3.2正则化方法的概念
从数学角度来分析，CT 中的有限角度重建问题相当于求解一个欠定的代数方程组，属于不适定问题研究范畴，解决这类问题通常需要引入正则化方法]27,26[。
3.2.1不适定的概念
设算子A 映X x ∈为P p ∈，X 与P 分别为某类赋范空间，记
P Ax =                    (3.9) 在经典意义下求解(3.9)，就存在下述问题：
(1)(3.9)式的解是否存在；
(2)(3.9)式的解如果存在，是否唯一；
(3)(3.9)式的解是否稳定或者说算子A 是否连续：对于右端的P 在某种意义下作微小的变动时，相应的解童是不是也只作微小的变动。
只要这些问题中有一个是否定的，就称(3.9)的解是不适定的。
3.2.2正则化方法概念的引入
设算子A 映X x ∈为P p ∈，X 与P 分别为某类赋范空间，二者满足(3.9)式。设A 的逆算子1-A 不连续，并假定当右端精确值为r p 时，得到经典意义下的解为r x ，即满足
r r P Ax =                          (3.10) 现在的问题是，如果右端受到扰动后变为δp ，且二者满足关系                          δδ≤-r p p                        (3.11) 其中，∙为某范数。则由于1-A 的不连续性，我们显然不能定义r p 对应的解为：
δδp A x 1-=                        (3.12)
因此，必须修改该逆算子的定义。 定义：设算子),(αp R 映p 成x ，且依赖一个参数α，并具有如下性质：
正则化的具体做法(1)存在正数01>δ，使得对于任意0>α，以及r p 的)(1δδδ≤邻域中的p ，即满足                    10,δδδ≤<≤-p p r                      (3.13) 的p ，算子R 有定义。
(2)若对任意的0>ε，都存在),0(1δδ∈及依赖于δ的参数)(δαα=，使得算子),(αp R 映r p 的δ邻域到r x 的ε领域内，即
εδαδδ≤-=r x x x p R ,))(,(              (3.14) 则称),(αp R 为方程(3.14)中A 的正则逆算子；δx 称为方程(3.14)的正则解，当0→δ时，正则解可以逼近我们所要求的精确解；α称为正则化参数。这样的求解方法就称
为正则化方法。

版权声明：本站内容均来自互联网，仅供演示用，请勿用于商业和其他非法用途。如果侵犯了您的权益请与我们联系QQ:729038198，我们将在24小时内删除。