2020,40A(3):717-724
数学物理学报a ct a ms.wipm.ac
确定热方程未知源问题的超阶正则化方法
赵振宇*2林日光2李志2梅端
(1山东理工大学数学与统计学院山东淄博255049;2广东海洋大学数学与计算机学院广东湛江524008;
3南方海洋科学与工程广东省实验室(湛江)广东湛江524000)
摘要：该文研究了热传导方程中未知源的确定问题.针对问题的不适定性，提出了一种结合超
阶惩罚项的Tikhonov正则化方法.在由偏差原理选取正则化参数情况下，方法能够在不同光
滑条件下获得最优收敛阶•计算过程不需要事先知道光滑度和精确解的先验界.数值试验表
明，该方法是有效和稳定的.
关键词：不适定问题；超阶正则化；热方程；未知源；偏差原理.
MR(2010)主题分类：47A52中图分类号：0124文献标识码：A
文章编号：1003-3998(2020)03-717-08
1引言
本文考虑如下热方程未知源问题⑹
{u t=u xx+f(x)，x G R,0<t<1，
u(x,0)=0,x G R,(1.1)
u(x,1)=g(x),x G R,
其中u(.,t)G L2(R)表示状态变量•我们的目标是由数据u(x,1)=g(x)重构源项f(x).实际过程中数据g(x)通常由物理装置读取获得•因此我们只能获得它的扰动数据g5(x).假设g5(x)G L2(R)且满足
llg-g5II<&(1.2)这里6>0表示误差水平，||•||为L2-范数.
反源问题在热传导、裂纹识别、电磁理论、污染源识别等许多物理和工程学科中有着广泛的应用.这些问题的主要困难是数值不稳定性.因此，在数值模拟过程中需要引入一些特收稿日期：2019-02-18；修订日
期：2019-07-21
E-mail:wozitianshanglai@163
基金项目：南方海洋科学与工程广东省实验室(湛江)资助项目(ZJW-2019-04)和广东海洋大学创新强校工程项目(Q18306)
Supported by the Fund of Southern Marine Science and Engineering Guangdong Laboratory
(Zhanjiang)(ZJW-2019-04)and the Project of Enhancing School with Innovation of Guangdong
Ocean University(Q18306)
*通讯作者
718数学物理学报Vol.40A
殊的正则化手段，对这类问题研究已经有众多学者做了大量的工作.文献［2-3,5,7,10,15］中对解的唯一性和条件稳定性进行了研究.此类问题的数值重构方法可以参见文献［1,6,9, 11,13-14,16-20］.
对本文问题而言，利用傅里叶变换，可以得到问题(1.1)的解如下
/(x)=F-1[A(e)g(e)]=左g(g)e4dx=:Tg,(1.3)这里
为g的傅里叶变换，其中
g(g)=F[g(x)]=/g(x)e-W"d x
吃)(1.4) (1.5)
显而易见，g的衰减速率一定要超过吃.但是测量数据g s一般不具备这样的衰减性质，因此我们无法通过传统方法获得问题解的合理近似.本文中我们将提出一种结合超阶罚项的吉洪诺夫正则化方法来处理不适定性.在此之前，我们首先对未知源设定先验性条件：
Ilf lip<E,p>0,(1.6)此处||•||p表示索伯列夫空间H p(R)意义下的范数，可由下式定义
If I p：=(f°°(1+g2)p|f®|2dg)"2.(1.7)
文献［6］中给出了问题(1.1)的最优误差界，同时提出了一种结合先验参数准则的傅里叶正则化方法，在该方法中需要先验界E以及光滑度P的信息来确定正则化参数.文献［21］中提出了一种结合后验参数
准则的修正吉洪诺夫正则化方法，但是该方法仍然需要参数P(通常未知)的信息•进一步文献［22］的作者通过希尔伯特尺度下的吉洪诺夫正则化方法来求解(1.1)
，在该文中，采用如下吉洪诺夫泛函的极小元作为g的近似：
◎(4=I"-g s|2+a||T0|2,(1.8)
其中a〉0为正则化承诺书，g为正实数•该方法不需要预先知道p和E的值，其理论收敛率为0(6最),p<2g+2.也就是说当p<2g+2时方法时按阶最优的.对于较大的p值，由于浮点数的限制理论结果难以实现.
在文献［22］中，||T0|2被用作吉洪诺夫泛函中的罚项.从希尔伯特尺度正则化的观点来看，它是一种高阶正则化方法.本文将提出一种新的罚项(称作超阶正则化)，理论结果表明，当采用偏差原理选取正则化参数时，对于任意的p G R方法均能获得最优收敛阶.我们已经在文献⑷中用类似的方式处理了数值微分问题.
本文安排如下：第2节给出了带超阶罚项的吉洪诺夫正则化方法的构造及一些辅助结果.正则化参数的选取和相应的收敛结果可以在第3节中到.第4节通过数值实验验证
了该方法的有效性.
No.3赵振宇等：确定热方程未知源问题的超阶正则化方法7192求解问题（1.1）的结合超阶罚项的吉洪诺夫正则化方法
定义
1 产
(R 0)(x ) = F-1 [e 50(g)] = e 罔 0(£邸"血,V  2开丿—g 以及1 ('N (P n 0) (x) = -^ 0(g)e i 5x dx.V  2n  J —n 令0 = 0°a 为如下吉洪诺夫泛函极小元
(2.1)
(2.2)◎(0)= II0 -+ a  H R 0『,(2.3)
其中a 〉0为正则化参数.严，"=T0a 将作为f 的近似.
可以导出0亠"为如下方程的解［8］
（I  + a F —I 25”。= g 6. （2.4）
可得
因此如果定义
则正则化解f a ，6可以给出为
入a,60，1
1 + ae 2l 5A(g)f a,6 = T0a,6斗g 6〕(2.5)
(2.6)
(2.7)
F — 1本文借鉴了文献［12］推导高阶方法的过程来建立超阶方法的框架，首先给出一些辅助 性结果.
引理 2.1［12〕假设
k a  (入)=y+那么我们有
以及
引理 2.2[12]富入1/2匾（刘＜ 点sup  A 1/211 — A k a (A )| <
A>0 2对于任意g  & R ，我们有
0 <g 2 < 吃)< 1 + g 2 <-a  a
(2.8)sup  入|k a (入)| < 1, 入>0(2.9)
sup  |1 —入k a (入)| < 1. 入>0(2.10)
:2A(g), g  G  R .(2.11)
引理2.3如果条件（1.6）成立，则
|g  - g N I  < 2N —p —2E  及 ||Rg N II  < C n E,(2」
2)
720数学物理学报
Vol.40A 其中
证由Parseval 公式
C n max 2e N 、丿 *
(2.13)llg  — g r  II 2 = ll g  — g T  II 2 = / g 2(g)dg
丿旧>N
< / 嘉g 2®d g
丿疋|>N  (1 + Q  )
=[4(1严貯少g 2(歸
丿旧>N 4
< T 2p +44(i+e
2)p +2/ (1+ 鬥盯2(g)dg ^|€|>N
< N 2p +4 |f  llp 7
(2.14)以及
|R g N  II 2 = II 』自 g N  II 2 = [ e 2 自 g 2(g )d g
^|€|<N
< /气啓g 2(倔
丿疋|>N  :
<h>N  詰(1 +
(4e 2N < ma ^.1,N ^Ilf  Ip *
(2.15)引理2.3证毕.
引理2.4创 如果||T0|p 有界，则有
p
丄忆0||<|畑|冲忆创广.
(2.16)引理2.5假设函数族/满足
_ 1
|"5|| < k i d  和 ||R#|| < fe 2e fc 35 p+2 d, d  t  0,
(2.17)其中k i , k 2, k 3为固定实数.则存在实数M 满足
忆的” < M, d  t  0.
(2.18)证 可以证明存在一个常数d o 满足
e 2E5-^+2 > (2k 3)P +2> ~d ~V d  < d o .
(2.19)不失一般性，我们仅证明d<d o 情况.令
1
N o  = k 3d -P+2,
(2.20)
No.3赵振宇等：确定热方程未知源问题的超阶正则化方法721则由三角不等式
|T/||p  < IT (I  - P N 。)创p  + IT P n o 创p  =：厶 + I 2. (2.21)
现在我们分别来估计厶和I 2.对于第一项厶，由(2.11), (2.12), (2.19)及(2.17)式可得
I
(1+ &2)吠(。附(g)]2 dg
l £l >N o (1U +2 [e «矽(g)]2 d g < Az
< (2丁2丁" IIR 0I 2 = 22p +4k 2k 3p +4.e 2N o (2.22)
对于第二项I 2，结合(2.11)及(2.17)式有
I  = I  (1+ g 2)p ^(g)附(g)]2 dg
^|€!<N o
< [(1+ g 2)p +2 [0〃(g)]2 dg
从l<N
< 4砒+4 / [06 (g)]2 dg
」l £l<N o
< 4N 0+4|0|2 = 4k 2k f p +4. (2.23)
引理2.5证毕. I 定理2.1假设条件(1.2), (1.6)成立，f"由(2.7)式定义，如果我们选取参数a 满足
|0必-g s  I  = Cd,(2.24)
其中C 〉1，则r  2 p I 严一f  I  = 2E p+2 d p+2. (2.25)
证令T  = R -1，那么0曲=T k a (T 2)T  g 6.
(2.26)定义 g a,N  = T k a (T 2)T g N ，则有
(0a ，6 - g a,N ) = T k a (T 2)T (g 6 - g N ),
(g N  — g a,N ) = T[I  一 k a (T 2)T 2]R g N 、
愆巧
正则化解决什么问题
R(0“ - g a,N ) = k a (T 2)T (g 6 - g N ),R(g N  一 g a,N ) = [I  一 k a (T 2)T 2]R g N -
进而
I (0a ，6 - g N )I  < I 0a ，6 - g 6I  + I g 6 - g I  + I g  - g N I
< (C  + 1)d  + I g  - g N I  < (C  +1)d  + 2N -p -2E, (2.28)
以及
||R(0a, 一 g N)||i 2 < IR (0a, 一 g a,N )||i 2 + ||R(g a ；N  一 g N)||i 2
< llg 6 一 g N I  + ll R g NIS
27 a < 厶(d  + 2N -p -2E) + C n E.
(2.29)27 a

版权声明：本站内容均来自互联网，仅供演示用，请勿用于商业和其他非法用途。如果侵犯了您的权益请与我们联系QQ:729038198，我们将在24小时内删除。