第41卷第11期
2020年11月
哈㊀尔㊀滨㊀工㊀程㊀大㊀学㊀学㊀报Journal of Harbin Engineering University
Vol.41ɴ.11
Nov.2020
低信噪比环境下声场重建的正则化方法改进
肖友洪1，陈艺凡1，班海波2，姜来旭1
，段宇华1
(1.哈尔滨工程大学动力与能源工程学院，黑龙江哈尔滨150001;2.中车大连机车研究所有限公司，辽宁大连116021)
摘㊀要：针对低信噪比环境下，采用Helmholtz 方程最小二乘法(HELS )的近场声全息技术重建多源相干声场精度不高的问题，本文建立了基于固定参数法的正则化参数选取表达式，通过小全息孔径测量声压计算
基函数的配置系数，实现全息声压近场外推，在不同信噪比环境下对多源相干声场完成了重建㊂本文针对双声源辐射声场，结合数据外推技术扩展全息面数据进行声场重建，仿真和实验结果表明：基于固定参数法的正则化参数选取方法能获得更精确的重建结果；特别是在低信噪比环境下，能有效降低传递矩阵条件数，提高声场重建的稳定性，具有较强的噪声抑制能力㊂
关键词:HELS 法；近场声全息；重建精度；低信噪比；正则化参数；数据外推；全息孔径DOI :10.11990/jheu.202001034
网络出版地址:http ://wwwki /kcms /detail /23.1390.u.20201028.1047.004.html 中图分类号:TB535㊀文献标志码:A㊀文章编号:1006-7043(2020)11-1657-06
The modified regularization method of acoustical
reconstruction with low SNR
XIAO Youhong 1
,CHEN Yifan 1
,BAN Haibo 2
,JIANG Laixu 1
,DUAN Yuhua 1
(1.College of Power and Energy Engineering,Harbin Engineering University,Harbin 150001,China;2.CRRC Dalian Institute Co.,
Ltd.,Dalian 116021,China)
Abstract :When near-field acoustic holography technology (NAH)using the Helmholtz equation of least squares (HELS)is used to reconstruct a coherent,multi-source sound field in the low signal-to-noise ratio (SNR)envi-ronment,there exists the problem of low precision.To overcome this problem,regularization parameter selection based on a fixed parameter method,called the Manual method,was established.Additionally,the near-field sound pressure was extrapolated by measuring the sound pressure with a small holographic aperture,and the configuration coefficient of the basic function was calculated.In this paper,the multi-source coherent sound field is reconstructed under differing SNRs,combined with the data extrapolation technology.The simulation and experimental results showed that the regularization parameter selection based on the Manual method can obtain more accurate reconstruction results.In particular,in the low SNR environment,this method can effectively re
duce the number of transfer matrix conditions,improve the stability of sound field reconstruction,and produce a stronger noise restriction ability.
Keywords :Helmholtz equation least squares method;near-field acoustic holography;reconstruction accuracy;low signal-to-noise ratio;regularization parameter;data extrapolation;holographic aperture
收稿日期:2020-01-15.网络出版日期:2020-10-28.基金项目：国家自然科学基金项目(11674076).作者简介：肖友洪，男，教授，博士生导师.
通信作者：肖友洪,E-mail:xiaoyouhong@hrbeu.edu.
㊀㊀近场声全息技术(near-field acoustic holography,NAH)是一种重要的噪声源识别方法，基于空间声场变换[1](spatial transform of sound field,STSF)㊁边界元[2](boundary element method,BEM)㊁统计最优[3](statistically optimized near-field acoustical holog-raphy,SONAH )㊁Helmholtz 方程最小二乘法[4](Helmholtz equation least squares,HELS)的NAH 算法已经在声场重建中得到了广泛应用㊂基于HELS 的NAH 将声场近似展开为正交基函数的组合，对重建位置无要求，所需测点数量少，计算效率高，易于实现㊂利用Tikhonov 法[5]或截断奇异值(truncated
singular value decomposition,TSVD)法[6]等正则化
方法对HELS 法声场重建过程中的传递矩阵进行处理，可以改善传递矩阵病态性问题㊂正则化参数的
哈㊀尔㊀滨㊀工㊀程㊀大㊀学㊀学㊀报第41卷
选取在正则化过程中至关重要，通常采用L-curve 法[7]，广义交叉验证[8](generalized cross validation,GCV)等㊂根据不同的研究对象选择不同的正则化参数选取方法，并且信噪比和测量距离等因素对正则化参数的选取均有影响[9]㊂在实际应用中,Tik-honov 法是最常用的正则化方法，但是在低信噪比下,Tikhonov 正则化会因正则化参数选取不准确而导致重建失效[10]㊂
基于固定参数法(manually fixed regularization parameter,Manual)选取正则化参数已在射流噪声的研究中获得了满意的结果[11]，本文将其与Tik-honov 法结合，建立了正则化参数表达式，在不同信噪比下对双声源辐射声场进行了重建，结合数据外推技术，以数值方法增大测量面[12]，并与GCV 正则化参数选取方法的声压重建结果进行了对比分析㊂通过仿真分析和实验研究，验证了Manual 法在NAH 中应用的准确性和有效性㊂
1㊀声场重建基本理论
1.1㊀HELS 法声场重建原理
从振动体辐射到无界流体介质中的声压可以通过独立函数的线性组合来表示[13]:
p (x )=ρc ðN
正则化最小二乘问题j =1C j Ψj
(1)
式中:ρ和c 分别表示介质密度和介质中的声速;C j 为系数向量;Ψj 为基函数矩阵㊂球坐标系下基函数为球面波函数，求解波动方程可得到基函数:Ψj (x )=h (1)n (kr )(2n +1)(n -m )!
4π(n +m )!
㊃p m n
(cos θ)mϕ),l =0,2,4k
sin(mϕ),l =1,3,5k {
(2)式中:h (1)n (kr )和p m
n (cos θ)分别表示第一类球Han-kel 函数和伴随Legendre 函数,k =ω/c 为波数，确定独立函数Ψj 后可得声场重建公式:
p (x )=ρc ΨC (3)
解得系数向量C 后即可重建任意位置的声压㊂1.2㊀Manual 准则
在求解式(3)中的系数向量时，采用Tikhonov 正则化并结合奇异值分解可以得到:
C J ˑ1=V J ˑJ F α[Σ]-1J ˑM [U ]H M ˑM
(4)式中:U H ㊁V 为单位正交矩阵;Σ为对角矩阵,Σ=diag(σ1,σ2, ,σj ),σj 为奇异值;J 为基函数项数;M 为测点数;F α
为正则化矩阵，奇异值按从大到小的顺序排列㊂Manual 法计算正则化参数的原理如下：在计算Σ-1时，设置参考值σref =10-n σ1(-n 为最小奇异值的数量级),σ1为最大奇异值，当σj ȡσref 时,σj =σj ；当σj <σref 时,σj =σref ㊂
为了在HELS 算法中应用Manual 法选择正则化参数，提高声场重建精度，本文将Manual 法与Tikhonov 法进行结合，建立了一种新的正则化参数选取表达式:
α2
=0,σj ȡσref
α2=σj (σref -σj ),σj <σref
{
(5)
㊀㊀此时正则化矩阵元素为:
F α=1,
σj ȡσref σ2
j
σ2j
+α2,σj <σref ìîíïïïï(6)
㊀㊀由Manual 法选取正则化参数得到的滤波因子
不是一个固定不变的值，而是根据奇异值的大小进行判断，若奇异值大于参考值，则不需要进行正则化，
正则化参数为0，滤波因子为1；若奇异值小于参考值，则需要进行正则化㊂相比GCV 法对所有的奇异值进行了抑制处理，这种方法的优点是对一些相对较大的奇异值，不进行抑制㊂小奇异值在逆运算中会对误差进行放大，所以通过设置参考值，将其替换掉，可以获得较高的重建精度；一些相对较大的奇异值，包含了声场传递中的重要特征，不对其进行抑制，可以使重建结果更接近真实值㊂
另一方面Ψ矩阵的条件数是解对输入数据扰动敏感性的一种量度，矩阵条件数和奇异值有关，通过对一些小的奇异值进行替换，可以降低传递矩阵的条件数㊂矩阵的条件数定义为:
cond(Ψ)=
σ1σn
(7)
式中:σ1是最大奇异值;σn 是最小奇异值,Manual 法不仅能最大限度地保留有效声场信息，还使传递矩阵的条件数保持在一个较小的数值㊂1.3㊀数据外推
在进行声场重建时，测量点越多，获得的倏逝波信息越丰富，精度越高[14]㊂但是在实际测试中，只能在有限的孔径上进行测量，为了提高重建精度，需对获得的测量数据进行外推㊂声源㊁测量面㊁外推面和重建面的位置如图1所示㊂
获得测量声压后由式(4)计算系数向量，代入式(3)中计算外推面声压，把外推面上覆盖测量面部分声压用测量值代替，其余声压不变，继续计算系数向量C 进入下一次迭代，迭代过程可示为:{p H 2(x h 2)}
(i )
=
p H 1,
x h 2ɪH 1
{p H 2-H 1}(i ),x h 2ɪH 2ɘx h 2∉H 1
{
(8)
㊀㊀当2次迭代获得的外推声压变化不大时，终止迭代，将最后一次的外推声压作为式(4)的输入，即
㊃
8561㊃
第11期肖友洪，等：低信噪比环境下声场重建的正则化方法改进
可重建复杂声源任意区域的声场㊂
由于该数据扩展方法通过多次声场重建估计出扩展全息面上的声压，不仅保留了全息面上的原始数据，扩展出的声压仍然满足正交球面波的声辐射模型，且全息孔径边缘处的声压数据连续，重建精度大大提高㊂避免了传统数据扩展技术，将外围区域声压置为零，使全息面孔径边缘处的声压骤然突变，导致数据不连续，重建精度不高的缺点
㊂
图1㊀数据外推布局Fig.1㊀Data extrapolation layout
2㊀数值仿真
2.1㊀不同噪声水平下的重建
为了验证本文建立的正则化参数表达式在HELS 法声全息中的正确性和有效性，对双声源辐射声场开展了仿真研究㊂仿真参数如下:2个脉动球源半径为0.1m，表面振速为2.5ˑ10-3m /s，中㊀㊀㊀㊀㊀
心位置分别为(-0.3,0,0)和(0.1,0,0)，网格间距均为0.06m，测量面大小为0.3m ˑ0.3m，距声
源0.15m，含有6ˑ6个测点，外推面为0.9m ˑ0.9m，含有16ˑ16个测点，重建面大小与外推面相同，测点数相同，距声源0.1m，相干声场频率为
1000Hz㊂
为了研究不同噪声下2种正则化参数选取方法
的重建性能，在测量声压中加入信噪比40㊁20㊁
10dB 的随机噪声，信噪比计算公式为:
SNR =20lg
P s 2
P m -P s 2
(9)
式中P s 和P m 分别是无噪声时的声压矩阵和加入噪声后的声压矩阵㊂
定义声场重建均方根误差E 和重建点相对误差e :
E =
p ᶄmeas
-p rec 2 p ᶄmeas 2
ˑ100%(10)
e (x )=
p ᶄmeas (x )
-p rec (x ) 2 p ᶄmeas (x ) 2
ˑ100%(11)式中:p ᶄmeas 和p rec 是重建面上所有重建点的理论声压向量和重建声压向量;p ᶄmeas (x )和p rec (x )分别是对应重建点处的理论声压和重建声压㊂
图2是无噪声和信噪比为40㊁20㊁10dB 下的测
量声压,2种参数选取方法在重建面重建的声压云图如图3㊁4所示㊂
图2㊀不同信噪比下的测量值Fig.2㊀Measurements at different
SNR
图3㊀基于Manual 法声压重建结果
Fig.3㊀Sound pressure reconstruction results based on Manual method
㊃
9561㊃
哈㊀尔㊀滨㊀工㊀程㊀大㊀学㊀学㊀报第41
卷
图4㊀基于GCV法声压重建结果
Fig.4㊀Sound pressure reconstruction results based on GCV method
2.2㊀结果与讨论
4种情况下2种方法的重建误差如表1所示㊂
表1㊀不同信噪比下的重建误差
Table1㊀Reconstruction errors at different SNR
SNR/dB Manual/%GCV/%
无噪声7ˑ10-14 1.2
400.814.4
20 3.559.2
107.048.3
㊀㊀在无噪声环境下，从图3(a)和图4(a)可以看出，基于Manual法和GCV法都能准确识别出位于(-0.3,0,0)和(0.1,0,0)处的声源，重建点的平均重建误差分别为7ˑ10-14%和1.2%㊂
在信噪比为40dB时，从图3(b)和图4(b)可以看出，基于GCV法的重建结果虽然能识别出2个声源，但是在重建面边缘点处的重建声压与理论值出现了偏差，而基于Manual法的重建误差仅为0.8%，声场重建效果较好㊂
在信噪比为20dB时，从图3(c)和图4(c)可以看出基于Manual法的重建效果和信噪比为40dB 时基本一致，准确地识别出2个声源㊂图4(c)中基于GCV法的声场重建结果仅能识别出右侧声源，重建误差已经达到了59.2%㊂
在信噪比为10dB时，基于GCV法不能识别出声源，在一些边缘处的重建点的重建误差超过200%，严重偏离真实值㊂采用Manual法的识别精度虽然有所下降，但是在重建点处的最大重建误差不超过45%，平均重建误差在10%以下㊂从图3(d)的声场重建结果可以看出2个声源的位置，在边缘点处的重建效果较好，克服了在边界处的不连续问题,Manual法重建性能稳定，重建结果与信噪比为40㊁20dB时保持一致，表明Manual法抗噪能力较GCV法强㊂
在信噪比10~60dB的范围内，基于Manual法和GCV法的声场重建误差如图5所示㊂从图5中可以看出，随着信噪比的降低，基于GCV法的重建误差从10%以下上升到90%，而基于Manual法的重建误差波动范围小，一直在10%以下，这表明Manu-al法在低信噪比时仍然可以达到满意的重建效果，能有效抑制噪声
㊂
图5㊀不同信噪比下的重建误差
Fig.5㊀Reconstruction errors under different SNR
出现上述现象的原因是在噪声影响不大时, GCV函数寻最小值时不会出现波动，如图6(a)所示，而当噪声影响较大时,GCV法在获取GCV函数最小值时如图6(b)所示，函数值在最小值附近波动较大，得到的最小值容易出现偏差㊂
而Manual法对奇异值进行处理前先通过预设的参考值进行判断，大于该参考值的不进行抑制，小于该参考值再进行处理，这样不仅能有效去除噪声，也能最大限度保留声场有效信息㊂
GCV法在选取正则化参数时出现的不稳定性，使传递矩阵Ψ的条件数急剧增大㊂如信噪比为10dB时，由式(7)计算得到基于GCV法的Ψ矩阵的条件数为1584，而Manual法的Ψ矩阵条件数为1.1，因此Manual法能获得与实际声场接近的重建结果㊂
3㊀实验验证
为了验证Manual法选择正则化参数在HELS 法声全息中的正确性，在消声室中对间距0.4m的双声源开展实验研究，实验布置如图7所示㊂
2个音响中心位置分别为(-0.3,0,0),(0.1, 0,0)，产生频率为1000Hz的相干声场,36个麦克风以0.06m的间距均匀分布，全息距离为0.15m，外推面大小为0.9mˑ0.9m，网格间距和位置与全息面相同，重建面位
置0.1m，大小与外推面相同㊂
㊃0661㊃
第11期肖友洪，等:
低信噪比环境下声场重建的正则化方法改进
图6㊀GCV 函数曲线Fig.6㊀GCV function
curves
图7㊀双音箱实验布置
Fig.7㊀Experimental setup of the two loudspeakers
㊀㊀重建结果如图8和图9所示，从图8(a)中可以看出,GCV 法只能识别出一个声源，图9(a)显示Manual 法不仅可以识别出全息面覆盖的声源，对处于全息面之外的声源也能准确识别㊂
进一步比较2种方法的数值误差，由测量得到的数据重建全息面位置的声场，取测量位置处的重建声压
与测量值比较,GCV 法重建误差如图8(b)所示，最大误差为20.3%，平均误差为4.3%,Manual 法重建误差如图9(b)所示，最大误差11.0%，平均重建误差为1.
2%㊂
图8㊀基于GCV 法声压重建结果
Fig.8㊀Reconstruction results based on GCV
method
图9㊀基于Manual 法重建结果
Fig.9㊀reconstruction results based on Manual method
㊃
1661㊃
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