（由由由由由由）第十届华为杯全国研究生数学建模竞参
学校南京师范大学
参参队号10319003
1.佟德宇
队员姓名
2.顾燕
3.贾泽慧
(由
由由由由由)
第十届华为杯全国研究生数学建模竞参
题 目  功率放大器非线性特性及预失真建模
摘      要
针对问题一中求解输入输出信号之间的非线性功放特性函数问题, 采用了不同的多
项式函数, 运用最小二乘法或正则化后的最小二乘法进行拟合求解. 并用参数NMSE 来评价所建模型的准确度. 结果发现在逼近函数选为函数基的情况下, 采用正则化后的最小二乘法得出的模型准确度最好, 其对应的参数NMSE=-68.6294.
同时考虑计算量和模型准确度, 在由多项式变形函数逼近功放的模型基础上, 来进行预失真模型的建立. 根据题中给出的原则和约束, 可知预失真模型的表达式与功放模型的表达式是类似的, 从而可建立相应的预失真模型.：
-1
1()()
()K
k k k z t h x t x t ==∑
K=4时, 整体模型的放大倍数g=1.8693, 参数NMSE=-32.5819, EVM=2.3491; K=5时, g=1.8473, 参数NMSE=-37.1398, EVM=1.3900; K=7时, g=1.8326, 参数NMSE=-46.0624, EVM=0.4976.
针对问题二, 直接将功放的输入输出与题目中所提的“和记忆多项式”模型进行拟合, 运用正则化后的最小二乘法进行求解, 这很好的保证了模型的可解性. 本题只考虑功放模型次数为5的情形. 当记忆深度为7时, 得NMSE=-45.8394; 当记忆深度为3时, 得NMSE=-44.5315. 预失真模型的建立与问题一类似, 文中以框图的方式建立了预失真处理的模型实现示意图, 并对次数为5、记忆深度为3的情形, 求解出整体模型的放大倍数g=9.4908, 参数NMSE=-37.8368, EVM=0.0128.
针对问题三, 将所给的离散的、有限的输入输出数据作为随机过程的样本函数，通过其傅立叶变换得到功率谱参度函数. 文中分别给出了输入信号、无预失真补偿的功率放大器输出信号、采用预失真补偿的功率放大器输出信号的功率谱参度图形. 可解出它们的ACPR 分别为-155.6610、-74.3340、-104.4904, 最后对结果进行分析评价, 得出采用
预失真补偿的功率放大器的输出信号效果比无预失真补偿的效果好.  关键字：最小二乘法、Tikhonov正则化、Fourier变换
一、问题重述
信号的功率放大是电子通信系统的关键功能之一, 其实现模块称为功率放大器( PA, Power Amplifier), 简称功放. 功放的输出信号相对于输入信号可能产生非线性变形, 这将带来无益的干扰信号, 影响信信息的正确传递和接收, 此现象称为非线性失真.
功放非线性属于有源电子器件的固有特性, 研究其机理并采取措施改善, 具有重要意义. 目前已经提出了各种技术来克服功放的非线性失真, 其中预失真技术是被研究的较多的一项技术, 其最新的研究成果已经被运用于实际的产品中, 但在新算法、实现复杂度、计算速度、效果精度等方面仍有相当的研究价值.
预失真的基本原理是：在功放前设置一个预失真处理模块, 这两个模块的合成总效果使整体输入-输出特性线性化, 输出功率得到充分利用.
文中给出了NMSE 、EVM 等参数评价所建模型其准确度, 以及ACPR 表示信道的带外失真的参数.
根据数据文件中给出的某功放无记忆效应、有记忆效应的复输入输出测试数据： (1)我们建立此功放的非线性数学模型()G ⋅, 并用NMSE 来评价所建模型的准确度.  (2)根据线性化原则以及“输出幅度限制”和“功率最大化”约束, 计算线性化后最大可能的幅度放大倍数, 建立预失真模型. 并运用评价指标参数NMSE/EVM 评价预失真补偿的计算结果.
(3)应用问题二中所给的数据, 计算功放预失真补偿前后的功率谱参度(输入信号、
无预失真补偿的功率放大器输出信号、采用预失真补偿的功率放大器输出信号), 并用图形的方式表示了这三类信号的功率谱参度. 最后用相邻信道功率比ACPR 对结果进行分析.
二、模型假设
1、假设题中所给的功放输入输出数据采样误差为0.
2、假设题中所给的功放输入输出数据具有代表性、一般性.
3、假设存在这样的预失真处理器, 能够做到将输入数据变为模型求解所得的预失真 处理输出结果.
三、基本知识
§3.1 最小二乘方法
最小二乘方法[][]12
产生于数据拟合问题, 它是一种基于观测数据与模型数据之间的差的平方和最小来估计数学模型中参数的方法. 输入数据t 与输出数据y 之间大致服从如下函数关系
(,)y x t φ=,
式中n x R ∈为待定参数. 为估计参数x 的值, 要先经过多次试验取得观测数据1122(,),(,),,(,)m m t y t y t y  , 然后基于模型输出值和实际观测值的误差平方和
2
1
((,))
m
i
i
i y x t φ=−∑
最小来求参数x 的值, 这就是最小二乘问题. 一般地, m n  .
引入函数
()(,), 1,2,,i i i r x y x t i m φ=−= ,
并记
12()((), (),  , ())m r x r x r x r x = ,
则最小二乘问题即为
n min ()()T
x R
r x r x ∈. 如果最小二乘问题中的模型函数估计准确, 那么最小二乘问题的最优值是很靠近零的.
因此()r x 常称作残量函数.
对于线性最小二乘问题, 残量函数可以表示为
()r x b Ax =−,
从而线性最小二乘问题可以表示为
2
正则化最小二乘问题
min n
x R
b Ax ∈−.                          (3.1.1) 若A 是列满秩的, 且考虑到二次凸函数的稳定点即为最小值点, 可以直接得到x 的求解
公式, 即
()1
T
T x A A A b −=.                        (3.1.2)
而对于复数域上的线性最小二乘问题
n
2
min x C
b Ax ∈−, 也可以直接得到x 的求解公式, 即为
()-1
T x A A A b =,                        (3.1.3)
其中, T A 表示A 的共轭转置.
§3.2 Tikhonov 正则化
在使用最小二乘方法进行参数估计的时候, 由于A 不一定是列满秩的, 故T A A 不一定是可逆的, 此时就不能够用上面所推得的公式进行直接的求解了. 为了克服这个困难,
考虑Tikhonov 正则化[]3
方法, 即给目标函数加上一个正则项(即一个邻近项)
2
k k x x λ−.
此时, 最小二乘问题转化为
n
2
2
1min +k k k
x C
x b Ax x x λ+∈=−−.
其中k x 是第k 步迭代得到的解, k λ可以选为一个常数或一个单调下降趋于0的数列. 迭代的终止准则为
1k k x x ε+−≤,
其中ε是一个给定的误差上界.
考虑到二次凸函数的稳定点即为最小值点, 这时问题
22
min n
k k x C
b Ax x x λ∈−+− 是可以直接求解的, 给出x 的求解公式为
()
()1
T k k
k x A A I A b x λλ
−=++.
显然, 此时即使A 非列满秩, 问题也是可以求解的.

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