多极德拜散媒质的时域电磁逆散射改进技术
正则化可理解为一种罚函数法刘广东;葛新同
【摘 要】在已有的经验模型中,多极德拜(Debye)模型最适合高精地描述生物组织、土壤、水等媒质的散特性.为了同时反演这类媒质的电磁参数,本文提出了一种时域逆散射改进技术:分别应用迭代法和吉洪诺夫(Tikhonov)正则化技术克服逆问题的非线性和病态性困难;解析导出了目标泛函关于目标参数的梯度;迭代重建过程中,产生的正演、反演子问题分别选用时域有限差分(FDTD)法、共轭梯度(CG)法求解.噪声环境下,通过两个一维(1-D)的数值算例,初步证实了该技术的可行性和鲁棒性.
【期刊名称】《电子学报》
【年(卷),期】2015(043)012
【总页数】7页(P2518-2524)
【关键词】电磁逆散射;多极德拜散媒质;吉洪诺夫正则化;时域有限差分法
【作 者】刘广东;葛新同
【作者单位】阜阳师范学院物理与电子工程学院,安徽阜阳236037;阜阳师范学院数学与统计学院,安徽阜阳236037
【正文语种】中 文
【中图分类】TN95;O441;O451
实验测量证实：生物组织、土壤、岩石、金属等多种媒质属于散媒质[1,2].为描述它们的散特性，迄今,已提出了好几种经验模型，其中德拜(Debye)模型适用于生物组织(特别是人体组织)、土壤、水等媒质，这类媒质也常称作德拜散媒质[2,3].近几年来，已经提出了好几种模拟德拜散媒质中电波传播的时域有限差分(Finite-Difference Time-Domain,FDTD)方案[2,4～6]，其中主要有：引入辅助微分方程(Auxiliary Differential Equation,ADE)[2]、采用递归卷积(Recursive Convolution,RC)[5]、定义移位算子(Shift Operator,SO)[6].这为德拜散媒质的反演研究奠定了基础[3].有了这些基础，近年来，单极德拜散媒质的时域电磁逆散射(亦常称作反演、重建等)研究也取得一些进展[7,8].
然而，研究显示：(1)德拜模型采用多极形式可明显提高建模精度[9]；(2)其它散模型(如Cole-Cole模型[10]、Davidson-Cole模型[11])可转化为多极德拜模型.因此，研究多极德拜散媒质的电磁逆散射技术更有普遍意义.
为此，本文对文献[8]的工作加以改进，在时域反演多极德拜散媒质的电磁参数，改进之处主要体现在：(1)单极形式拓展为多极求和形式；(2)无磁媒质拓展为有磁媒质；(3)添加正则化项；(4)添加静态电导率项.该项工作有望为生物医学成像、地球物理勘探等领域提供一些参考价值.
假设条件及符号说明：(1)所有媒质是线性、各向同性、非磁散的，该条件广泛使用在地球物理、生物医学工程等领域[12,13]；(2)已知背景媒质的电磁参数、几何信息；(3)已知问题空间V的边界，已知目标媒质为多极德拜电散媒质,但散参数分布未知；(4)测量天线采用收发分置方式，已知激励源和天线位置，发射阵列共I个阵元(i=1,2,…,I)，接收阵列共K个阵元(k=1,2,…,K)；(5)采用加性高斯白噪声(Additive White Gaussian Noise,AWGN)模型.
依次激活发射阵列各阵元(每次一个)，产生的入射波辐照散射体，接收阵列的K个阵元同时获得测量电场.
本文的电磁逆散射问题就是利用测量电场去重建问题空间的电磁参数分布:一方面，需要反演的磁参数仅为相对磁导率μr(r)，位置矢量r∈V:当μr=1时退化无磁媒质,如文献[7,8];另一方面，需要反演的电参数由一般的多极德拜散模型确定[9]
为表述简洁，省略自变量(r)(后文同)，定义电磁参数分布向量:p=[μr,ε∞,σs,Δε1,…,ΔεW,τ1,…,τW]T，这里上角标T表示转置.因此,对问题空间的每一个像素，需要同时反演p1,…,pl,…,p3+2W共3+2W个未知数.
类似文献[8]引入媒质的散特性，可以获得：当激活第i个发射阵元时，问题空间的时域电场Ei、磁场Hi、散电流满足麦克斯韦(Maxwell)方程
为克服逆问题的非线性困难，首先将该问题转化为关于重建参数p的最小化问题,其目标泛函F为
在方程式(5)的右边：第一项、第二项分别表示电场残差、吉洪诺夫(Tikhonov)正则化[14](以抑制逆问题的病态特性)，T为测量时间，Ei,k(p)为重建参数等于p时的计算电场，符号右侧下、上角标“2”分别表示欧氏范数、平方运算，γl表示与p的第l个分量pl相对应的正则化参数.
其次，采用拉格朗日(Lagrange)乘子罚函数法[3],将前述约束最小化问题转化为无约束最小化问题，其增广目标泛函Fa为
然后，根据变分法[15]，求解无约束最小化问题，即等价于求解变分方程
-γ3+w2Δεw
-γ3+W+w2τw
至此，余下的问题只需选择适当的梯度算法迭代求解.本文选用PRP(Polak-Ribière-Polyak)非线性共轭梯度(Conjugate Gradient,CG)法[16,17].若获得了第m步迭代的反演参数pm,则下一步迭代的更新公式为[3,8]
本文的电磁逆散射技术流程与前期工作类似，具体流程图可参阅文献[3,17].
为初步检验改进技术的可行性和鲁棒性,本节设计两个一维问题算例，问题的几何模型类似于文献[8]:在厚度为d的均匀背景媒质中，发射阵列两个阵元均相距重建区d/4，接收阵列两个阵元均相距重建区d/2；背景媒质周围采用卷积完全匹配层(Convolution Perfectly Matched Lay
er,CPML)吸收边界[18]；厚4d的重建区为层状分布的2极德拜散媒质.算例的目标是探究可能影响反演效果的因素：(1)参数分布的光滑程度；(2)背景媒质类型；(3)散射强度；(4)散射体位置；(5)散射体尺寸.
参数取值及补充说明：(1)激励源采用超宽带(Ultra-Wideband,UWB)脉冲平面波源；(2)FDTD正解器采用10层CPML吸收边界；(3)测量值通过FDTD仿真替代，但离散化换用双倍精细网格，并加入信噪比(Signal to Noise Ratio,SNR)等于20dB的AWGN；(4)取正则化参数γl=0.001[3]；(5)取M=60，并定义第m步迭代的均方根误差(Mean Square Error,MSE) e为[12]
参数d=10mm，背景媒质为空气，重建区为无磁的2极Debye散媒质，模型参数呈类正弦分布，其中ε∞、σs、Δε1、Δε2、τ1、τ2分别如图1(a)～(d)及图2(a)、2(b)实线所示，以表征发生癌变的人体乳房，其最大值分别为7.82、0.79S·m-1、25.61、23.91、8.07ps、19.25ps，最小值分别为3.14、0.036S.m-1、0.58、1.09、7.22ps、15.18ps，均源自文献[9]；模型参数的中度值与文献[9]的第二类正常乳房组织一致(假定先验知晓)，以表征大众化的健康乳房.
采用的UWB脉冲与文献[17]一致；FDTD离散化的空间、时间步长分别为Δz=0.5mm、Δt=0.5
Δz/c0，c0为真空光速，T=2000Δt；迭代初值取自文献[9]中第二类正常乳房组织，分别为5.57、0.52S.m-1、19.64、14.23、5.81ps、16.49ps，分别如图1(a)～(d)及图2(a)、2(b)虚线所示；分别经过1步和60步迭代后，反演结果分别如图1(a)～(d)及图2(a)、(b)点划线和双划线所示；归一化的目标泛函F、均方根误差e随迭代步数m的变化关系分别如图2(c)、(d)所示(纵轴采用了对数坐标，后文同).
敛散性分析：从图2(c)、(d)看出，处理光滑型电磁逆散射问题，迭代过程总体上是收敛，这得益于正则化技术，在一定程度上抑制了噪声影响和逆问题的病态特性，不过收敛速度呈现先快后慢的趋势.
误差分析：(1)从图2(d)发现，60步迭代的均方根误差e约为1%，总体上能被一般的工程应用所接受，适当地增加迭代步数有望进一步减小误差；(2)对比异向峰值型图1(a)～(d)、图2(b)和同向峰值型图2(a)发现，前者优于后者，原因是异向峰值型更容易接收到不同目标的散射场.
参数d=150mm，背景媒质为均匀的无磁2极Debye散媒质(模型参数分别为ε∞=2.0、σs=0.02S·m-1、Δε1=2.0、Δε2=3.0、τ1=2.0ns、τ2=3.0ns)，重建区间断地分布着4层有磁
的2极Debye散射体(按从左向右顺序，后文依次称之为散射体S1、S2、S3、S4)：弱散射体S1的电磁参数均高出背景媒质0.5倍，而强散射体S2、S3、S4的电磁参数均高出背景媒质1.0倍；S1、S3、S4厚度均为37.5mm，等于S2的一半；S1、S4位置对称，相距重建区边界均为37.5mm，S2、S3到重建区中心的距离相同，均为112.5mm.重建区的真实电磁参数分布分别如图3(a)～(d)及图4(a)～(c)实线所示.
采用的UWB脉冲波形与文献[8]一致；FDTD离散化的空间、时间步长分别为Δz=7.5mm、Δt=125ns，也与文献[8]相同，T=1200Δt；选取的迭代初值和背景媒质相等，分别如图3(a)～(d)及图4(a)～(c)虚线所示；分别经过1步和60步迭代后，反演结果分别如图3(a)～(d)及图4(a)～(c)点划线和双划线所示；均方根误差e随迭代步数m的变化关系如图4(d)所示.
敛散性分析：由图4(d)得到，处理非光滑型电磁逆散射问题，迭代过程总体上仍然收敛，不过误差曲线的波动程度略显加剧.
误差分析：(1)从图4(d)发现，60步迭代的均方根误差e约为9%，总体上误差明显大于光滑情形和文献[8]的误差，对策是适当增加迭代步数、优化正则化参数或尝试其它正则化技术[12]；(2)从整体上对比、分析图3(a)～(d)、图4(a)～(c)发现，对σs、τ1、τ2的反演精度略高
于μr、ε∞、Δε1、Δε2；(3)从细节上对比四个不同散射体的反演精度，S4稍好于S1，S4稍好于S3，S2稍好于S3.
综合以上两个数值算例，不难看出：在噪声环境下、均匀散(或非散)背景媒质中，时域反演多极德拜目标，获得的电磁参数信息量丰富，重建的位置、尺寸、形状等目标信息基本准确，但对非光滑型散射而言，反演精度尚待提高.
本文提出了一种时域反演多极德拜(Debye)媒质电磁参数的改进技术：引入吉洪诺夫(Tikhonov)正则化技术应对逆问题的病态特性；利用变分法解析导出目标泛函的梯度(Fréchet导数)；通过时域有限差分(FDTD)法求解迭代过程的正演、反演子问题.两个一维算例的数值结果初步证实了该技术的可行性和鲁棒性，并通过敛散性、误差分析，就重建精度而言，得出四点结论：(1)光滑型优于非光滑型；(2)强散射优于弱散射；(3)浅层目标优于深层目标；(4)大目标优于小目标.
刘广东(通信作者) 男，1972年生于江苏灌云.现为阜阳师范学院物电学院副教授、工学博士.研究方向为微波医学成像.

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