一文让你彻底搞懂最小二乘法（超详细推导）
要解决的问题
在工程应用中，我们经常会用一组观测数据去估计模型的参数，模型是我们根据先验知识定下的。比如我们有一组观测数据 ( x i , y i ) (x_i,y_i) (xi,yi)（一维），通过一些数据分析我们猜测 y y y和 x x x之间存在线性关系，那么我们的模型就可以定为： f ( x ) = k x + b f(x)=kx+b f(x)=kx+b
这个模型只有两个参数，所以理论上，我们只需要观测两组数据建立两个方程，即可解出两个未知数。类似的，假如模型有 n n n个参数，我们只需要观测 n n n组数据就可求出参数，换句话说，在这种情况下，模型的参数是唯一确定解。
但是在实际应用中，由于我们的观测会存在误差（偶然误差、系统误差等），所以我们总会做多余观测。比如在上述例子中，尽管只有两个参数，但是我们可能会观测 n n n组数据 ( x 1 , y 1 ) . . , ( x n , y n ) (x_1, y_1)..,(x_n, y_n) (x1,y1)..,(xn,yn)，这会导致我们无法到一条直线经过所有的点，也就是说，方程无确定解。
于是这就是我们要解决的问题：虽然没有确定解，但是我们能不能求出近似解，使得模型能在各个观测点上达到“最佳“拟合。那么“最佳”的准则是什么？可以是所有观测点到直线的距离和最小，也可以是所有观测点到直线的误差（真实值-理论值）绝对值和最小，也可以是其它，如果是你面临这个问题你会怎么做？
早在19世纪，勒让德就认为让“误差的平方和最小”估计出来的模型是最接近真实情形的。
为什么是误差平方而不是另一个？就连欧拉和拉普拉斯都没能成功回答这个问题。后来高斯建立了一套误差分析理论，从而证明了系统在误差平方和最小的条件下是最优的。证明这个理论并不难。我写了另一篇关于最小二乘法原理理解的博客。相信你了解后会对最小二乘法有更深的理解。
按照勒让德的最佳原则，于是就是求： L = ∑ i = 1 n ( y i − f ( x ) ) 2 L=\sum_{i=1}^{n}\left(y_i-f(x)\right)^{2} L=i=1∑n(yi−f(x))2这个目标函数取得最小值时的函数参数，这就是最小二乘法的思想，所谓“二乘”就是平方的意思。从这里我们可以看到，最小二乘法其实就是用来做函数拟合的一种思想。
至于具体参数怎么取，那就是另一个问题了。理论上，工程上可以采用导数法、几何法和梯度下降法。下面就以最常用的线性回归为例进行推导和理解。
线性回归
线性回归应用广泛，因为它相对简单，可以直接导出解析解，而且很多非线性问题也可以转化为线性问题来求解。甚至很多人认为最小二乘法指的是线性回归，其实不是。最小二乘法是一种思路，可以拟合任何函数。线性回归只是比较简单常用的函数之一，所以最小二乘法基本会以它为例。
接下来我会用矩阵的方法推导，然后用几何的方法帮助你理解最小二乘法的几何意义。
矩阵解法
线性回归定义为： h θ ( x 1 , x 2 , … x n − 1 ) = θ 0 + θ 1 x 1 + … + θ n − 1 x n − 1 h_{\theta}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots x_{n-1}\right)=\theta_{0}+\theta_{1} x_{1}+\ldots+\theta_{n-1} x_{n-1} hθ(x1,x2,…xn−1)=θ0+θ1x1+…+θn−1xn−1（ θ \theta θ为参数）假设现在有 m m m个样本，每个样本有 n − 1 n-1 n−1维特征，将所有样本点代入模
型中得： h 1 = θ 0 + θ 1 x 1 , 1 + θ 2 x 1 , 2 + … + θ n − 1 x 1 , n − 1 h 2 = θ 0 + θ 1 x 2 , 1 + θ 2 x 2 , 2 + … + θ n − 1 x 2 , n − 1 ⋮ h m = θ 0 + θ 1 x m , 1 + θ 2 x m , 2 + … + θ n − 1 x m , n − 1 \begin{array}{l} h_{1}=\theta_{0}+\theta_{1} x_{1,1}+\theta_{2} x_{1,2}+\ldots+\theta_{n-1} x_{1,n-1} \\ h_{2}=\theta_{0}+\theta_{1} x_{2,1}+\theta_{2} x_{2,2}+\ldots+\theta_{n-1} x_{2,n-1}\\ \vdots \\ h_{m}=\theta_{0}+\theta_{1} x_{m, 1}+\theta_{2} x_{m, 2}+\ldots+\theta_{n-1} x_{m, n-1} \end{array} h1=θ0+θ1x1,1+θ2x1,2+…+θn−1x1,n−1h2=θ0+θ1x2,1+θ2x2,2+…+θn−1x2,n−1⋮hm=θ0+θ1xm,1+θ2xm,2+…+θn−1xm,n−1为方便用矩阵表示，我们令 x 0 = 1 x_0=1 x0=1，于是上述方程可以用矩阵表示为： h = X θ \mathbf{h}=\mathbf{X} \theta h=Xθ其中， h \mathbf{h} h为mx1的向量, 代表模型的理论值， θ \theta θ 为nx1的向量， X X X为mxn维的矩阵， m m m代表样本的个数, n n n代表样本的特征数，于是目标损失函数用矩阵表示为： J ( θ ) = ∥ h − Y ∥ 2 = ∥ X θ − Y ∥ 2 = ( X θ − Y ) T ( X θ − Y ) J(\theta)=\|\mathbf{h}-\mathbf{Y}\|^2 =\|\mathbf{X}\theta-\mathbf{Y}\|^2= (\mathbf{X} \theta-\mathbf{Y})^{T}(\mathbf{X} \theta-\mathbf{Y}) J(θ)=∥h−Y∥2=∥Xθ−Y∥2=(Xθ−Y)T(Xθ−Y)其中 Y \mathbf{Y} Y是样本的输出向量, 维度为mx1。
根据高数知识我们知道函数取得极值就是导数为0的地方，所以我们只需要对损失函数求导令其等于0就可以解出 θ \theta θ。矩阵求导属于矩阵微积分的内容，我也是现学的(…，这里先介绍两个用到的公式： ∂ x T a ∂ x = ∂ a T x ∂ x = a \frac{\partial x^{T} a}{\partial x}=\frac{\partial a^{T} x}{\partial x}=a ∂x∂xTa=∂x∂aTx=a ∂ x T A x ∂ x = A x + A T x \frac{\partial x^{T} A x}{\partial x}=A x+A^{T} x ∂x∂xTAx=Ax+ATx如果矩阵A是对称的： A x + A T x = 2 A x A x+A^{T} x=2 A x Ax+ATx=2Ax对目标函数化简： J ( θ ) = θ T X T X θ − θ T X T Y − Y T X θ + Y T Y J(\theta)=\theta^{T} X^{T} X \theta-\theta^{T} X^{T}Y-Y^{T} X\theta+Y^{T} Y J(θ)=θTXTXθ−θTXTY−YTXθ+YTY求导令其等于0： ∂ ∂ θ J ( θ ) = 2 X T X θ − 2 X T Y = 0 \frac{\partial}{\partial \theta} J(\theta)=2X^{T} X \theta-2X^TY=0 ∂θ∂J(θ)=2XTXθ−2XTY正则化最小二乘问题=0解得 θ = ( X T X ) − 1 X T Y \theta=\left(X^{T}X\right)^{-1} X^{T}Y θ=(XTX)−1XTY，经过推导我们得到了 θ \theta θ的解析解，现在只要给了数据，我们就可以带入解析解中直接算出 θ \theta θ。
几何意义
几何意义会直观的帮助你理解最小二乘法究竟在干什么。首先先来解释一下矩阵乘法的几何
意义，对于一个方程组 A x Ax Ax，我们可以看做是 x x x对矩阵 A A A的列向量的线性组合，比如：
{ 1 × x 1 + x 2 = 3 − 1 × x 1 + x 2 = 1 ⇔ [ 1 1 − 1 1 ] [ x 1 x 2 ] = [ 3 1 ] ⇔ A × x = b \left\{\begin{array}{l} 1 \times x_{1}+x_{2}=3 \\ -1 \times x_{1}+x_{2}=1 \end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} 3 \\ 1 \end{array}\right] \Leftrightarrow A \times x=b\right. {1×x1+x2=3−1×x1+x2=1⇔[1−111][x1x2]=[31]⇔A×x=b可以看作： [ 1 − 1 ] × x 1 + [ 1 1 ] × x 2 = [ 3 1 ] ⇔ a 1 × x 1 + a 2 × x 2 = b \left[\begin{array}{c} 1 \\ -1 \end{array}\right] \times x_{1}+\left[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}\right] \times x_{2}=\left[\begin{array}{l} 3 \\ 1 \end{array}\right] \Leftrightarrow a_{1} \times x_{1}+a_{2} \times x_{2}=b [1−1]×x1+[11]×x2=[31]⇔a1×x1+a2×x2=b画在坐标轴上可以看到，向量 b \mathbf{b} b其实就是向量 a 1 \mathbf{a_1} a1与 a 2 \mathbf{a_2} a2的线性组合，因为他们都是在一个平面上，显然是有解的。但是如文章开头所说，由于存在观测误差，我们往往会做多余观测，比如要拟合一次方程 y = k x + b y=k x+b y=kx+b，我们可能观测了三个点（0,2）,（1,2）,（2,3），写成矩阵形式如下(为表述方便，用x1代替k，x2代替b )： { 1 × x
1 + x 2 = 2 0 × x 1 + x 2 = 2 2 × x 1 + x 2 = 3 ⇔ [ 1 1 0 1 2 1 ] [ x 1 x 2 ] = [ 2 2 3 ] ⇔ A × x = b \left\{\begin{array}{l} 1 \times x_{1}+x_{2}=2 \\ 0 \times x_{1}+x_{2}=2 \\ 2 \times x_{1}+x_{2}=3 \end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ 2 & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} 2 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right] \Leftrightarrow A \times x=b\right. ⎩⎨⎧1×x1+x2=20×x1+x2=22×x1+x2=3⇔⎣⎡102111⎦⎤[x1x2]=⎣⎡223⎦⎤⇔A×x=b表示成线性组合的方式： [ 1 0 2 ] × x 1 + [ 1 1 1 ] × x 2 = [ 2 2 3 ] ⇔ a 1 × x 1 + a 2 × x 2 = b \left[\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right] \times x_{1}+\left[\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right] \times x_{2}=\left[\begin{array}{l} 2 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right] \Leftrightarrow a_{1} \times x_{1}+a_{2} \times x_{2}=b ⎣⎡102⎦⎤×x1+⎣⎡111⎦⎤×x2=⎣⎡223⎦⎤⇔a1×x1+a2×x2=b
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