正则化参数后验选择的多尺度快速⽅法
1引⾔ (1)
1.1不适定问题 (1)
1.2第⼀类Fredholm积分⽅程 (1)
正则化的具体做法
1.3⼏种重要的正则化⽅法 (2)
1.4正则化参数的选取策略 (3)
1.5本论⽂的研究背景 (4)
1.6本论⽂的主要⼯作 (5)
2求解第⼀类Fredholm积分⽅程的多层扩充⽅法 (6)
2.1引⾔ (6)
2.2多层扩充⽅法 (6)
2.3误差估计 (11)
2.4后验参数选择策略 (15)
2.5收敛性分析 (22)
2.6数值例⼦ (25)
3基于快速配置法解第⼀类Fredholm积分⽅程的Richardson迭代⽅法 (28)
3.1引⾔ (28)
3.2多尺度Collocation⽅法 (28)
3.3误差估计 (32)
3.4基于截断策略的偏差原理 (36)
4结束语 (39)
参考⽂献 (43)
附录 (44)
致谢 (45)
1.1不适定问题
在科学研究中，往往需要通过可观测的现象来探求事物的内部规律或外部影响，由此产⽣了反问题[1].近⼆⼗年数学物理反问题已成为应⽤数学中发展和成长最快的领域之⼀.数学物理反问题在地球物理[2,3]、图像处理、材料科学[4]、信号处理[5,6]、流体⼒学[7,8]等领域得到了⼴泛的应⽤.
但⼤部分的反问题是不适定问题.对于⼀个问题是否是适定的，著名的数学家Hadamard[9]最早在1923年提出这样的定义:
定义1.1[10]假设K:X→Y是⼀个线性或⾮线性算⼦，其中,X,Y都是赋范空间.如果⽅程
K x=y(1.1)
同时满⾜以下三个条件:
(1)解的存在性.对?y∈Y,?x∈X使得(1.1)成⽴;
(2)解的唯⼀性.对?y∈Y，有且只有⼀个x∈X使得(1.1)成⽴;
(3)解的稳定性.对任意的序列{x n}?X，如果Kx n→Kx,(n→∞)，那么x n→x,(n→∞)，则称⽅⽅程(1.1)是适定的，上述三个条件中不满⾜任意⼀条，称它是不适定的.
1.2第⼀类Fredholm积分⽅程
积分⽅程[11]在数学物理问题的研究中扮演着重要的⾓⾊，因此它的发展对研究数学物理问题颇具现实意义.许多反问题可直接转化为具有连续核或弱奇性核的第⼀类积分⽅程[15].第⼀个真正清晰应⽤积分⽅程并进⾏求解的⼈是Abel，但Raymond在1888年才⾸次提出“积分⽅程”的名称.然⽽，在积分⽅程中起到奠定作⽤的当属瑞典数学家Fredholm和意⼤利数学家V olterra.他俩提出的积分⽅程的主要区别在于所给定的积分区域是否确定.积分区域是完全确定的，称之为Fredholm积分⽅程,⽽积分区域会随⾃变量的变化⽽变化的，则称之为V olterra积分⽅程.定义积分算⼦K为:
∫
k(s,t)x(t)dt=y(s),s∈E,
(K x)(s):=
E
其中k(s,t)为积分核函数,E是积分区域,x(t)是未知函数，称形如(1.1)的⽅程为第⼀类Fredholm积分⽅程.如果积分号外也有未知函数，称形如
x?K x=y(1.2)的⽅程为第⼆类Fredholm积分⽅程[16].
许多数学物理反问题都可导出第⼀类Fredholm积分⽅程.如果K是紧的线性积分算⼦，那么，形如(1.1)的第⼀类Fredholm积分⽅程的求解是⼀个不适定问题.因其不适定性⽆法得到稳定的数值解.因此研究如何快速求出第⼀类Fredholm积分⽅程的稳定数值解具有重要的现实意义.

版权声明：本站内容均来自互联网，仅供演示用，请勿用于商业和其他非法用途。如果侵犯了您的权益请与我们联系QQ:729038198，我们将在24小时内删除。