三维大地电磁正演及反演方法研究现状
正则化其实是破坏最优化  摘要：近年来，随着计算机技术和三维电磁模拟技术的发展。基于积分方程法(IEM)、有限差分法(FDM)和有限单元法(FEM)的三大方法的三维大地电磁正演模拟技术得到了极大的发展。基于最优化理论的三维大地电磁反演研究也得到了快速发展。
关键词：电磁正演模拟；数值模拟技术；大地电磁反演
 
        1 三维大地电磁正演方法研究现状
        积分方程法(IEM)、有限差分法(FDM)和有限单元法(FEM)是数值模拟技术中的三大方法。近年来，基于上述方法的三维大地电磁正演模拟技术得到了极大的发展。
        在积分方程法中，麦克斯韦方程组被转换为 Fredholm 积分方程，并以此实现对电磁场散射方程的离散，从而得到与待求电场有关的复线性方程组。该线性方程组的系数矩阵为致密的复数矩阵。在简单模型的模拟计算中，该方法仅对异常区进行离散，由此得到规模较小的致密系数矩阵，这有利于线性方程组的快速求解。基于积分方程法在内存消耗、计算速度等方面的优势，该方法在电磁模拟的研究中受到了研究人员的重视。然而必须指出的是，在复杂地球物
理模型中，必须考虑全区域离散化，此时基于积分方程法得到的系数矩阵表现为大规模的致密矩阵，不利于方程组求解。因此，考虑到对复杂模型模拟计算的适应性问题，认为基于积分方程法的三维 MT 正演技术在反演中的应用具有一定的局限性。
        有限差分法发展最为成熟数值计算方法之一，该方法基于差分原理，以节点的差商近似为相应的偏导数，从而得到节点上关于物理场的相关线性方程组。在电磁场模拟计算中，该线性方程组的系数矩阵为大型稀疏复数矩阵，基于合适的存储和求解方案，可以较快速的对其进行求解。早在上世纪 60 年代，有限差分法就被用于地球物理场的模拟计算。进入上世纪 90 年代以后，随着交错网格有限差分理论的提出，该方法在地球电磁场模拟研究领域中得到了更为广泛的关注和重视。交错网格有限差分法在处理内部电磁差异引起的电场与磁场不连续现象等方面具有相当优势，且易于适合编程实现，因而在三维大地电磁场的正演模拟中得到了广泛应用。并且，由于在计算效率方面的优势，该方法已被广泛应用到电磁法反演研究中。然而必须指出，有限差分法要求利用规则网格将模型剖分为规则的几何形体，这制约了在复杂地形条件下，该方法在大地电磁法正、反演研究中的应用。
        有限单元法(FEM)是上世纪五十年代在弹性力学领域中发展起来的一种数值模拟方法。在有限单元法中，利用变分原理或加权余量法将相关边值问题转化为泛函的极值问题，并利
用插值形函数将网格剖分单元的泛函离散化，在此基础上对研究区域所有单元的泛函求和，并根据泛函的极值条件得到相应的线性方程组。在电磁场问题中，该线性方程组为大型稀疏复数方程组。有限元方法可以采用不规则网格剖分，其计算精度较高，适合于地形起伏和复杂介质条件下的电磁场模拟计算。应用于三维电磁场模拟时，传统的(节点)有限单元法存在一定局限性。首先，在三维条件下，基于节点有限元方法的 MT 正演求解过程中无法避免电磁场模拟的“伪解”问题。其次，有限元方法形成的线性方程组系数矩阵条件数较大，增加了迭代法求解的难度。另外，该系数矩阵中非零元数量较多，同样网格剖分的条件下其非零元素的数量远多于有限差分法，由此增加了计算的内存消耗。
        矢量有限单元法(又称为棱边有限单元法，Edge-based FEM)是上世纪 90 年代后逐步兴起的一种新的有限元方法。其基本思想于上世纪 50 年代提出，Bossavit(1988)的研究开启了电磁场矢量有限元模拟计算的序幕。该方法避免了三维电磁模拟中“伪解”的出现，且易于加载边界条件，其系数矩阵中非零元数量也相对较少，因而在电磁模拟领域得到广泛应用(Jin J M 2014)。近年来，该方法在电磁法测深研究领域中取得较大发展，Yoshimura(2002)基于矢量有限元法研究了频率域电磁测深的三维响应。Mitsuhata 等(2004)基于电场矢量势和磁场标量势，开展了三维大地电磁矢量有限元正演研究。Nam M J 与 Kim H J 等对起伏地形条件
下的三维大地电磁正演和地形校正方法进行了研究。
        综上所述，与有限差分法比较，矢量有限元方法在网格适应性、计算精度等方面具有相当优势；与传统的节点有限元方法比较，矢量元方法在避免“伪解”问题、内存消耗和计算速度方面具有一定优势。可以考虑将其应用到大地电磁静态位移的快速估算与数据反演中。
        2 三维大地电磁反演方法研究现状
        近年来，随着计算机技术和三维电磁模拟技术的发展，基于最优化理论的三维大地电磁反演研究得到了快速发展。三维大地电磁反演的方法理论大多源于早期一、二维经典反演算法，包括基于最平滑模型的OCCAM方法和非线性共轭梯度法(NLCG法)。另外，采用了降维处理技术的快速松弛反演由于其在计算速度方面的优势也得了较多关注。总体上，随着计算技术的进步和并行计算技术的引入，近年来的三维反演方法的发展趋向于采用以OCCAM和NLCG方法为代表的所谓“完全意义”上的三维最优化方法。
        OCCAM反演以其反演计算的稳定性得到了广泛的关注。不同于经典最小二乘方法，OCCAM方法需要在每次反演迭代中对目标函数的拉格朗日乘子进行搜索试算，并且需要计算和存储全部的雅可比矩阵。因此该方法的优势主要体现在反演的稳定性方面，其局限性则主要表现在计算效率和内存消耗方面。基于上述原因，认为在当前的计算条件下，该方法在
大数据集的三维MT反演计算中存在一定缺陷。
        NLCG反演是介于最速下降法和牛顿法之间的方法。该方法利用了梯度的共轭方向以提升目标函数的收敛效率，同时避免了二阶海赛矩阵的求取，并且在反演中采用正演的稀疏矩阵来求取梯度向量，避免存储完整的灵敏度矩阵，从而减小了计算的内存消耗。另外，该方法在反演迭代过程中可以使用前一次的迭代信息自动调整正则化因子，因而具有相当好的反演稳定性。基于上述特点，NLCG方法成为MT三维反演中的研究热点。研究了基于NLCG方法的拟三维反演。目前针对三维勘探的海量数据处理，三维NLCG反演的改进主要集中在线搜索过程的优化方面，以期进一步提升反演速度。
参考文献
[1]顾观文,吴文鹂,李桐林.大地电磁场三维地形影响的矢量有限元数值模拟[J].吉林大学学报:地球科学版, 2014，44(5):1678-1686.
[2]韩波,胡祥云,何展翔,等.大地电磁反演方法的数学分类[J].石油地球物理勘探, 2012，47(1):177-187.
 

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