2021年2月第2期Vol. 42 No. 2 2021
小型微 型计算 机系统
Journal of Chinese Computer Systems
信号自适应衰减的多壳扩散磁共振成像方法
罗伶俐，王远军
(上海理工大学医学影像工程研究所，上海200093)
E-mail :yjusst@ 126. com
摘 要：提升总体平均扩散传播算子(Ensemble Average diffusion Propagator ,EAP )的重建精度一直以来都是扩散磁共振成像
领域中扩散光谱成像(Diffusion Spectrum Imaging ,DSI )的核心问题.在诸多成像算法中，用径向基函数(Radial Basis Function ,
RBF)作为扩散MR 信号插值基函数的方法在纤维方向分布重建及成像统计标量重建方面均获得了理想的E
AP 重建效果，为
进一步提升重建效率及精度，本文基于RBF 方法提出了对信号进行自适应衰减建模的方法，并结合确保扩散张量正定性的张
量求解算法，分别基于系数人仏正则化方法求解最优化参数以作对比.针对体模数据的实验结果显示，该算法在提升各项指标 重建精度及计算效率方面均取得了理想效果.
关键词：扩散MRI ；扩散光谱成像；多壳扩散MR 成像
中图分类号：TP391 文献标识码:A 文章编号：1000-1220(2021 )02-0374-07
Multi-shell Diffusion Magnetic Resonance Imaging Method with Adaptive Signal Attenuation
LUO Ling-li,WANG Yuan-jun
(Institute of Medical Imaging Engineering ,University of Shanghai for Science and Technology ,Shanghai 200093 .China)
Abstract : Improving the estimation accuracy of the Ensemble Average diffusion Propagator) EAP)
has always been a core issue of dif fusion spectrum imaging in the field of diffusion magnetic resonance imaging. Among many methods , the radial basis function ( RBF) is used as the interpolation basis function for diffusion MR signal to obtain the ideal EAP reconstruction effect both in reconstruction of
fiber orientation estimation and scalar statistics. In order to further improve the calculation efficiency and reconstruction accuracy , a method modeling the signal adaptive attenuation based on the RBF is proposed in this paper. The tensor estimating method ensuring the positive definiteness of the diffusion tensor is combined , and the optimization is performed by method based on l x and l 2 regularization
respectively for comparison. Experimental results about phantom data show that the algorithm has achieved ideal results in terms of im proving the reconstruction accuracy of various indicators and calculation efficiency.
Key words : diffusion MRI ； diffusion spectrum imaging ; multi-shell diffusion MR imaging
1引言
扩散磁共振成像(Diffusion Magnetic Resonance Imaging ,
dMRI)技术被广泛应用于诸如阿尔茨海默症、精神分裂症、脑
损伤等诸多大脑疾病的研究中.dMRI 的基础原理是由于扩
散加权MR 信号对器官组织中的内生水分子的随机运动十分
敏感，这其中应用最为广泛的扩散加权磁共振成像(Diffu
sion-weighted MRI,DW-MRI)是使用了两种在180。附近的射
频脉冲自旋回波，其磁场梯度的方向和幅度在MR 序列上均 相同⑴，若在两种梯度中氢核的位置不一致时，其磁矩会发
生净位移.若一随机运动的氢核在扩散过程中呈现的相位 不一致，会导致整体信号的衰减，进而生成扩散MR 信号.
此处用E(g)表示归一化后的扩散MR 信号，即是在波矢 量q 处所测的dMRI 信号与不施加扩散灵敏梯度场时的原始
MR 信号之间的比值.从数学上讲,E(g)与一个重要指标：总
体平均扩散传播算子(Ensemble Average diffusion Propagator,
EAP)有关，其重建对于dMRI 意义重大：不仅能由EAP 推导
出诸如用于描述纤维束方向特征的方向分布函数(Orientation
Distribution Function,ODF)，其他相关细胞大小、方向，及跨膜
交换的信息特征同样可由此推导.
EAP 的一种重建方法需要一个将粒子扩散过程与表示
扩散信号的函数关联起来的理想模型，但前提是信号的函数
表示够精确.这其中最经典的成像方法为扩散张量成像(Dif fusion Tensor Imaging,DTI)[2] ,DTI 方法假设 E(g)是一个以
原点为中心的高斯函数，但这种过于简化的假设对于含有复 杂纤维结构(如交叉、相接的纤维束)的体素，建模局限性很 大.相关研究表明，在当前dMRI 成像分辨率的条件下，超过 90%的体素存在复杂的多纤维⑶.为突破DTI 的这一局限
性，许多基于高角度分辨率扩散成像(High Angular Resolu
tion Diffusion Imaging ,HARDI )的方法被提出，这其中包括扩
散光谱成像(Diffusion Spectrum Imaging , DSI )技术[4]. DSI 需 在q 空间中密集的笛卡尔网格点上进行数据采样，在得出表
示归一化信号的连续函数E3)后，对其进行傅里叶逆变换可 得到相应的EAP t5-6]:
收稿日期= 2020-03-10 收修改稿日期：202044-29 基金项目：国家自然科学基金项目(61201067 )资助；上海市自然科学基金项目 (18ZR1426900)资助•作者简介：罗伶俐，女.1996年生，硕士研究生，研究方向为扩散磁共振成像；王远军，男，1980年生，博士，副教授，博士生
导师，研究方向为医学影像处理与分析.
2期罗伶俐等：信号自适应衰减的多壳扩散磁共振成像方法375
P(r)=\e-a^r E(q)dq(1)
其中P(门表示运动粒子净位移为r的概率.g为q空间中的波矢量.由于扩散信号是扫描采样所得数据，因此EAP的求解问题简化成了如何根据所采样的散点信号数据，估计岀表示信号的连续函数E｛q).
但过长的采样时间使得DSI在临床上并不实用.为解决这一问题，近年来的改进方法主要通过建立合适的信号模型以减少信号采样，或用适当的插值基函数表示q空间中的扩散信号.例如，球极傅里叶基函数⑴，贝塞尔傅里叶基函数⑷，以量子力学简单谐波振荡器哈密顿量(亦称为埃尔米特函数)，其本征函数的线性组合表示三维q空间中的扩散信号的MAP191方法.而MAPL［,01则是在MAP-MRI的基础上，利用信号的拉普拉斯范数以对所求解的系数进行优化.但由于更多纤维组织的潜在结构信息在高b值条件下更易显现，需将成像条件由单壳推广到多壳条件(即多个b值条件下)时，以上方法均忽略了dMRI信号随b值增大而衰减的相关性质，该性质为研究白质微结构提供了重要信息.Rathi等人⑴］以球型脊波作为dMRI信号的插值基函数，用径向函数项作为约束条件规范了整体信号的径向衰减性，并结合信号函数的全变分(Total Variation,TV)范数优化，该方法在稀疏的多壳采样条件下实现了不错的EAP重建效果.Ning等人g则提出用径向基函数(Radial Basis Function,RBF)作为信号的插值基函数，该方法将dMRI信号表示为以q空间中不同位置为中心的各向异性高斯基函数的线性组合，并构建相应的约束条件以保证信号的衰减性，该方法也取得了理想的EAP重建效果并呈现了较强的鲁棒性.然而上述方法中约束信号衰减的条件均为构建信号插值基函数的外部条件，并没有将信号的衰减性考虑进基函数的构建中.为进一步提高EAP的重建精度，同时提升重建算法的计算效率，本文在以RBF作为频域信号插值基函数方法的基础上，添加了信号自适应衰减项以对信号衰减性进行建模，这不仅保留了原方法能够明确估算EAP的二阶、四阶矩张量的优势，且就体模数据的各项重建指标的结果来看，该方法能在提升计算效率的同时，进一步提高了EAP的重建精度.
2径向基函数在dMRI中的应用
对于径向基函数«(x),x e R d，可被写作¢(||x||),
||x||表示由原点到X点的欧式距离，即该函数在点X处的值只取决于II X II.有时也可用马氏距离替代欧氏距离问.RBF
通常被写作式(2)形式以进行函数估计：
5(x)=||)(2)
n=1
其中$(乂)作为待估计函数，可被表示成N个中心点在c”处，对应权重为3”的RBF的线性组合.相关RBF的基础理论E 表明：当RBF的数量N足够大，且中心点c”的选取适当时，则RBF几乎可以逼近任意连续函数.
q空间中的归一化dMRI信号同样可用式(2)的形式表示：设密集散落在q空间中的N个固定点｛N，$”｝作
为RBF的中心点，则可将函数构建为：
<Mg-N)=exp(-(g-NFqy-N))(3)
E(g)=E”v”e”(g-N)(4)
”0
由于dMRI信号具有偶对称性质，即E(g)=£(-¢)，因此对偶项的权重保持一致：
N"*
E(g)=”即”［札(9-弘)+</>”(g+g”)］(5) E(q，无)则表余在原点处的归一化原始信号.原点N处张量4可以标准的DTI估算张量的方式进行计算，对于其他中心点N处的特征向量则与"。保持一致，虽然从理论上讲,0”的特征方向可被设为任意方向，但利用D o 的特征向量可有助于更好地估计主扩散方向上信号衰减式(5)中的第一项％咖@)，可使该模型更精确地估计各方向信号衰减基本呈各向同性的信号(如大脑灰质和脑脊液区域)，而剩余项则可被视作对信号衰减呈各向异性部分的信号估计.从而更全面地对整体dMRI信号特征进行建模.此外，用于插值dMRI频域信号所用的RBF是一种常见的高斯核函数旅乂)=ex P(-a||x||2)，而使用高斯核函数作为插值基函数的优势在于：由于高斯核函数经傅里叶变换之后依旧是高斯核函数，因此可更简便解析地计算后续EAP、ODF 以及其他相关成像统计标量.
3EAP及基于EAP计算的相关指标
3.1EAP的计算
由于将RBF作为q空间信号的插值基函数，则所估计的信号函数表达式E(G是一系列高斯核函数的线性组合，因此对其进行傅里叶逆变换后所得的EAP也可对应地被写作相关基函数的线性组合：
N
Pa)=F-'(E(g))=Ev”d”(r)(6)
n=0
其中©”(『)-g”)+e”(g+刁”)］表示傅里叶逆变换，针对该基函数的傅里叶逆变换的计算结果为：¢.(r)=27rTID…|4cos(2^…-r)exp(-772r T Z>；'r)(7) 3.2方向分布函数(ODF)
ODF常被用于可视化纤维组织的方向特征，可由EAP通过式(8)中的积分公式进行计算：
ODF(u)=f^P(,ru)r2dr(8)其中«表示均匀分布于单位球体中的多个单位矢量,『表示位移向量的径向坐标.由于P(C=£v”0>”(r)是一组基函数的
n=0
线性组合，因此对应的ODF也可以ODF(u)=iv n ODF n(^
nsO
的函数形式表示，对应的基函数ODF"〈u)=I；<D…(ra)rdr 的计算结果为：
ODF”(u)=冷。”宀(/”")峙)x
(u•qn)2
即(-霸T)⑼3.3均方位移(Mean-Squared-Displacement,MSD)及平均四阶位移(Mean Fourth order Displacement,MFD)由于潜在纤维组织的重要特征可通过对EAP的高阶矩张量计算所得，用高斯核RBF作为信号插值基函数的一大优势在于：可解析地计算EAP的高阶矩统计量，这对于发掘白
376小型微型计算机系统2021年
质结构微小异常的研究非常重要.因此衍生出了基于二阶矩张量及四阶矩张量计算的成像统计标量：均方位移（MSD），及平均四阶位移（MFD）.
其中MSD正比于测量时间内的水分子平均扩散量，MFD则对EAP的各向异性部分更敏感，因此可捕捉到更多潜在纤维组织的相关信息.二者计算方法为：
MSD=I||r||2P（r）dr（10）
R3
MFD=J||r||4P（r）dr（11）
R3
3.4回归原点概率（Return-to-the-Origin Probability, RTOP）、回归轴向概率（Return-to-the-Axis Probability, RTAP）
用于衡量在两个扩散灵敏梯度场间水分子净位移的概率是dMRI中的重要成像指标，其中回归原点概率（RTOP）的取值由卩（0）决定，由式（6）、式（刀可知,RTOP的计算公式为：
3N1
RTOP=P（Q）=27r^EvJD nl I-T（12）
n=0
而对于诸如白质这样的神经纤维结构，由于在特定方向上的长时间扩散导致所采集信号误差较大，因此
更适合考虑扩散受限的方向（例如垂直于轴突方向的平面），即扩散张量较小的两个特征值所对应的特征向量所在的平面.由此引入回归轴向概率（RTAP）：RL4P=[E（g丄）dg丄，其中g丄表示垂直于主扩散方向的平面.假设D”的三个特征值的关系为51帀“％，其对应的特征向量分别为：则«1表主扩散方向，那么RTAP的计算公式为：
/?〃卩=217牛”（<7“…3）-寺exp（•刁”）2）（13）
n=0
4基于RBF的dMRI信号自适应衰减模型
4.1信号自适应衰减项
现假设在多壳条件，即在Q个不同b值条件下，分别在单位球体上沿均匀分布的K个梯度方向上对一个体素进行采样，从而获得维度为KQxl的离散dMRI信号向量S，可将其视为由g空间中的波矢量g决定其取值的函数S（g）.其中波矢量q=q•是一个实验可控的参数标量:q=4
277 /—汐叭△-务）（其中b为扫描参数b值"为
磁旋比,G决定了扩散灵敏梯度场的强度,5表该梯度场的持续时间，△表两个梯度脉冲的时间间隔）."是表
示单位扩散梯度方向.而由于扫描参数b值相当于定量了一个梯度脉冲的扩散加权程度（当b=0时，信号无扩散加权影响，即普通的MRI成像），大致反应了所采集信号受水分子扩散的影响程度.因此随着b值的增大，信号的扩散加权程度越大，整体信号的衰减程度变大，信噪比也随之降低"6.—些研究表明dMRI信号随着b值的增大呈双指数衰减
在Ning等人提岀用RBF作为dMRI信号插值基函数的方法中，约束dMRI信号衰减性质的方法是：构建约束矩阵B -如<”"8=1,2,“・，0，对于所求系数v，通过保证Bv>0以确保信号随b值增大而衰减的性质.然而该约束矩阵的引入占据了整个求解框架90%以上的计算时间.因此为进一步提高重建算法的计算效率，本文在原有径向插值基函数上添加了信号自适应衰减项以对信号幅度的衰减率进行建模：
仇（g）=exp（-・[0”（g—N）+咖（？+。“）],a>0（14）
E（q）=工叫仇（？）（15）
n=0
信号自适应衰减项H（q）=exp（-aq2）,a>0,H（q）e[0, 1]对多壳dMRI信号进行单调递减的指数衰减建模，这一项的引入可确保在高b值的低信噪比条件下整体信号依旧呈衰减趋势.当a=0时，式（14）则是针对单壳条件成像的表达式.此外整个求解框架除了计算系数v，还有对H（g）中衰减系数a的估算.而少量的待估参数确保了整个算法的稳定性，以及更好的鲁棒性.
4.2参数估算
4.2.1扩散张量计算
在计算插值基函数之前，须先用DTI方法求解二阶扩散张量：
船=exp（-2刊如）（16）由式（16）计算原点处信号（即?0=0）的二阶张量D。，此外中心点为非原点处对应的张量D”的特征向量还由©o决定.因此D。的准确求解至关重要，而确保0。精度的前提是保证其正定性，因此本文的实验采用了Koay等人"1的张量求解方法，计算步骤如下：
a）对式（16）两边取对数后，用加权线性回归方法估算等式右边的权重由此减少线性求解过程中噪声带来的影响何.
b）为保证张量的正定性，对于上一步所求的权重进行平方根分解（又称Cholesky分解）：D=U o t U o，其中U。为上三角阵.
c）将V o作为估算初值，基于Levenberg-Marquadt非线性拟合算法拟合式（17）以计算上三角阵17，最终扩散张量由D o =V T U计算所得.
|^-=exp（-2n2q T U T Uq）（17）4.2.2构建基函数矩阵及约束条件
将归一化后的信号离散地表示为信号向量£（9）= [騁右翳勺…，冷帑■巴并根据式（⑷构建基函数矩阵A：此处设用于表示单个信号的基函数0”（9）的总数为N，因此矩阵A的大小为KQ x N，则表示在第&个梯度方向，第g个b值扫描条件下，用于表示信号的第n个基函数的值.那么所求解的系数向量v的维度则为N X1.—般通过缩小Av与E（g）之间的均方差来求解系数v.
但当所采集的信号数量较少时（例如小于基函数数量N 的情况），那么方程Av=E就成了一个欠定问题，因此需对所求解的系数向量进行相关正则化以减小误差，结合常用的正则化方法仏范数正则（又称蒂霍诺夫正则化），目标函数构建为：
min||A v-£||2+A||v||2（18）不过基于压缩感知理论网：对于欠定问题Av=E，假设向
2期罗伶俐等：信号自适应衰减的多壳扩散磁共振成像方法377
量v的元素分布足够稀疏，则由Av还原出的信号精度越高.因此1，范数正则化也常被用于求解该类线性逆问题.此处设7)为待估计信号与实际信号之间的噪声，则目标函数为：
min||v||,,Av-£||2<7?(19)
V
除了基函数矩阵，同样需考虑相关约束条件.为了保证对信号插值后所计算EAP的整体归一性，即确保[R/(r)dr =J R3搭』£(/•)力=1，此处设置约束向量C，其中单个元素C,=]\戸,(『)弘=20”(0)，即c中的每个元素表示每个基函
数在中心点处的函数值，施加约束条件c T v=1来保证EAP 的整体归一性.
4.2.3参数求解
由于在本实验中除了求解系数向量v，还需估算信号的衰减系数a，因此本文采用共辄梯度算法来交替地估算v和a，算法流程为：
算法1.求解系数向量v与衰减系数a
输入：基函数矩阵人信号向量E
输出：系数向量"，衰减系数a
a)初始化。
b)while a>0
c)根据目标函数式(18)或式(19)求解系数向量v
d)根据||Av-E||2对a求导，使用梯度下降法更新a
e)ifa<0或||v|h不再下降
f)break；
g)end
对于式(18)中结合系数厶正则化的目标函数，其中正则项系数AMO，则该优化问题可化为min(vWAv-2E『Av+
V
Av r v)，很明显该目标函数针对系数v的求解是个凸二次规划问题，因此可由Matlab自带的函数包quadprog，结合相应约束条件进行求解.
而对于式(19)中结合系数向量人正则化的目标函数，本实验中则运用交替方向乘子法(Alternating Direction Method Of Multipliers,ADMM)E201，可有效地将该目标函数分解成一系列更简单的优化问题，此处将辅助变量Z引入式(19)，将其写成另一种形式：
mini||v||!|,s.t.Av-E=0,v-Z=O,c T v-1=0(20)该矗法求解过程中的每一次迭代均通过交替地更新参数v与Z来最小化以下拉格朗日增广函数：
||v||!+A,(AZ-£)+^-||AZ-£||"+A2(c r Z-l)+
y II c T Z-i||；+A3(v-Z)+号||v-Z||；(21)其中Pl,P2，P3分别为对应约束项的惩罚因子，以保证所求解在可行域中小，入2，入3则分别是约束条件AZ-E=O,C T Z-1= 0,v-Z=0的乘子项.设在第i+1次迭代中，各参数的更新公式为：
V i+I=argmin|||v*||,+A3(v i-Z1)+^-1|v1-Z||(22) Z*'=argminU|(AZ‘-E)+^-||AZ-E H+A2(c r Z-1)
+^-11c T Z-l忙+入3(严-N)+今II严-N II；}(23)
乘子项的更新迭代公式为：
A；*'=A；+P1(AZ+'-E)(24)
凡"=人；+P2(c r Z("-l)(25)
Ai*1=A'+p,(v i+,-Z+1)(26)迭代的终止条件同样可由各乘子项来决定.此处可预先设极小值6心心，当第i+1次迭代的计算结果满足A；+'-A；< 6，则5；<6且扃“从；<；列时可终止迭代，得出最终解.
5实验方法与结果
本实验中所用的扫描数据来源于图1中的球型物理体模，该体模与人脑内部组织具有相似的扩散特性.该体模上有两道大小为1x0.7cm2，交叉角度为45。的沟槽.
(a)球形体模(b)体模的基准图像
(a)Spherical phantom(b)Baseline image of the dataset
图1
Fig.1
体模数据由西门子3T扫描仪以2mm x2mm x7mm的空间分辨率对体模进行扫描所得.对于五个不同的b值，即b =11000,2000,3000,4000,50001，每个b值条件下在81个梯度方向下扫描十次，并取十次扫描数据的均值，并用该数据计算所得的成像标量(如MSD等)，作为后续实验数据所对比的金标准.而用于实验的测试数据则是在同扫描条件下，对于单个b值分别取K个梯度方向，K={15,20,25,30,40,45, 50,55,60)，按照扫描参数b值的高低分类，实验数据被分为b=11000,3000(、b=)3000,50001这两组.
5.1实验参数设置
本实验中有关RBF基函数的中心点的选取与原方法保持一致：高斯核函数的中心点分别在/>=2000s/mm2及b =4000s/mm2的条件下选取均匀分布在单位球体中的81个方向，因此，算上原点处的原始信号，用于插值信号的RBF个数共计N=163.该中心点的选取方法在原方法中已被证实：其在体模成像及实际人脑成像的应用中均呈现了较好的鲁棒性.此外，本文所有实验中非原点处的中心点N，对应的高斯核函数的张量D”的特征值选取为：巾=0.0015mm2/s，s= 6=0.0008mm2/s，同样与原方法保持一致.该参数的选取同样也被证实了其被应用于体模，及实际脑部成像中的可行性.
关于算法l：a的初始值设为10"，而梯度下降法中用于更新a的单次下降步长d=2x10-'°.对于结合系数12正则化的实验方法，设正则化参数A=0.00025，单次迭代次数为1000次.对于结合ADMM算法的系数Z，正则化参数求解方法，设各约束项的惩罚因子为P\=p2=P3=1X10"，
用于判
378小型微型计算机系统2021年
断是否终止迭代的极小值设为6二巧=1x IO"，单次迭代次数为300次.
5.2相关评估指标一筹.而在高b值处由于信号整体信噪比降低乙正则化方法使得整体EA的平均值小于45。，但是整体误差相较低b值时有所降低.
5.2.1归一化均方差(Normalized Mean-Squared Error,
NMSE)
设位于体素位置兀处的重建信号为乞，则位于该处的金标准信号为表示所有的体素集，体素的总个数为1121.则用于评估重建信号精度的归一化均方差指标为：
(27)
根据式(27)可知.NMSE越低，意味着重建信号越接近
金标准信号，即信号的重建精度越高.除了信号,NMSE同样
可被应用到相关成像标量的精度评估中：设体素位置上处所
估算的RTOP为几，对应的金标准则为P“址，那么用于评估
RTOP标量精度的NMSE为：
(28)
同样，对于RTAP.MSD.MFD等标量的NMSE计算方式
与式(28)—致，评估方法也一致：即更低的NMSE意味着更
高的重建精度.(e”2约束方法，金标准数据
⑹RBF方法，K=60
(d)人约束方法，K=60 (fH约束方法，K=60
5.2.2估算角度(Estimated angle,EA)
每个体素的纤维主方向主要是由该处的ODF的峰值所对应的方向所决定的.纤维束追踪技术往往根据OD
F的峰值来还原大脑中神经纤维束的连接结构，因此ODF的精确重建对于大脑白质中神经连接性的相关研究至关重要.本实验中所用体模的纤维交叉角度为45。，根据双纤维交叉处的每个体素对应的ODF，计算平均EA的公式为：
图2ODF可视化
Fig.2Visualization of ODF
42
40*--------------------------------
152025304045505560
梯度方向
(a)b二{1000,3000)
40*--------------------------------
152025304045505560
梯度方向
(b)6={3000,5000}
£4=7fb^o larccos(<,,^2)'(29)
其中O d表有双峰值ODF的体素集合，且表示该体素集的体素总个数.d*」,d*.2则为位于x处的体素，其ODF双峰值
所对应的两个单位矢量.显然当EA越接近实际值45。时, ODF的重建精度越高.
5.3实验结果分析
5.3.1ODF与估算角度
三种方法所估算的ODF可视化结果见图2，图2左侧一列是根据金标准数据计算所得ODF，图2右侧一列是根据在K=60,b={1000,30001条件下(常用的临床扫描方式)采样数据所估计的ODF.
可见三种方法均能根据金标准数据成功地检测出体素中的交叉纤维.然而三种方法对ODF的重建效果均随着采样数据的减少而逐渐变差：不难看出在交叉区域，三种方法均有未检测到的交叉纤维.图2(d)，图2(f)中未显示左上角和右下角区域是因为在这些各向同性的区域处所估算的ODF出现了负值.
估算角度结果见图3，可见无论在低b值还是高b值条件下，三种方法均在K=15处取得了最大值，这是由于采样数据过稀疏所导致的.当b={1000,30001时，由原始方法，厶，正则化方法所求EA与实际值的平均角度误差分别是：1-29。,0.46。与1.05。.在高b值处，三种方法所得EA与实际值的平均角度误差分别是：0,43°,0.39°与1.14°.因此结合两种结果来看，人正则化方法在估算纤维交叉角度问题上更胜图3(a)b=|1000,3000|(b)ft=13000,5000(时的估算角度Fig.3Estimated Angle on b-value shells with
(a)/?=|1000,3000|(b)/?=|3OOO,5OOO|
5.3.2各标量的NMSE
重建信号对应的NMSE见图4，在b=(1000,3000|时，「2正则化方法对应的NMSE相较原方法分别下降了76.4%和64.9%，而在〃二13000,5000(时，二者相较原方法NMSE分别下降了65.8%和68.1%，可见改进方法大大提升了信号的重建精度.
0.0045
0.0040
0.0035
«0.0030
50.0025
20.0020
0.0015
0.0010
b©°o®°
.原始RBF,12+约束
自适应衰减T1+约束
自适应衰减-12+约束
0.0005
152025304045505560
梯度方向
(a)ZH1000,3000}
0.007
0.006
□j0.005
里0.004
Z0.003
0.002
0.001
152025304045505560
梯度方向
(b)庆{3000,5000}
©q止自适应衰减-11+约束
-A-自适应衰减T2+约束
•3原始RBF,12+缴束
正则化其实是破坏最优化图4重建信号的NMSE
Fig.4NMSE of Signal on b-value shells b=il000,3000|条件下各标量评估结果见图5,
可见两
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