负对数似然函数和交叉熵损失函数
正则化是最小化策略的实现1. 引言
1.1 负对数似然函数的定义
    负对数似然函数是在统计学和机器学习中常用的一种损失函数，它通常用于衡量模型预测结果与真实标签之间的偏差程度。负对数似然函数的定义如下：假设我们有一个分类问题，其中样本的标签空间为{1,2,...,K}，模型对样本的预测结果为一个概率分布，即模型预测样本属于每个类别的概率。对于某个样本，其真实标签为k \in {1,2,...,K}，则负对数似然函数可以表示为：
   
    \text{L}(\theta) = - \log p(y=k|x;\theta)
   
    \theta表示模型的参数，p(y=k|x;\theta)表示模型预测样本为类别k的概率。负对数似然函数的作用是衡量模型关于真实标签的预测概率的负对数对数，当模型对真实标签的预测概率越大
时，负对数似然函数的值越小，表示模型的预测结果越准确。在训练模型时，我们通常会最大化负对数似然函数，即最小化负对数似然函数的负值，以使模型的预测结果更接近真实标签。在实际应用中，负对数似然函数常用于训练逻辑回归、softmax回归等分类模型。
1.2 交叉熵损失函数的定义
    交叉熵损失函数，也称为交叉熵误差，是一种常用的损失函数，用来衡量模型输出与真实标签之间的差异。在分类问题中，交叉熵损失函数通常用于衡量模型输出的概率分布与真实标签的分布之间的距离。
    假设我们有一个分类问题，输出为一个概率分布向量 \hat{y}，真实标签为一个概率分布向量 y，则交叉熵损失函数的定义如下：
   
    L(y, \hat{y}) = -\sum_{i} y_i \log(\hat{y}_i)
   
    y_i为真实标签向量的第 i 个元素，\hat{y}_i为模型输出向量的第 i 个元素，i 表示类别的索引。交叉熵损失函数的含义是，对于每个类别，将真实标签的概率乘以模型预测的概率的对数，然后对所有类别求和并取负号。
    交叉熵损失函数的优点是可以更好地反映模型输出和真实标签之间的差异，尤其在分类问题中效果显著。交叉熵损失函数在训练深度学习模型时易于优化，能够加快收敛速度并提高模型的准确性。不过，交叉熵损失函数也存在一些缺点，比如对于错误分类的惩罚较轻，容易受到极端值的影响等。
    交叉熵损失函数是深度学习中非常重要的一种损失函数，被广泛应用于分类和softmax回归等任务中。在实际应用中，我们可以根据具体问题的特点选择最适合的损失函数来训练模型，以达到更好的效果。
2. 正文
2.1 负对数似然函数的推导
    负对数似然函数的推导是深度学习和机器学习中非常重要的概念之一。它通常用于衡量模
型在给定数据下的预测精度。在深度学习中，我们经常使用负对数似然函数作为损失函数，用来最小化模型预测与真实标签之间的差异。
    我们来看一下负对数似然函数的定义。给定一个样本(x, y)，其中x是输入特征，y是标签。模型的预测结果由概率分布p(y|x)表示，负对数似然函数定义为：
    NLL(y, p(y|x)) = - \log p(y|x)
    这个函数反映了模型在样本(x, y)上的预测与真实标签之间的信息差。我们的目标是最小化负对数似然函数，使得模型的预测接近真实标签。
    接下来，我们将推导负对数似然函数。假设样本的标签y服从一个分布，我们可以使用极大似然估计来估计模型的参数。负对数似然函数的推导基于最大似然估计的原理，通过最大化观测数据的概率来确定模型参数。
    通过极大似然估计，我们可以得到关于参数的估计值，最终可以将其代入负对数似然函数中，以得到模型在训练集上的损失。通过最小化负对数似然函数，我们可以优化模型的参数，提高模型的预测性能。
2.2 交叉熵损失函数与负对数似然函数的关系
    在深度学习中，交叉熵损失函数和负对数似然函数是两个常用的损失函数。它们之间有着密切的关系，通常可以互相替代使用。

版权声明：本站内容均来自互联网，仅供演示用，请勿用于商业和其他非法用途。如果侵犯了您的权益请与我们联系QQ:729038198，我们将在24小时内删除。