《数值微分及应用》研究 第一章  数值微分的描述
一、《数值微分》描述
数值微分(numerical differentiation)是根据函数在一些离散点的函数值，推算它在某点的导数或高阶导数的近似值的方法。通常用差商代替微商，或者用一个能够近似代替该函数的较简单的可微函数（如多项式或样条函数等）的相应导数作为能求导数的近似值。例如一些常用的数值微分公式(如两点公式、三点公式等)就是在等距步长情形下用插值多项式的导数作为近似值的。此外，还可以采用待定系数法建立各阶导数的数值微分公式，并且用外推技术来提高所求近似值的精确度。当函数可微性不太好时，利用样条插值进行数值微分要比多项式插值更适宜。如果离散点上的数据有不容忽视的随机误差，应该用曲线拟合代替函数插值，然后用拟合曲线的导数作为所求导数的近似值，这种做法可以起到减少随机误差的作用。数值微分公式还是微分方程数值解法的重要依据。
二、《数值微分》的相关概念
根据函数在一些离散点上的函数值来估计函数在某点导数或高阶导数的近似值的方法，称为数值微分。
多项式插值是最常见的一种函数插值。在一般插值问题中，若选取φ为n 次多项式类，由插值条件可以唯一确定一个n 次插值多项式满足上述条件。从几何上看可以理解为：已知平面上n+1个不同点，要寻一
条n 次多项式曲线通过这些点。插值多项式一般有两种常见的表达形式，一个是拉格朗日插值多项式，另一个是牛顿插值多项式。
三次样条函数定义：函数],,[)(2b a C x S ∈且在每个小区间[]
1,+j j x x 上是三次多项式，其中
b x x x a n =<<<= 10是给定节点，则称)(x S 是节点n x x x ,,,10 上的三次样条函数。
若在节点j x 上给定函数值(),,,1,0)(n j x f y j j  ==并成立
),,,1,0()(n j y x S j j  ==
则称)(x S 为三次样条插值函数。
三、《数值微分》的相关理论
主要有微分中值定理，下面介绍以下几种微分中值定理。 3.1罗尔定理
我们先讲罗尔定理，然后根据它推出拉格朗日中值定理和柯西中值定理。
先将介绍费马引理  设函数)(x f 在点0x 的某邻域()0x U 内有定义，并且在0x 处可导，如
果对任意的)(0x U x ∈，有)),(x f )(()(00x f x f x f ≥≤）
（或那么00=')(x f 。 罗尔定理  如果函数)(x f 满足 （1）在闭区间[]b a ，上连续； （2）在开区间[]b a ，内可导；
（3）在区间端点处的函数值相等，即)()(b f a f =，那么在),(b a 内至少有一点
)(b a <ξ<ξ，使得0f =ξ')(。
3.2拉格朗日中值定理 （1）在闭区间[]b a ，上连续； （2）在开区间[]b a ，内可导；
那么在),(b a 内至少有一点)(b a <ξ<ξ，使等式))(()()(a b f a f b f -ξ'=-。 3.3柯西中值定理 如果函数)(x f 及)(x F 满足 （1）在闭区间],[b a 上连续；
（2）在开区间()b a ，内可导； （3）对任一0≠'∈)(),,(x F b a x 。 那么在),(b a 内至少有一点ξ，使等式
)
()
()()()()(ξ'ξ'=--F f a F b F a f b f 成立。
四、《数值微分及应用研究》国内外研究进展
数值微分问题相对其他问题而言是一个古老的问题，从上个世纪中期至今国内外有众多的学者进行这一课题的研究，得到的科研结果也很丰富。如果理论研究中不考虑数据的误差，用一般的有限差分法就能求得近似的导数，并且已经有很多人对有限差分法的收敛性进行了研究。但如果数据带有误差，用有限差分法就有可能造成数值解的误差很大。通常都用划分的间距不能太小的办法来解决，及测量点不能太多，在此条件下计算结果还可以接受，否则有可能测量点去的越多结果越差。然而这一要求不符合人们的思维习惯，人们习惯性地认为，数据越多越能帮助得到更精确的结果。
五、《数值微分及应用研究》国内外研究现状
针对上面谈到的问题，使许多学者开始从其他角度来考虑数值微分问题，这种方法就是用Tikhonov 正则化方法，此法对求解不适定问题以及反问题是理论上最完备而实践上行之有效的。求解数值微分的问题本质上是不适定的，因此必须用正则化法，其中正则化参数的选取是该方法的一个核心问题。严格来讲稳定的近似求导方法都是基于正则化思想，所不同的是正则化解算子的构造和正则化参数的选取。 六、《数值微分》方法有多少？
比较常用的数值微分方法有四种：差商型数值微分、插值型数值微分、三样条型数值微分、数值微分的外推算法。
第二章  算法的研究
一、《数值微分》方法有多少（方法种类）？
1. 《数值微分》方法有多少？
比较常用的数值微分方法有四种：差商型数值微分、插值型数值微分、三样条型数值微分、数值微分的外推算法。下面我们一一介绍各种方法。
1.1差商型数值微分公式
当函数(x)f 是以离散点列给出时，当函数的表达式过于复杂时，常用数值微分近似计算
(x)f 的导数(x)'f 。在微积分中，导数表示函数在某点上的瞬时变化率，它是平均变化率的极限；在几何上可解释为曲线的斜率；在物理上可解释为物体变化的速率。
（1）向前差商公式
h x f h x f x f )
正则化可以理解为一种什么法
()()('-+≈
（2）向后差商公式
h h x f x f x f )()()('--≈
（3）中心差商公式
h h x f h x f x f 2)()()('--+≈
1.2插值型数值微分
（1）两点数值微分公式（1=n ）
过节点h x x x +=010，的插值型数值微分两点公式为
h x f x f x L x f )
()()(')('01010-=
≈
h x f x f x L x f )()()(')('01111-=
≈
其截断误差为
)(''2)('001ξf h x R -
=，)(''2)('111ξf h
x R -=
其中
())1,0(,=∈i b a i ξ。
（2）三点数值微分公式
过节点)2,1,0(0=+=i ih x x i 的插值型计算导数的三点公式为
)]()(4)(3[21
)('2100x f x f x f h x f -+-≈
)]
()([21
)('201x f x f h x f +-≈ )]
(3)(4)([21
)('2102x f x f x f h x f +-≈
其截断误差为
)
('''3)('02
02ξf h x R -=
)
('''6)('12
12ξf h x R -=
)
('''3)('22
22ξf h x R =
),(b a i ∈ξ)2,1,0(=i
二阶数值微分公式
)2,1,0()],()(2)([1
)('')(''2102
2=+-=
≈i x f x f x f h x L x f i i      注：此公式是三点公式。 （3）三样条型数值微分
三次样条函数)(x S 作为)(x f 的近似，不但函数值很接近，导数值也很接近，并有
2,1,0,)
()(4)
()()
(=≤--∞
∞
k h f
C x S x f
k k k k k
因此利用三次样条函数)(x S 直接得到
.
11)()()(],,[6
3)()(,2,1,0),()(k k k k k k k k k k k k M x f x x f M h
M h x S x f k x S x f =''+--='≈'=≈++ 这里],[1+k k x x f 为一阶均差，其误差为
,
8
3
,
24
12)4(3)
4(h f S f h f S f ∞∞
∞∞≤''-''≤'-'
（4）数值微分的外推算法
利用中点公式计算导数值时)].()([21
)()(h x f h x f h
h G x f --+=≈' 对)(x f 在点x 做泰勒级数展开
,)()(4221 +++='h h h G x f αα

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