α0+ϕ-1p (t )(I β0+N x (t )+A N x (t )t =1))+λ2
(I α0+x (t )t =a +I α
0+
x (t )t =1)=-12Γ(α)ʏ
a 0
(a -s )α-1ϕ-1p (
s )1Γ(β)ʏs
0(s -τ)β-1N x (τ)d τ+A N x (s æèçöø÷)d s -12Γ(α
)ʏ10
(1-s )α-1ϕ-1p (s )1Γ(β)ʏs
(s -τ)β
-1N x (τ)d τ+A N x (s æèçöø÷
)d s +λ2Γ(α)
ʏa
(a -s )α-1x (s )d s +ʏ10
(1-s )α-
1x (s )d ()s .  证明：利用积分算子I β0+
作用到方程(8)两端，得(C D α0++λ)x (t )=ϕ-1p (t )(c 0+I β0+N x (t )),  c 0ɪℝ,(10
)由边值条件(9
)，可得{c 0}=A N x (t )=-12
(I β0+N x (t )t =a +I β0+N
x (t )t =1).利用算子I α
0+作用到方程(
10)两端，得x (t )=I α0+ϕ-1p (t )(I β0+N x (t )+A N x (t ))+c 1-λI α0+x (t ),  c 1ɪℝ,(11
)利用边值条件x (a )=-x (1
)
，可得c 1=B
N x (t )=-12
(I α0+ϕ-1p (t )(I β
0+N x (t )+A N x (t )t =a )+294  吉林大学学报(理学版)  第61卷
I α0+ϕ
-1p (t )(I β0+N x (t )+A N x (t )t =1))+λ2
(I α0+x (t )t =a +I α
0+
x (t )t =1).(12
)将式(12)代入式(11
)即证得结论.基于引理3，定义算子T :C [0,1]ңC [0,1
]
如下:T x (t )=I α0+ϕ
-1p (t )(I β0+N x (t )+A N x (t ))+B N x (t )-λI α0+x (t )=1Γ(α)ʏ
t 0(t -s )α-1ϕ-1p (s )1Γ(β)ʏs 0
(s -τ)β-1f (τ,x (τ),C D α0+x (τ))d éëêêτ-12Γ(β)
ʏa
(a -τ)β
-1f (τ,x (τ),C
D α
0+
x (τ))d τ+ʏ10
(1-τ)β-1f (τ,x (τ),C
D α
0+
x (τ))d ()ùûúτd s -12Γ(α)ʏa
(a -s )α-1ϕ-1p (s )1Γ(β
)ʏs
(s -τ)β-1f (τ,x (τ),C
D α
0+
x (τ))d éëêêτ-12Γ(β)ʏa
(a -τ)β
-1f (τ,x (τ),C
D α
0+
x (τ))d τ+ʏ10
(1-τ)β-1f (τ,x (τ),C
D α
0+
x (τ))d ()ùû
úτd s -12Γ(α)ʏ10
(1-s )α-1ϕ-1p (s )1Γ(β
)ʏs
(s -τ)β-1f (τ,x (τ),C
D α
0+
x (τ))d éëêτ-12Γ(β)ʏa
(a -τ)β
-1f (τ,x (τ),C
D α
0+
x (τ))d τ+ʏ10
(1-τ)β-1f (τ,x (τ),C
D α
0+
x (τ))d ()ùûúτd s +λ2ʏa
0(a -s )α-
1x (s )d s +ʏ10
(1-s )α-
1x (s )d ()s -λΓ(α
)ʏt
(t -s )α-
1x (s )d s ，从而边值问题(6
)解的存在性等价转化为证明算子T 存在不动点.下面根据S c h a e f e r 不动点定理给出本文的主要结果.为叙述方便，记p m =m i n t ɪ[0,1
]
p (t ),p M =m a x t ɪ[0,1]p (t ),H =(6+a β)1/(p m -1
)Γ(α)(2Γ(β+1))1/(p M -1),Q =(6+2a β)1/(p m -1
)2Γ(α)(2Γ(β+1
))1/(p M -1).定理1 设f :[0,1]ˑℝ2ңℝ连续，且满足条件：存在非负函数ξ,φ,ηɪC [
0,1]，使得f (
t ,u ,v )ɤξ(t )+φ(t )u r -1+η(t )v r -1, (u ,v )ɪℝ2, 1<r ɤp m , t ɪ[0,1], (13)则当
l (3+a α)H 2α+H Γ(αæèçöø÷)+3λ+a α2Γ(α+1
)+λ<1(14
)时，边值问题(6
)在X 上至少有一个解，其中l ʒ=m a x {( φ ɕ+ η ɕ)1/(p m -1),( φ ɕ+ η ɕ)1/(p M -1)}
.  证明：证明分两步完成.
1)证明T 是全连续算子.对任意的k >0，定义X 上有界开集R ={x ɪX : x  X <k }.由f 和ϕ-1
p (
t )(㊃)的连续性，易证T 在[0,1]上是连续的，且存在常数Z >0，使得ϕ-1p (t )(I β0+N x (t )+A N x (t ))ɤZ , x (t )ɪ췍R , t ɪ[0,1]，于是有
B N x (t )ɤ12
(I α0+ϕ-1p (t )(I β0+N x (t )+A N x (t )t =a )+I α0+ϕ-1p (t )(I β0+N x (t )+A N x (t )t =1))+λ2
(I α0+x (t )t =a +I α
0+
x (t )t =1)ɤ12
Γ(α)ʏ
a 0(a -s )α-1ϕ-1p (s )I β0+N x (s )+A N x (s )d s æèç+12Γ(α)ʏ10
(1-s )α-1ϕ-1p (s )I β
0+
N x (s )+A N x (s )d öø
÷
s +λ2Γ(α)ʏa
(a -s )α-
1x (s )d s +λ2Γ(α)ʏ10
(1-s )α-
1x (s )d æèç
öø÷
s ɤ(a α
+1)(λk +Z )2Γ(α+1
), T x  ɕ=m a x t ɪ[0,1]
I α0+ϕ-1p (t )(I β0+N x (t )+A N x (t ))+B N x (t )-λI α0+x (t )ɤm a x t ɪ[0,1
]I α0+ϕ-1p (t )(I β0+N x (t )+A N x (t ))+m a x t ɪ[0,1
]B N x (t )+λm a x t ɪ[0,1
]
I α0+x (t )ɤ394 第3期  倪晋波，等：带p (t )-L a p l a c e 算子的分数阶L a n g
e v i n 方程参数型反周期边值问题解的存在性
(λk +Z )(a α
+3
)2Γ(α+1
).注意到C D α0+T x (t )=ϕ
-1p (t )(I β0+N x (t )+A N x (t ))-λx (t )，从而 C D α0+T x  ɕ=m a x t ɪ[
0,1]ϕ-1p (
t )(I β0+N x (t )+A N x (t ))-λx (t )ɤm a x t ɪ[0,1
]ϕ-1p (t )(I β0+N x (t )+A N x (t ))+λm a x t ɪ[0,1
]
x (t )ɤZ +λk <ɕ.因此T 在췍R 上一致有界，下证T 在췍R 上等度连续.对任意的x ɪ췍R ,0ɤt 1<t 2ɤ
1，有T x (t 2)-T x (t 1)=
1
Γ(α)
ʏ
t 10
((t 2-s )α-1-(t 1-s )α-1)ϕ
-
1p (s )(I β0+N x (s )+A N x (s ))d s +ʏ
t 2t 1
(t 2-s )α-1ϕ
-1p (s )(I β0+N x (s )+A N x (s ))d s -λʏt 10
((t 2
-s )α-
1-(t 1
-s )α-
1)x (s )d s +ʏt 2
t 1
(t 2
-
s )α-
1x (s )d ()s ɤ
1Γ(α)ʏt 10
((t 2
-s )α-
1-(t 1
-s )α-
1)ϕ-1p (
s )(I β
0+
N x (s )+A N x (s ))d s +1Γ(α)ʏt 2
t 1
(t 2
-s )α-1ϕ-1p (s )(I β
0+
N x (s )+A
N x (s ))d s +λΓ(α)ʏt 10
((t 2-s )α-
1-(t 1
-s )α-
1)x (s )d s +ʏt 2
t 1
(t 2
-s )α-
1x (s )d s ɤ
Z Γ(α)ʏt 10
((t 2
-s )α-
1-(t 1
-s )α-
1)d s +ʏt 2
t 1
(t 2
-
s )α-
1d ()s +λk Γ(α)
ʏt 10
((t 2
-s )α-
1-(t 1
-s )α-
1)d s +ʏt 2
t 1
(t 2
-s )α-
1d ()s ɤZ +λk Γ(k +1
)(t α2-t α
1)ң0, t 1ңt 2.  因为ϕ-1p (
t )(I β0+N x (t )+A N x (t ))和x (t )在[0,1]上连续，所以C D α0+T x 在[0,1]上一致连续，从而T 在췍R 上是等度连续的.根据A r z e l a -A s c o l i 定理,T 是全连续算子.2)证明算子T 在X 上存在不动点.定义集合S ={x ɪX x =μT x ,μɪ(
0,1)}.根据S c h a e f e r 不动点定理，证明算子T 在X 上存在不动点只需证明S 有界.对任意的x (t )ɪS ，由条件式(13
)可得A N x (t
)=12Γ(β)
ʏ
a 0(a -s )β-1f (
s ,x (s ),C D α0+x (s ))d s +ʏ
10
(1-s )β-1f (
s ,x (s ),C D α0+x (s ))d s ɤ12Γ(β)ʏa 0
[(a -s )β
-1(ξ
(s )+φ(s ))x (s )r -1+η(s )C D α0+x (s )r -1]d s +12Γ(β
)ʏ10[(1-s )β
-1(ξ
(s )+φ(s ))x (s )r -1+η(s )C D α0+x (s )r -1]d s ɤ1+a β2Γ(β+1
)( ξ ɕ+ φ ɕ x  r -1ɕ+ η ɕ C D α0+x  r -1ɕ)ɤ1+a β
2Γ(β+1
)( ξ ɕ+( φ ɕ+ η ɕ) x  r -1X ).从而有
A N x (t )+I β0+N x (t )ɤA N x (t )+I β0+N
x (t )ɤ1+a β
2Γ(β+1)( ξ ɕ+( φ ɕ+ η ɕ) x  r -1X )+1Γ(β)ʏ
t 0
(t -s )β-1N x (s )d s ɤ3+a β
2Γ(β+1
)( ξ ɕ+( φ ɕ+ η ɕ) x  r -1X ).由不等式(u +v )q ɤ2q (u q +v q )(u ,v ,q >0
)和x r ɤx +1(r ɪ[0,1],x ȡ0)可知，对任意的t ɪ[0,1]，有B N x (t
)=-
12
[I α0+ϕ-1p (t )(I β0+N x (t )+A N x (t ))t =a +I α0+φ-1p (t )(I β0+N x (t )+A N x (t ))t =1]+494  吉林大学学报(理学版)
第61卷

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