普朗克公式-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
普朗克公式的那些事
材料科学与工程学院材料物理张培学号：23 19世纪末，经典统计物理学在研究黑体辐射时遇到了巨大的困难：由经典
的能量均分定理导出的瑞利-金斯公式在短波方面得出同黑体辐射光谱实验结果相违背的结论。同时，维恩公式则仅适用于黑体辐射光谱能量分布的短波部分。也就是说，当时还未能到一个能够成功描述整个实验曲线的黑体辐射公式。为了解决经典物理学19世纪末面临的“紫外灾难”，普朗克吸收了维恩公式和瑞利－金斯公式的长处，利用热力学理论和熵能关系，于1900年10月19日“猜测”出了普朗克公式，经鲁本斯实验验证完全正确，很好地解决了前人的黑体辐射理论与实验结果的矛盾。
物理学中，普朗克黑体辐射定律（也简称作普朗克定律或黑体辐射定律）（英文：Planck's law,
Blackbody radiation law ）是用于描述在任意温度下，从一个黑体中发射的电磁辐射的辐射率与电磁辐射的频率的关系公式。这里辐射率是频率的函数：
这个函数在时达到峰值。
如果写成波长的函数，在单位立体角内的辐射率为
注意这两个函数具有不同的单位：第一个函数是描述单位频率间隔内的辐射率，而第二个则是单位波长间隔内的辐射率。因而和并不等价。它们之间存在有如下关系：
通过单位频率间隔和单位波长间隔之间的关系，这两个函数可以相互转换：
下表中给出了函数中每一个物理量的意义和单位：
物理量
含义国际单位制
厘米-克-
秒制辐射率，在单位时间内从
单位表面积和单位立体角内以
单位频率间隔或单位波长间隔
辐射出的能量
焦耳·秒-1·米-
2·球面度-1·赫兹-1，
或焦耳·秒-1·米-2·球
面度- 1·米-1
尔格·秒-
1·厘米-2·赫兹-
1·球面度-1
频率赫兹(Hz) 赫兹
波长米(m)
厘米（cm）
黑体的温度开尔文(K) 开尔文
普朗克常数焦耳·秒 (J·s)
尔格·秒（erg·s）
光速米/秒(m/s)
厘米／秒（cm/s）
自然对数的底，...无量纲无量纲
玻尔兹曼常数
焦耳／开尔文
(J/K)
尔格／开
尔文 (erg/K)
在1900年10月19日，在德国物理学会的会议上，普朗克基于一个根据实验数据猜测出来的内插公式，提出了黑体辐射公式:
当时对黑体辐射实验测量工作做得较多的有鲁本斯。据说普朗克那时几乎每天下午四时都去鲁本斯家中喝咖啡，并将自己的公式与他的实验结果核对, 不符合时晚上回来再修改, 最后凑出上面这个公式在普朗克报告的当天晚上, 鲁本斯将自己的数据和这个公式作了详细比较, 发现它们“在任何情况下都完全令人满意地相符”普朗克认识到如果仅仅把这个公式看成是侥幸揣测出来的, 那末它的价值非常有限于是他就致力于出这个公式的真正物理意义。经过近两个月的努力，普朗克于1900年12与4日向德国物理学会提出他对黑体辐射公式的理论推导。
1899年，普朗克运用经典电磁理论，研究了封闭在一个具有理想反射壁的空腔的电磁辐射，采用赫兹振子模型，由运动方程出发，导出单位体积和频率间隔的电磁辐射能和振子平均能的关系：
接着普朗克利用热力学方法探讨上式中的U形式。以两参量的维恩公式及相应的热力学关系为一极限情况，以鲁本斯和库尔鲍姆的实验结果“单辐射的强度在温度高时与温度成正比”及相应的热力学关系为另一极限情况，做出了天才的猜测：内插于两者之间正确的形式为。此式积分后可得到
。根据热力学关系，立即有
，从而得到1900年10月19日在德国物理学会会议上提出的两常
数的普朗克公式。
在确信这一公式的正确之后，普朗克着手寻求理论上完善的推导方法。他效仿玻尔兹曼，把能量分配于N个谐振子，而,P是整数，一般很大。称能量元，其值尚须确定。有组合分析法则得到配容数为
略去式中的1，利用斯特令公式，得
由于，故可直接到处单个谐振子的熵：
以h表示与振子特性无关的常数，普朗克把能量元写为。将熵S对U求导，利用及上面谈到的热力学方法，就得出了他在1900年12
月14日向柏林物理学会提出的黑体辐射公式的推导，而这一天就被看作为量子观念的诞生之日。
普朗克对他的辐射公式的推导, 存在着明显的内部矛盾。首先，
与
是矛盾的。ρ是从经典麦克斯韦电磁理论推导出来的，其中无疑假定了赫兹振子的能量连续变化性, 而U则是在振子分立能级假定下导出，这在逻辑上不
自洽其次, 在推导辐射公式时，普朗克把嫡确定为，而他仅仅计算了
正则化英文一切可能出现的状态总数并把它与几率等同起来爱因斯坦对此曾指出：“普朗克先生运用玻耳兹曼等式的方式在我看来在这一点上是令人费解的, 他引进状态的几率W而竟没有给这个量下个物理定义。
下面的推导并非普朗克的原始推导，需要用到电动力学、量子力学和统计力学的有关概念。
考虑一个充满了电磁辐射的边长为的立方体：根据经典电动力学，在立方体壁表面的边界条件为电场的平行分量和磁场的垂直分量都为零。类似于处于束缚态的粒子的波函数，立方体内部的电磁场也是满足边界条件的周期性本征函数的线性叠加，在垂直于立方体壁表面的三个方向上各个本征函数的波长
分别为和
这里是非负整数。对于每一组值都有两个线性无关的解（两种不同的模）。根据量子力学中的谐振子理论，任意模式下的系统能级为
这里量子数可看作是立方体中的光子数，而两种不同模式对应的是光子的两种偏振态。注意到当光子数为零时能级不为零，这种电磁场的真空能量是一种量子效应，是产生卡西米尔效应的原因。下面我们计算在温度下光子数为零时系统处于真空状态下的内能。
根据统计力学，在特定模式下不同能级的概率分布由下式给出
这里
分母是系统在特定模式下的配分函数，它能够使概率分布归一化。对正则系综有
这里我们定义单个光子的能量为
系统的平均能量和配分函数的关系为
这个公式是玻-爱因斯坦统计的一个特例。由于光子是玻子，任一能级对光子的数量没有限制，系统的化学势为零。
系统的总能量是平均能量对所有可能的单光子态求和。考虑在热力学极限下，立方体边长趋于无穷大，这时单光子能量近似成为连续值，我们将平均能量对单光子的连续能量积分就可以得到系统的总能量，这就需要我

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