第３４卷第８期
中国机械工程
V o l ．３４㊀N o ．８２０２３年４月
C H I N A M E C HA N I C A LE N G I N E E R I N G
p p
．９２３Ｇ９３０一种复杂曲面无基准轮廓度的E R ＧB F G S 评定方法
付高财１㊀盛步云１,２
㊀万㊀润３㊀殷希彦２㊀盛甘霖４
１武汉理工大学机电工程学院，武汉,４３００７０
２．湖北工业大学机械工程学院，武汉,４３００６８
３．新华三技术有限公司，杭州,３１００００
４．海克斯康制造智能技术(青岛)有限公司，青岛,２６６１１４
摘要：针对大量测点导致曲面轮廓度计算耗时倍增的问题，提出一种基于熵正则化和B F G S 算法的
曲面轮廓度评定方法.该方法在点到曲面的最小距离函数的基础上，通过熵正则化原理将轮廓度最小区域评定模型的极大极小问题转化为无约束可微优化问题，并利用快速收敛的B F G S 算法进行求解,
实现了复杂曲面无基准轮廓度的快速评定.实验表明该方法在计算耗时方面比序列二次规划方法缩短约５％~１９％,
能有效提高在机测量效率
.关键词：在机测量；熵正则化;B F G S 算法;
面轮廓度中图分类号:T H １６１
D O I :１０．３９６９/j
．i s s n ．１００４ １３２X．２０２３．０８．００６开放科学(资源服务)标识码(O S I D )
:A nE R ＧB F G SE v a l u a t i o n M e t h o d f o rD a t u m Ｇf r e eP r o f i l e o fC o m p
l e xS u r f a c e s F U G a o c a i １㊀S H E N GB u y u n １,
２㊀WA N R u n ３㊀Y I N X i y
a n ２㊀S H E N G G a n l i n ４
１．S c h o o l o fM e c h a n i c a l a n dE l e c t r i c a l E n g i n e e r i n g ,W u h a nU n i v e r s i t y o fT e c h n o l o g y
,W u h a n ,４３００７０２．S c h o o l o fM e c h a n i c a l E n g i n e e r i n g ,H u b e iU n i v e r s i t y o fT e c h n o l o g y
,W u h a n ,４３００６８３．N e w H ３CT e c h n o l o g y C o ．,L t d ．,H a n g
z h o u ,３１００００４．H e x a g o n M a n u f a c t u r i n g I n t e l l i g e n c e (Q i n g d a o )C o ．,
L t d ．,Q i n g d a o ,S h a n d o n g
,２６６１１４A b s t r a c t :T o s o l v e t h e p r o b l e mt h a t a l a r g e n u m b e r o fm e a s u r e m e n t p o i n t s c a u s e d t h em u l t i p
l i c a Ｇt i o no f t i m es p e n t i nc a l c u l a t i n g s
u r f a c e p r o f i l e s ,an e ws u r f a c e p r o f i l ee v a l u a t i o n m e t h o d w a s p r o Ｇp o s e db a s e do nE Ra n dB F G Sa l g o r i t h m．B a s e do n t h em i n i m u md i s t a n c e f u n c t i o n f r o m p o i n t t o s u r Ｇf a c e ,t h em i n i m a x p r o b l e mo f t h e p r o f i l e e v a l u a t i o n m o d e l f o r t h em i n i m u mr e g
i o nw a s t r a n s f o r m e d i n t o a nu n c o n s t r a i n e d a n d d i f f e r e n t i a b l e o p t i m i z a t i o n p r o b l e mt h r o u g hE R p r i n c i p l e ,a n d s o l v e db y
t h e f a s t c o n v e r g e n tB F G S a l g o r i t h m ,w h i c h r e a l i z e d t h e r a p i d p r o f i l e e v a l u a t i o n o f c o m p l e x s u r f a c e sw i t h Ｇo u t d a t u m．T h e e x p e r i m e n t s s h o wt h a t t h e c a l c u l a t i o n t i m e o f t h i sm e t h o dm a y d
e c r e a s e a s ５％~１９％c o m p a r e dw i t h t h e s e q u e n t i a l q u a d r a t i c p r o g r a mm i
n g m e t h o d ,a n d e
f f e c t i v e l y i m p r o v e t h e e f f i c i e n c y o
f o n Ｇl i n em e a s u r e m e n t ．
K e y w o r d s :o n Ｇl i n e m e a s u r e m e n t ;e n t r o p y r e g u l a r i z a t i o n (E R );B F G S (B r o y d e n ＧF l e t c h e r ＧG o l d Ｇf a r b ＧS h a n n o )a l g
o r i t h m ;s u r f a c e p r o f i l e 收稿日期:２０２２０５０５
基金项目：湖北省科技重大项目(２０２１A A A ００７
)０㊀引言
随着C A D 造型技术的发展,
几何特性优越的自由曲面已成为工程上复杂且常用的特征，而评判零件曲面质量是否合格的重要依据是曲面轮廓度是否达到设计的公差要求.依托在机测量技
术[１]
，这些曲面加工完成后直接在机床上进行质
量检验，避免了工件搬运㊁二次装夹带来的耗时费力㊁二次定位误差等问题.整个在机测量中的测点规划㊁测量执行㊁结果计算等过程不能过多占用机床的运行时间，否则会影响机床的加工利用
效率[
２]
.曲面轮廓度评定方法主要分为最小二乘法和
最小区域法两大类.最小二乘法[３]
虽然原理简
单㊁工程上易实现，但不满足I S O 标准对最小包容区域的要求.最小区域法完全基于I S O 标准的最小条件原则，在无基准曲面轮廓度求解算法
中的应用最为广泛[４]
.L A N G 等[５]在测点到模
型表面的距离函数基础上，建立了基于最小区域准则的最优定位模型，并利用序列二次规划(s e Ｇ
q u e n t i a l q u a d r a t i c p r o g r a mm i n g
,S Q P )方法求解出自由曲面的轮廓误差.Z H A N G 等[６]
引入辅助变量，将不可微极小极大优化问题转化为带约束的可微优化问题，并基于原对偶内点法进行最小区域拟合来求解N U R B S 曲面的轮廓误差.L I U
等[７]提出了一种基于线性四叉树的表面轮廓误差粗定位和精确配准算法.Z H A N G 等[８]借助指数
３２９
惩罚函数将定位模型优化问题变换为无约束可微最小化问题，采用主动集策略和参数自适应调整
的牛顿法计算出轮廓度.T A N 等[９]
在定位迭代
优化过程中引入动态加权策略，采用一种效率高于四元数方法的差分定位算法来快速求解定位的刚性变换参数.为求解符合最小区域要求的轮廓
度评定模型，遗传算法(g e n e t i c a l g
o r i t h m ,G A )[１０]正则化可以理解为一种什么法
㊁粒子优化(p a r t i c l es w a r m o p t i m i z a Ｇt i o n ,P S O )算法[１１]㊁蝙蝠算法[１２]
和差分进化算法[１３
]等智能优化算法也在曲面定位参数的求解
上有所应用.
虽然S Q P ㊁高斯Ｇ
牛顿等微分方法能有效计算出测点的最优定位参数，但通常都需要引入一些与测点数量相同的额外约束不等式，将评定模型简化为某类可微优化问题.因此，对于复杂曲面的精密在机测量场景，测点较多时，算法的复杂性
将增大，导致测量过程占用大量的机床运行时间，与在机测量技术的初衷相悖.此外G A ㊁P S O 等
经典智能算法容易陷入局部最优，难以满足精密测量的需求，且在测量复杂曲面时收敛过慢.
本文针对测点较多的复杂曲面，为避免不可微目标函数而导致复杂算法的问题，采用熵正则化原理将评定模型的极大极小问题变换为无约束可微优化问题，并通过B F G S (B r o y
d e n ＧF l e t c h e r ＧG o l d f a r b ＧS h a n n o )算法快速求解出测点定位参数.
１㊀轮廓度模型的描述
国家标准G B /T１１８２ ２０１８«
产品几何技术规范(G P S )几何公差形状㊁方向㊁位置和跳动公差标注»指出，无基准要求的面轮廓度公差带是包络一系列圆球(诸球的直径为公差T 且球心位于理论曲面上)的两包络面之间区域，如图１所示.面轮廓度评定过程就是不断调整实际测点相对于理论曲面的空间位姿，保证误差带最小
.
图１㊀曲面轮廓度误差示意图
F i g ．１㊀S c h e m a t i c d i a g
r a mo f s u r f a c e p r o f i l e e r r o r 国家标准G B /T１９５８ ２０１７«产品几何量技术规范(G P S )形状和位置公差检测规定»中，形状误差评定的最小区域准则为：被测要素的提取要素相对于理想要素的最大距离为最小.则轮廓度误差的最小区域直径为实际测点距离理想曲面最大值的２倍，数学上可定义为极小极大问题:
m i nm a x ２i ɪI
d i (
R ,T )㊀㊀I ＝{１,２, ,n }(１
)R ＝c βc γs αs βc γ－c αs γc αs β
c γ＋s αs γc βs γs αs βs γ＋c αc γc αs βs γ－s αc γ－s i n βs i n αc o s βc o s αc o s βéëêêêùûú
úú(
２)c j ＝c o s j ㊀㊀s j ＝s i n j ㊀㊀j ＝α,β,
γT ＝１０δx ０１δy ００δz éëêêêùû
ú
ú
ú(３
)式中,n 为测点数量;d i (R ,T )为实际测点到理论曲面的距离;R ㊁T 分别为测点集不断调整位姿过程中所需要进行的旋转变换矩阵和刚性平移矩阵;(α,β,γ)㊁(δx ,δy ,δz )
分别为测点集在理论曲面坐标系中的旋转量和平移量.
由式(１
)可知，评定曲面轮廓度误差是一个多元非线性的复杂寻优过程，需要解决两个关键问题：计算测点到理论曲面的最小距离；求解测点集平移㊁旋转的最优变换参数.
当曲面复杂的测点数量较多时，不可微函数的迭代计算量大，因此充分利用熵正则化解决大型数据集最优传输的优势，结合B F G S 算法设计了一种求解复杂曲面轮廓度的方法.首先利用分割逼近法确定测点
到理论曲面的最小距离，通过熵正则化方法将评定模型中的极大极小问题转化为含参数的无约束可微优化问题，然后利用B F G S 算法快速求解出测点集的最优变换参数.
具体的评定流程如图２所示.
图２㊀无基准曲面轮廓度评定流程
F i g
．２㊀E v a l u a t i o n p r o c e s s f o r d a t u m Ｇf r e e p r o f i l e o f s u r f a c e ２㊀测点到曲面的最小距离
根据分割逼近方法[１４
](图３)，计算测点p i (
i
４２９ 中国机械工程第３４卷第８期２０２３年４月下半月
为测点编号)到理论曲面S (u ,v )
的距离，基本步骤如下
.(１)将N U B R S 曲面S (u ,v )分别沿着u ㊁v
方向分割成(n ＋１)ˑ(n ＋１)
个曲面片，获得网格点r (t )
(u l ,v k )，其中,t 为分割次数;l ,k ＝０,１, ,n .(２)计算某测点p i 到网格点r (t )
(u l ,v k )
之间的欧氏距离d (i ,t )
l ,k .
(３)记录测点p i 到所有网格点距离最短的网
格点r (t )m i n (u l ,v k )及其距离d (t )
m i n ，则测点p i 在曲面上对应的理论最近点q 肯定在网格点r (t )m i n (u l ,
v k )
邻接的４个曲面片内.(４
)如果曲面片分割精度小于设定精度，则终止算法，获取测点p i 到曲面S (u ,v )的最小距离d (t )m i n .否则，将网格点r (t )
m i n (u l ,v k )
邻接的４个曲面片进一步分割成(n ＋１)ˑ(n ＋１)
个曲面片，并令t ѳt ＋１得到新的网格点r (t )
(u l ,v k )
，转至步骤(２
)继续执行.图３㊀分割逼近过程
F i g ．３㊀S e g m e n t a t i o na p p
r o x i m a t i o n p r o c e s s ３㊀无基准曲面轮廓度的评定
３．１㊀基于熵正则化的轮廓度模型转换
最大熵原理[１５]
指出在满足约束的条件下，熵
值最大的概率分布是最符合客观情况的一种无偏分布，从数学角度可定义为约束极值问题:m a x H (η)＝－ðn
i ＝１
ηi l n η
i s ．t ．ðn
i ＝１
ηi g j (x i )＝E (g j (x i ))㊀㊀j ＝１,２, ,m ð
n
i ＝１
ηi ＝１且ηi ȡ０㊀㊀㊀㊀㊀i ＝１,２, ,n ìîíïïïïüþý
ï
ï
ï
ïïïïï(４
)式中,H (η)为熵函数;η＝(η１,η２, ,ηn )为随机变量x i 的概率分布;E (g j (x i ))为可统计函数g j (
x i )的均值.在测点集不断调整位姿以使误差带最小的过
程中，测点集到理论曲面的最大距离问题可理解为一种不确定性的概率问题.为将不可微优化问题变换为可微优化问题，基于最大熵原理构建出光滑凝聚函数替代最大距离函数进行求解.
首先将轮廓度模型(式(１)
)变换为等价的约束非线性规划问题：存在一个最小值Φ使得所有测点到理论曲面的距离都小于等于该值，即
m i n Φ
s ．t ．d i (α,β,
γ,δz ,δy ,δz )ɤΦ}
(５
)㊀㊀引入的拉格朗日函数为
L (X ,Φ,λ)＝Φ＋ðn
i ＝１
λi (d i (
X )－Φ)(６
)式中,λ为拉格朗日乘子,λ＝(λ１,λ２, ,λn );X ＝(α,β,
γ,δx ,δy ,
δz )为测点的旋转平移变量.将ðn
i ＝１
λi ＝
１代入式(６)可得L (X ,λ)＝
ðn
i ＝１
λi d i (
X )(７
)则非线性规划问题(式(５
))的对偶问题为m a x λɪΛ
L (X ,λ)＝
ðn
i ＝１
λi d i
(
X )(８
)其中,λi 满足单纯形集合Λ＝{λi ȡ０|ðn
i ＝１
λi ＝
１}.在符合给定的约束条件下，式(８
)等价于距离最大值函数F (X )＝m a x d i (X ).依据非负性和规范性的单纯形集合，将式(８
)中的λi 理解为对应的距离函数d i (
X )等于最大值函数F (X )的概率，这样L (X ,λ)可视为原极大极小问题中距离函数d i (X )的均值.依据最大熵原理，式(８
)的极大值问题就是寻一个满足最大熵的概率分布函数λ(X ).可构建相应的熵函数:
H (λ)＝－ðn
i ＝１λi l n λi
(９
)㊀㊀为获取让熵值达到最大的概率分布，在式(８
)后附加一个正则项(熵函数形式)，可获得复合极值函数:
m a x L θ(X ,λ)＝L (X ,λ)＋H (
λ)/θθ＞０(１０)其中,θ为控制参数,
可理解为拉格朗日函数L (X ,λ)和熵函数H (λ)
之间的加权系数.式(１０)包含了拉格朗日函数L (X ,λ)
和熵函数H (λ)的两个极大值问题.θ越大，熵函数在式(１０)中的占比越小，式(１０)与式(８)的解越接近.根据微分法可计算出式(１０
)的一个解析解:λi (
X )＝e x p (θd i (
X ))ðn
i ＝１
e
x p (θd i
(X ))(１１
)㊀㊀将式(１１)代入式(９)
，消去变量λ，可获得逼近最大值函数F (X )
的可微函数:
５２９ 一种复杂曲面无基准轮廓度的E R ＧB F G S 评定方法
付高财㊀盛步云㊀万㊀润等
F θ(X )＝１
θl n (ðn
i ＝１
e x p (θd i (X )))(１２
)㊀㊀接下来证明,θң＋ɕ时，目标函数F θ(X )
在整个变量空间中一致逼近最大值函数F (X ).最大值函数F (X )
代表所有距离中的最大值，由此可获得
d i (
X )－F (X )ɤ０(１３)所以，对于任意大于０的参数θ，通过指数运算可得１ɤ
ðn
i ＝１
e
x p (θ(d i
(X )－F (X )))ɤn (１４)㊀㊀将式(１２)代入式(１４
)后，两边取对数，获得０ɤF θ(X )－F (X )ɤl n n /θ(１５
)㊀㊀参数θң＋ɕ时,F θ(X )将收敛于F (X )
，轮廓度模型中不可微的极小极大问题(式(５))就转化为含参的可微优化问题:
m i n X ɪR
６F θ(X )＝
１
θl n (ðn
i ＝１
e x p (θd i (X )))(１６
)㊀㊀目标函数F θ(X )和距离函数d (X )
均二次连续可微，其中，测点到曲面的距离由第２节中的方法计算，且距离函数d (X )
的梯度为Ñd p ,S (X )＝－n q v －(q ˑn q )
ω(１７)n q ＝n q (
u ,v )＝∂S (u ,v )∂u ˑ
∂S (u ,v )
∂v
∂S (u ,v )∂u ˑ
∂S (u ,v )∂v
v ＝(Δδx ,Δδy ,Δδz )㊀㊀ω＝(Δα,Δβ,
Δγ)式中,d p ,S (X )为点p 到理论曲面S (u ,v )的有向距离;q
为点p 在曲面上对应的理论最近点的坐标向量;n q 为曲
面上q 点处的单位法向量.
３．２㊀基于B F G S 算法的定位参数求解
B F G S 算法[１６]
作为一种求解无约束非线性可微优化问题的有效算法，具有数值稳定和快速收敛等特性，计算过程中通常只需求解出目标函数值及其梯度.具体的算法步骤如下:
(１)设定常量δɪ(０,１),σɪ(０．０．５)
，终止误差０ɤε≪１，初始值X ０ɪR ６，最大迭代次数为k m ,
初始对称正定矩阵为B ０，令当前迭代次数k ＝０.
(２)求解目标函数的梯度值g k ＝ÑF θ(X k )
，若 g k ɤε，则停止计算，将X k 作为近似最优点输出.
(３)求解线性方程组B k d k ＝－g k 得到下降步长d k .
(４)令δm 代表搜索步长因子，使F θ(X k ＋
δm d k )ɤF θ(X k )＋σδm g T
k
d k 成立的最小非负整数m 定义为m k .设αk ＝δm ,k ,X k ＋１＝X k ＋αk
d k .(５
)计算B k ＋１:B k ＋１＝
B k ㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀y T
k s k ɤ０
B k －B k s k s T k B k s T k B k s k ＋y k y T
k y
T k s k ㊀㊀y
T
k s k ＞０{
(１８
)式中,s k 为位移,s k ＝X k ＋１－X k ;y k 为梯度差,y k ＝g
k ＋１－g
k .(６)令k ѳk ＋１，转步骤(２
).理论上，控制参数θң＋ɕ时即可获得原始
问题的精确解.在实际的数值计算中，为避免数值溢出，对目标函数F θ(X )作一个等价变换，即在原来的指数项上减去一个合适的大数φ，使得当前指数项始终小于等于０:
F θ(X )＝
１
θl n (ðn
i ＝１
e x p (θd i (X )))＝φ＋１
θl n (ðn
i ＝１
e x p (θ(d i (X )－φ)))(１９
)为方便计算，取φȡm a x １ɤi ɤn
d i (X －
)，其中,X －
为旋转平移变量X 的当前值.此时，式(１９)中的指数项均满足
d i (
X )－φɤ０e x p (α(d i (
X )－φ))ɤ１}
(２０
)㊀㊀函数F θ(X )
的梯度为ÑF θ(X )＝
ðn
i ＝１
λi
(
X )Ñd i
(X )(２１
)㊀㊀根据式(１１
)可知，梯度计算也涉及指数运算.为避免数值溢出，选择在指数项上减去一个合适的大数φ:
λi (
X )＝e x p (θd i (
X ))ðn
i ＝１
e
x p (θd i (X ))＝e x p (θ(d i (
X )－φ))ðn
i ＝１
e
x p (θ(d i
(X )－φ))(２２
)㊀㊀如图４所示，基于E R ＧB F G S 的曲面轮廓度
评定方法的详细步骤如下:
(１
)在参数X 的取值范围内随机选取实数定图４㊀E R ＧB F G S 评定流程F i g
．４㊀E v a l u a t i o n p r o c e s s o fE R ＧB F G S
６２９ 中国机械工程第３４卷第８期２０２３年４月下半月
义为初始值X０＝(０．０２,０．０２,０．０２,０．１,０．１,０．１)，并设置控制参数θ㊁最大迭代次数k m，令当前迭代次数k＝０.
(２)采用第２节中的分割逼近方法求解出测点集到理论曲面的最短距离d i(X k).
(３)采用B F G S算法计算可微优化问题(式１６)，得到当前迭代次数下的最优解X k，并由定位参数X k求出相应的齐次变换矩阵.
(４)依据步骤(３)得到的齐次变换矩阵对测量点进行坐标转换.
(５)若算法达到最大迭代次数或结果达到收敛精度，则输出最优解X k；否则令kѳk＋１，跳转至步骤(２).
４㊀实例验证与分析
为验证E RＧB F G S方法的有效性，本文设计了仿真实验和实际测量实验，基本实验流程如图５所示.
图５㊀实验的基本流程
F i g．５㊀B a s i c f l o wo f t h e e x p e r i m e n t
首先输入理论曲面和测点(仿真或实际)，根据第２节的分割逼近方法求解测点到曲面的距离，然后采用不同的方法迭代求解测点的最佳定位参数，获得曲面轮廓度，最后将其与蔡司三坐标仪器的实际测量结
果进行对比以验证方法的有效性.所有实验数据均在C P Ui５Ｇ４２１０M的个人计算机上进行，软件平台为MA T L A BR２０１８a.４．１㊀仿真实验
选用理论曲面的函数为
z＝２(x－２５)
５s i n
π(x＋７５)
１２０－
y＋２５
５c o s
π(y－７５)
１２０
－７５ɤx,yɤ７５
㊀㊀在曲面上以H a l t o n序列随机生成４００个理论测点.同时假定曲面在加工过程中的系统误差e m s＝０．０５(s i n x＋７５
１２０＋s i n
y－７５
１２０)，随机误差e m r 符合正态分布N(０,０．０１２)；在测量过程中的系统误差e i s＝(１,－１．５,０．８,０．１,－０．０６,０．０５)，随机误差e i r符合正态分布N(０,０．００５２).考虑上述模拟的加工误差和测量误差，将４００个理论测点变换为仿真测点进行实验.
将理论曲面z坐标和４００个仿真测点坐标导入到MA T L A B中进行三维绘制，如图６a所示.采用本文提出的E RＧB F G S方法(控制参数θ＝１０７)实现测点集的最佳平移旋转定位，如图６b所示.然后，设置控制参数θ分别为１０４㊁１０５㊁１０８㊁１０１０进行重复运算，最终获得结果如表１所示.由表１可知，控制参数θ对最终的评定结果有一定的影响,θȡ１０７时，由E RＧB F G S方法得到的轮廓度误差㊁计算时间分别趋于稳定值１９．２μm㊁３１５s，因此后续实验中设定控制参数θ＝１０７.采
(a)定位前
(b)定位后
图６㊀测点定位前后分布
F i g．６㊀D i s t r i b u t i o no f s i m u l a t i o nm e a s u r e m e n t p o i n t s
b e f o r e a n da f t e r p o s i t i o n i n g
７２９
一种复杂曲面无基准轮廓度的E RＧB F G S评定方法 付高财㊀盛步云㊀万㊀润等
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