ｄｏｉ：
１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００３－３１０６．２０２３．０４．０１６
引用格式：韩红伟，陈聆，苗加庆．一种低秩和图正则化的协同稀疏高光谱解混方法［Ｊ］．无线电工程，２０２３，５３（４）：８６８－８７６．
［ＨＡＮＨｏｎｇｗｅｉ，ＣＨＥＮＬｉｎｇ，ＭＩＡＯＪｉａｑｉｎｇ．ＡＬｏｗ ｒａｎｋａｎｄＧｒａｐｈＲｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎＣｏｌｌａｂｏｒａｔｉｖｅＳｐａｒｓｅＨｙｐｅｒｓｐｅｃｔｒａｌＵｎｍｉｘｉｎｇ
Ｍｅｔｈｏｄ［Ｊ］．ＲａｄｉｏＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，２０２３，５３（４）：８６８－８７６．］
一种低秩和图正则化的协同稀疏高光谱解混方法
韩红伟１
，陈　聆２
，苗加庆
３
（１．成都理工大学工程技术学院基础教学部，
四川乐山６１４０００；２．成都理工大学数学地质四川省重点实验室，四川成都６１００５９；
３．西南民族大学数学学院，四川成都６１００４１）
摘　要：针对经典协同稀疏解混方法中稀疏性表征不足以及丰度矩阵过平滑等问题，提出一种低秩和图正则化的协同
稀疏高光谱解混方法。引入加权因子，进一步促进丰度矩阵的稀疏性；引入了图正则化项，获取图像的空间信息，以促进图像的平滑性；在模型中增加低秩项，进而挖掘高光谱数据的细节结构，进一步提高解混的精度。利用２个模拟和１个真实高光谱数据进行实验，结果表明，提出方法的解混精度与经典解混方法相比得到显著提升。关键词：
高光谱图像；稀疏；低秩；光谱解混；图正则化中图分类号：ＴＰ３９１．４１文献标志码：Ａ开放科学（资源服务）标识码（ＯＳＩＤ）：文章编号：１００３－３１０６（２０２３）０４－０８６８－０９
ＡＬｏｗ ｒａｎｋａｎｄＧｒａｐｈＲｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎＣｏｌｌａｂｏｒａｔｉｖｅ
ＳｐａｒｓｅＨｙｐｅｒｓｐｅｃｔｒａｌＵｎｍｉｘｉｎｇＭｅｔｈｏｄ
ＨＡＮＨｏｎｇｗｅｉ１
，ＣＨＥＮＬｉｎｇ２
，ＭＩＡＯＪｉａｑｉｎｇ
正则化是最小化策略的实现３
（１．
ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＢａｓｉｃＥｄｕｃａｔｉｏｎ，
ＴｈｅＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ＆ＴｅｃｈｎｉｃａｌＣｏｌｌｅｇｅｏｆＣｈｅｎｇｄｕＵｎｉｖｅ
ｒｓｉｔｙｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，
Ｌｅｓｈａｎ６１４０００，Ｃｈｉｎａ
；
２．ＧｅｏｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓＫｅｙＬａｂｏｒａｔｏｒｙｏｆＳｉｃｈｕａｎＰｒｏｖｉｎｃｅ，ＣｈｅｎｇｄｕＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｃｈｅｎｇｄｕ６１００５９，Ｃｈｉｎａ；
３．ＳｃｈｏｏｌｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，ＳｏｕｔｈｗｅｓｔＭｉｎｚｕＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｃｈｅｎｇｄｕ６１００４１，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａｌｏｗ ｒａｎｋａｎｄｇｒａｐｈｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎｃｏｌｌａｂｏｒａｔｉｖｅｓｐａｒｓｅｈｙｐｅｒｓｐｅｃｔｒａｌｕｎｍｉｘｉｎｇｍｅｔｈｏｄｉｓｐｒｏｐｏｓｅｄｔｏａｄｄｒｅｓｓｔｈｅｌａｃｋｏｆｔｈｅｓｐａｒｓｉｔｙｏｆａｂｕｎｄａｎｃｅｉｎｃｌａｓｓｉｃａｌｃｏｌｌａｂｏｒａｔｉｖｅｓｐａｒｓｅｕｎｍｉｘｉｎｇｍｅｔｈｏｄｓａｎｄｔｈｅｅｘｃｅｓｓｉｖｅｓｍｏｏｔｈｎｅｓｓｏｆａｂｕｎｄａｎｃｅｍａｔｒｉｘ．
Ｆｉｒｓｔｌｙ，
ａｗｅｉｇｈｔｅｄｆａｃｔｏｒｉｓｕｔｉｌｉｚｅｄｔｏｆｕｒｔｈｅｒｐｒｏｍｏｔｅｔｈｅｓｐａｒｓｉｔｙｏｆａｂｕｎｄａｎｃｅｍａｔｒｉｘ．Ｓｅｃｏｎｄｌｙ
，ａｇｒａｐｈｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎｔｅｒｍｉｓ
ｅｍｐｌｏｙｅｄｔｏｃａｐｔｕｒｅｔｈｅｓｐａｔｉａｌｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｉｍａｇｅｔｏｐｒｏｍｏｔｅｔｈｅｓｍｏｏｔｈｎｅｓｓｏｆｔｈｅｉｍａｇｅ．Ｆｉｎａｌｌｙ，ａｌｏｗ ｒａｎｋｔｅｒｍｉｓａｄｄｅｄｔｏ
ｔｈｅｍｏｄｅｌｔｏｅｘｐｌｏｒｅｔｈｅｄｅｔａｉｌｅｄｓｔｒｕｃｔｕｒｅｏｆｈｙｐｅｒｓｐｅｃｔｒａｌｄａｔａａｎｄｆｕｒｔｈｅｒｉｍｐｒｏｖｅｔｈｅａｃｃｕｒａｃｙｏｆｕｎｍｉｘｉｎｇ．Ｔｗｏｓｉｍｕｌａｔｅｄｈｙｐｅｒｓｐｅｃｔｒａｌｄａｔａａｎｄｏｎｅｒｅａｌｈｙｐｅｒｓｐｅｃｔｒａｌｄａｔａａｒｅｕｓｅｄｆｏｒｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｓ，ａｎｄｔｈｅｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌｒｅｓｕｌｔｓｓｈｏｗｔｈａｔｔｈｅｐｒｏｐｏｓｅｄ
ａｌｇｏｒｉｔｈｍｉｓｍｏｒｅａｃｃｕｒａｔｅｔｈａｎｏｔｈｅｒｃｌａｓｓｉｃａｌｍｅｔｈｏｄｓ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ
：
ｈｙｐｅｒｓｐｅｃｔｒａｌｉｍａｇｉｎｇ；ｓｐａｒｓｅ；ｌｏｗ ｒａｎｋ；ｓｐｅｃｔｒａｌｕｎｍｉｘｉｎｇ；ｇｒａｐｈｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ
收稿日期：２０２２－１０－１２基金项目：四川省科技厅－中央引导地方项目（２０２１ＺＹＤ００２１）；数学地质四川省重点实验室开放基金项目（ｓｃｓｘｄｚ２０２１ｚｄ０１，ｓｃｓｘｄｚ２０１９ｙｂ０１）
ＦｏｕｎｄａｔｉｏｎＩｔｅｍ：ＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＳｉｃｈｕａｎＰｒｏｖｉｎｃｅ ＬｏｃａｌＰｒｏｊｅｃｔｓＧｕｉｄｅｄｂｙｔｈｅＣｅｎｔｒａｌＧｏｖｅｒｎｍｅｎｔ（２０２１ＺＹＤ００２１）；Ｇｅｏｍａｔｈ
ｅｍａｔｉｃｓＫｅｙＬａｂｏｒａｔｏｒｙｏｆＳｉｃｈｕａｎＰｒｏｖｉｎｃｅＯｐｅｎＦｏｕｎｄａｔｉｏｎ（ｓｃｓｘｄｚ２０２１ｚｄ０１，ｓｃｓｘｄｚ２０１９ｙｂ０１）
０　
引言
高光谱图像在军事目标探测、智慧农业和环境监测等领域得到了广泛的应用，这是因为它具有“图谱合一”的特点［１
］。但是，由于传感器空间分辨率的限制和地物复杂多样性的影响［２
］，高光谱图像
中存在许多像元包含一种以上的物质，这些像元被
称为混合像元［３
］。混合像元的存在限制了它的应用范围。光谱解混是将混合像元分解为一组纯净光谱（端元）并估计它们在混合像元中对应的占比（丰度），是高光谱数据分析领域不可或缺的一个步骤［４－５
］。光谱混合模型的理论是解决混合像元分解
测控遥感与导航定位
问题的关键，也是光谱解混算法设计的基础［６］，根据混合像元形成的机理可以分为线性混合模型（ＬｉｎｅａｒＭｉｘｅｄＭｏｄｅｌｓ，ＬＭＭ）和非线性混合模型（Ｎｏｎ ｌｉｎｅａｒＭｉｘｅｄＭｏｄｅｌｓ，ＮＬＭＭ）２类［７］。与
ＮＬＭＭ相比，ＬＭＭ物理意义明确、易于实现、应用灵活［７－８］。因此，本文研究ＬＭＭ。
基于线性光谱混合模型的早期方法主要包括几何的方法和统计学的方法［９］。这些方法简单有效，且只需要较少的先验知识，但是需要假设高光谱图像中包含纯净像元［１０］。然而，这个假设在真实的高光谱场景中通常是不成立的［９］。近年来，稀疏解混得到了研究者的广泛关注，这是因为它不必假设高光谱场景中纯净像元的存在，也不需要估计端元的数目。Ｂｉｏｕｃａｓ Ｄｉａｓ等［１１］提出了基于变量分裂增强拉格朗日的稀疏解混（ＳＵｎＳＡＬ）算法，该算法简单、速度快。为了进一步增强丰度矩阵的稀疏性，
Ｉｏｒｄａｃｈｅ等［１２］提出了变量分裂增强拉格朗日协同稀疏回归（ＣＬＳＵｎＳＡＬ）。然而，不论是ＳＵｎＳＡＬ算法还
是ＣＬＳＵｎＳＡＬ算法，仅仅考虑了高光谱图像的光谱信息，而没有考虑图像丰富的空间信息。Ｉｏｒｄａｃｈｅ等［１３］在ＳＵｎＳＡＬ方法的基础上，引入了总变差（ＴｏｔａｌＶａｒｉａｔｉｏｎ，ＴＶ）的正则化项，提出了ＳＵｎＳＡＬ
ＴＶ算法，由于ＴＶ得到了图像的空间信息，因此该算法获得了比ＳＵｎＳＡＬ算法更准确的结果。然而，
该算法得到的丰度图的局部区域有过平滑的现象。此后的研究者主要从增强丰度矩阵的稀疏性和增加空间先验２方面设计解混算法。张绍泉等［１４］在研究ＳＵｎＳＡＬ ＴＶ算法的基础上，提出了一种基
于光谱加权协同稀疏和全变差正则化的高光谱解混方法。
Ｗａｎｇ等［１５］提出了双加权稀疏回归和总变差的高光谱解混算法。这些方法同时考虑了稀疏和空间先验
信息，因此得到了比经典稀疏解混更好的结果。近年来，低秩表示（ＬｏｗＲａｎｋＲｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ，
ＬＲＲ）［１６－１７］很好地利用了数据的细节结构，被广泛应用于稀疏解混。在高光谱图像的局部区域中，由
于像元光谱特征之间的相关性，对应的丰度矩阵具有局部低秩性质［９］。Ｑｕ等［１８］提出了基于稀疏和低秩表示的双线性混合模型，然而这种方法需要提取纯净端元。Ｇｉａｍｐｏｕｒａｓ等［１９］提出了交替方向稀疏低秩解混算法（ＡＤＳｐＬＲＵ）。尽管基于低秩的方法获得了更加精确的结果，但是传统的基于低秩的方法仅仅考虑了光谱信息。
Ａｍｍａｎｏｕｉｌ等［２０］通过引入图拉普拉斯正则化项，提出了一种图拉普拉斯正则化的高光谱数据解混，提出的图框架促进了估计丰度图的平滑性。Ｗａｎｇ等［２１］提出了基于双重加权稀疏回归和图正则化的高光谱解混，实验表明，图正则化和加权稀疏都提高了解混性能。为了进一步改进解混算法，Ｚｈａｎｇ等［２２］也在解混模型中加入了图正则化项，得到了更好的结果。
综上所述，受到协同稀疏和图正则化方法在高光谱图像解混中的优势启发，本文提出一种低秩和图正则化的协同稀疏高光谱解混方法。本文方法主要从下面３个方面进行设计：首先，引入加权因子，进一步促进丰度矩阵的稀疏性；其次，引入图正则化项，获取图像的空间信息，以促进图像的平滑性；最后，在模型中增加低秩项，进而获取高光谱数据的细节结构，进一步提高解混的精度。
本文提出的解混方法不同于以前研究者提出的方法，最大的创新在于利用加权Ｓｃｈａｔｔｅｎｐ范数［２３］来促使局部图像块保持低秩结构，同时使用图正则化项来提取空间信息，与其他稀疏解混算法的对比实验表明，本文算法能够更好地保留图像的细节信息，提高了解混的精度。
１　相关工作
主要介绍３方面的工作：协同稀疏、加权Ｓｃｈａｔｔｅｎｐ范数最小化和图正则化矩阵。１．１　协同稀疏
ＬＭＭ由于简单、物理意义明确，在光谱解混中得到广泛地应用。建立在ＬＭＭ基础上的协同稀疏
回归，由于其良好的解混性能，近年来得到了广大科研工作者的深入研究。
如果用Ｙ∈ＲＬ×ｎ表示观测高光谱数据集，其中ｎ为像元个数，Ｌ为波段数，丰度矩阵表示为Ｘ∈Ｒｍ×ｎ。同时，用Ａ∈ＲＬ×ｍ表示包含ｍ个光谱端元的过饱和光谱库。则这个模型可以描述为
ｍｉｎ
Ｘ
‖ＡＸ－Ｙ‖２
Ｆ
＋λ‖Ｘ‖
２，１　ｓ．ｔ．Ｘ≥０
，（１）式中：‖Ｘ‖２，１＝∑ｍｋ＝１‖ｘｋ‖２（ｘｋ表示Ｘ的第ｋ行）是
２，１
混合范数。由于‖Ｘ‖２，１范数同时施加了稀疏性在所有像元上［１２］，因此促进了丰度矩阵的稀疏性。
１．２　加权Ｓｃｈａｔｔｅｎｐ范数最小化
加权Ｓｃｈａｔｔｅｎｐ范数最小化（ＷｅｉｇｈｔｅｄＳｃｈａｔｔｅｎ
ｐ ＮｏｒｍＭｉｎｉｍｉｚａｔｉｏｎ，ＷＳＮＭ）首次在文献［２３］中被提出，它被证明是比核范数最小化更接近原始的低
秩假设。
矩阵Ｘ∈Ｒｍ×ｎ的加权Ｓｃｈａｔｔｅｎｐ范数定义为：
测控遥感与导航定位
‖Ｘ‖ｗ，Ｓ
ｐ
＝
∑
ｍｉｎｎ，
ｍ{}ｉ＝１
ωｉσ
ｐｉ
()
１ｐ
，（２）
式中：ｗ＝ω１
，ω２
，…，ωｍｉｎｎ，ｍ{}
[]是一个非负向量；σｉ
是Ｘ的第ｉ个奇异值。给定矩阵Ｙ，ＷＳＮＭ问题描述如下：Ｘ＾＝ａｒｇｍｉｎＸ
‖Ｘ－Ｙ‖２
Ｆ
＋λ‖Ｘ‖ｐｗ，Ｓ
ｐ
，（３）式中：λ是一个权衡参数，它能够等价地转换为独立非凸 ｐ
范数子问题，而且全局最优值能够由文献［２４］中的广义软阈值（ＧＳＴ）算法求出。１．３　图正则化矩阵
考虑到像元相似关系，即丰度向量数据集保持了光谱特征数据集的流形结构，并将该信息通过图拉普拉斯正则化算法引入到解混问题中。给定ｎ个像元的高光谱数据Ｙ∈ＲＬ×ｎ
，
利用热核加权，可以得到包含高光谱数据中潜在结构的大小为ｎ×ｎ的权重矩阵Ｗ。接下来的目标是将Ｙ的结构转移到丰度空间。由于期望任意２点ｙｉ和ｙｊ
对应的丰度保持相同的结构，采用如下图拉普拉斯正则化项：
ｍｉｎＸ
Ｒ２（Ｘ）＝１
２∑ｎｉ＝１∑ｎ
ｊ＝１
‖ｘｉ－ｘｊ‖
２
Ｗｉｊ
＝  　∑ｎｉ＝１ｘＴｉ
ｘｉＦｉｉ
－∑ｎｉ＝１∑ｎ
ｊ＝１
ｘＴｉ
ｘｊＷｉｊ
＝
ｔｒ（ＸＦＸＴ）－ｔｒ（ＸＷＸＴ
）＝
ｔｒ（ＸＬＸＴ
），ｓ．ｔ．Ｘ≥０，（４）式中：ｔｒ（·）表示矩阵的迹，Ｆ是一个对角矩阵，并且它的元素是Ｗ列（或行，由于Ｗ是对称的）上元素的和，
Ｆｉｉ＝∑ｊＷｉｊ
。Ｌ＝Ｆ－Ｗ是图拉普拉斯矩阵。通过最小化，期望得出，如果高光谱数据中的２个数据
点ｙｉ和ｙｊ的空间距离越近，那么丰度ｘｉ和ｘｊ的空间距离也应该更接近。
协同稀疏解混虽然有效刻画了丰度系数的行稀疏特性，但是该解混算法仍然存在不足，一是在边界上容易出现错误识别的现象，二是没有考虑高光谱图像丰富的空间信息，进而影响了解混精度。通过研究发
现，出现错误识别现象的根本原因是稀疏约束不足和细节信息的缺失。针对这个问题，本文采用了光谱加权，进一步促进丰度矩阵的稀疏性，同时采用加权Ｓｃｈａｔｔｅｎｐ范数促使局部图像块保持低秩结构，获取高光谱图像的细节信息，提高解混的精度。另一方面，结合图像的空间信息，成为本文提出新的稀疏解混算法的关键。图拉普拉斯正则化能够克服ＴＶ正则化过平滑的缺点，因此，本文采用图拉普拉斯正则化矩阵促进估计丰度图的平滑性。结合以上分析，下面详细介绍本文提出的解混方法。２　
本文的模型及其算法
通过上述介绍，像元所对应的丰度具有稀疏性，为了进一步增强丰度矩阵的稀疏性，本文在协同稀疏模型的基础上，对丰度矩阵采用加权策略；同时引入图正则化项，挖掘高光谱图像像元之间丰富的空间信息；为了获取高光谱图像的细节信息，在模型中增加低秩项。值得注意的是，本文为了更好地利用低秩性，同时对一个滑动窗（包含Ｔ＝ｔ×ｔ个像元）中
像元的丰度矩阵施加稀疏性和低秩性，并嵌入图正则化项，具体模型如下：ｍｉｎＸ
１２
‖ＡＸ－Ｙ‖２
Ｆ
＋λ‖Ｘ‖ｂ，２，１
＋β２ｔｒ（ＸＬＸＴ
）＋
γ‖Ｘ‖ｐｗ，Ｓ
ｐ
，ｓ．ｔ．Ｘ≥０，（５）式中：
Ｙ∈ＲＬ×Ｔ是包含像元的高光谱数据，Ａ∈Ｒ
Ｌ×ｍ
是一个过饱和的光谱库，Ｘ∈Ｒｍ×Ｔ
是丰度矩
阵，
‖Ｘ‖ｂ，２，１
＝∑ｍｉ＝１
ωｉ‖ｘｉ‖２
（ｘｉ
是Ｘ的第ｉ行，ｂ＝（ｂ１，ｂ２，…，ｂｍ
）是一个非负的加权向量）为加权的 ２，１
范数。模型（５）是非凸的，求解困难。交替方向乘子
法（ＡＤＭＭ）［１１－１３
］能够把一个复杂的问题转化为一系列简单问题进行求解，可以有效求解模型（５），下
面介绍求解算法。为了简化模型求解，将非负性嵌入模型（５）后，得到下面的等价模型：
ｍｉｎＸ
１２‖ＡＸ－Ｙ‖２Ｆ
＋λ‖Ｘ‖ｂ，２，１
＋β
２ｔｒ（ＸＬＸＴ
）＋
γ‖Ｘ‖ｐｗ，Ｓ
ｐ
＋ｌＲ＋
（Ｘ），（６）式中：ｌＲ＋
（Ｘ）为指标函数，如果Ｘ是非负的，
则ｌＲ＋（Ｘ）为零，否则为＋∞。引入５个变量（Ｖ１
，
Ｖ２，
Ｖ３，Ｖ４和Ｖ５
）则有：ｍｉｎＸＱ
∈ＲＱ×Ｋ　１２‖ＡＸ－Ｙ‖２Ｆ
＋λ‖Ｘ‖ｂ，２，１
＋β２
ｔｒ（ＸＬＸＴ
）＋γ‖Ｘ‖ｐｗ，Ｓ
ｐ
＋ｌＲ＋
（Ｘ），ｓ．ｔ．　Ｖ１＝ＡＸ，Ｖ２＝Ｘ，Ｖ３＝Ｘ，Ｖ４＝Ｘ，Ｖ５
＝Ｘ。（７）如果设：ｇ（Ｖ）＝１２‖Ｖ１
－Ｙ‖２Ｆ
＋λ‖Ｖ２‖ｂ，２，１＋β
２
ｔｒ（Ｖ３ＬＶ３
Ｔ
）＋γ‖Ｖ４
‖ｐｗ，Ｓ
ｐ
＋ｌＲ＋（Ｖ５
），（８）式中：Ｖ＝［Ｖ１，Ｖ２，Ｖ３，Ｖ４，Ｖ５
］Ｔ
，且令：Ｇ＝ＡＩＩＩＩ              ，　Ｂ＝－Ｉ０００００－Ｉ０００００－Ｉ０００００－Ｉ０００００－Ｉ
，（９）测控遥感与导航定位
则得到下面的紧凑形式：
ｍｉｎＸ，
Ｖ
ｇ（Ｖ）　ｓ．ｔ．　ＧＸ＋ＢＶ＝０
。（１０）
引入增广拉格朗日乘数Ｄ＝［ＤＴ１
，
ＤＴ２
，ＤＴ３
，ＤＴ４
，ＤＴ５
］Ｔ
，将优化问题（６）转化为求解以下拉格朗日函数最小化问题： （Ｘ，Ｖ，Ｄ
）＝ｇ（Ｖ）＋
μ２
‖ＧＸ＋ＢＶ－Ｄ‖２
Ｆ，（１１）式中：μ＞０为惩罚参数。则ＡＤＭＭ的计算为：Ｘ（ｋ＋１）＝ａｒｇｍｉｎＸ （Ｘ，Ｖ（ｋ），Ｄ（ｋ））
Ｖ（
ｋ＋１）＝ａｒｇｍｉｎＶ （
Ｘ（ｋ＋１
），Ｖ，Ｄ（ｋ
））Ｄ（
ｋ＋１）＝Ｄ（ｋ）－ＧＸ（ｋ＋１）－ＢＶ（ｋ＋１）{
。（１２）
具体的算法流程如算法１所示。
算法１
１．输入：Ｙ和原始光谱库Ａ２．初始化：ｋ＝０，０＜ｐ≤１，λ≥０，β≥０，γ≥０，μ≥０，Ｘ（０
），Ｖ（０
）１，Ｖ（０
）２，Ｖ（０
）
３，Ｖ（０
）４，Ｖ（０
）５，Ｄ０１
，Ｄ０２
，Ｄ０３
，Ｄ０４
，Ｄ０５
．３．重复：
４．Ｘ（ｋ＋１
）＝（ＡＴ
Ａ＋４Ｉ）－１
（ＡＴ
（Ｖ（ｋ
）１＋Ｄ（ｋ
）１）
＋Ｖ（ｋ
）２＋Ｄ（ｋ
）２＋Ｖ（ｋ
）３＋Ｄ（ｋ
）３＋Ｖ（ｋ
）４＋Ｄ（ｋ
）４＋Ｖ（ｋ
）
５＋Ｄ（ｋ
）５）５．Ｖ（ｋ＋１
）１＝１
１＋μ
Ｙ＋μ（ＡＸ（ｋ＋１
）－Ｄ（ｋ
）１）[]
６．Ｖ（ｋ＋１）２，
ｒ＝ｖｅｃｔ ｓｏｆｔζ２，ｒ，λμｂｒ
()
，ｒ＝１，２，…，ｍ７．Ｖ（ｋ＋１）３＝（
μＸ（ｋ＋１）－Ｄ（ｋ）３
）（βＬ＋μＩ）
－１
８．Ｖ（ｋ＋１
）４＝ＷＳＮＭ（Ｘ（ｋ＋１
）－Ｄ（ｋ
）４，２γ／μ，ｐ）９．Ｖｋ＋１５
＝ｍａｘ（Ｘ（ｋ＋１
）－Ｄ（ｋ
）５
，０）１０．更新拉格朗日乘子：
Ｄ（ｋ＋１）１＝Ｄ（ｋ）１－ＡＸ（ｋ＋１）＋Ｖ（ｋ＋１）１
Ｄ（ｋ＋１）ｉ＝Ｄ（ｋ）ｉ－Ｘ（ｋ＋１）＋Ｖ（ｋ＋１）ｉ
，ｉ＝２，３，４，
５１１．
更新迭代：ｋ＝ｋ＋１
１２．直到：
满足停止准则１３．输出：
丰度矩阵Ｘ第６步中的ｖｅｃｔ ｓｏｆｔ（·，τ）是一个向量软阈值操作算子［１２
］，
这里的ζ２
＝Ｘ（ｋ
）
Ｑ
－Ｄ（ｋ
）２
。在迭代的过程中设置权值ｂｒ
为ｂ（ｋ＋１
）ｒ
＝１／（‖ζ２，ｒ
‖２
＋ε），ε＝１０－１６
是一个小的正数，是为了避免奇异性。很显然，权值对不同的丰度系数有不同的惩罚。
３　
实验及结果分析
为了测试本文提出算法的效果，下面利用２个模拟和１个真实的高光谱数据进行实验。选择经典
的ＳＵｎＳＡＬ［１１
］、
协同稀疏解混算法ＣＬＳＵｎＳＡＬ［１２
］、加入空间先验信息的稀疏解混ＳＵｎＳＡＬ ＴＶ［１３
］和交替方向稀疏低秩解混算法ＡＤＳｐＬＲＵ［１９
］与本文提出算法
进行对比实验。
构建３个光谱库Ａ１
，
Ａ２
和Ａ３
进行对比实验，其中Ａ１
，Ａ２
用于生成高光谱模拟数据，Ａ３
用于真实高光谱数据的解混。Ａ１
是美国地质勘探局光谱库（ｓｐｌｉｂ０６ａ）［１３
］的第一部分，包含带有２２４个光谱波段的４９８个光谱信号。Ａ２
是从美国宇航局约翰逊航天中心航天器材料光谱数据库［２１
］中随机选取的１２０种材料获得的。Ａ３
是从Ａ１
中随机抽取的，有３４２个光谱信号，且任意２个不同信号之间的光谱角都大于３°。
首先使用均方根误差（ＲｏｏｔＭｅａｎＳｑｕａｒｅＥｒｒｏｒ，ＲＭＳＥ）［８
］评估度量，其正式定义如下：
ＲＭＳＥ＝
１
ｍｎ∑ｎ
ｉ＝１
‖ｘ＾ｉ－ｘｉ‖槡２２，（１３）
式中：ｎ
为像元的数量，ｍ
为端元的数量；ｘ
＾ｉ和
ｘｉ
分别为第ｉ个像元的估计丰度向量和原始丰度向量。信号
重构误差（ＳｉｇｎａｌＲｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎＥｒｒｏｒ，ＳＲＥ）也被用来评估解混性能，定义为：
ＳＲＥ＝１０ｌｇ１ｎ∑ｎ
ｉ＝１‖ｘｉ‖２２
１ｎ∑ｎｉ＝１‖ｘｉ－ｘ＾ｉ‖２
２
，（１４）
很显然，ＳＲＥ值越高，解混质量越好。
对于ＳＵｎＳＡＬ、ＣＬＳＵｎＳＡＬ、ＳＵｎＳＡＬ ＴＶ、ＡＤＳｐＬＲＵ和本文提出算法，正则化参数根据取值时对应的ＲＭＳＥ值被调整到各自的最佳性能。本文的所有实验是在一台华硕笔记本电脑上使用ＭａｔｌａｂＲ２０１４ａ软件进行，该
笔记本电脑配置为英特尔（ＴＭ）Ｃｏｒｅｉ５ ５２００Ｕ，
频率为２．２０ＧＨｚ，内存为１２．００ＧＢ。３．１　模拟数据实验在这部分，利用２个模拟高光谱数据进行对比实验，以验证本文提出算法的有效性。
实验１　这个例子的目的是为了说明提出的算法对于不同的低秩和稀疏水平的有效性。设计了４个不同的实验，丰度矩阵同时考虑稀疏和低秩，秩设为２或３，稀疏水平为１０％（即１０％的元素是非零的）或２０％。对于每一个实验，首先从Ａ１
中随机选择ｍ＝５０个端元构造用于解混的字典Ａ，然后由ＬＭＭ生成Ｔ＝２５个像元，并被信噪比（ＳｉｇｎａｌｔｏＮｏｉｓｅＲａｔｉｏ，ＳＮＲ）为３０ｄＢ的高斯噪声污染。每个实验独立进行２０次，并计算评估指标的平均值。
实验１中通过应用ＳＵｎＳＡＬ、ＣＬＳＵｎＳＡＬ、ＳＵｎＳＡＬ ＴＶ、ＡＤＳｐＬＲＵ和本文提出算法获得的ＲＭＳＥ和ＳＲＥ如表１所示。
测控遥感与导航定位
表１　实验１中使用不同解混算法获得的ＲＭＳＥ和ＳＲＥＴａｂ．１　ＲＭＳＥａｎｄＳＲＥｏｂｔａｉｎｅｄｂｙｄｉｆｆｅｒｅｎｔｕｎｍｉｘｉｎｇａｌｇｏｒｉｔｈｍｓｆｏｒｅｘａｍｐｌｅ１
方法秩稀疏度／％ＲＭＳＥＳＲＥ／ｄＢ
ＳＵｎＳＡＬ
２
３１００．０２５１１２．９１２７２００．０６４９６．４３２２１００．０３３２１１．０４５７２００．０７６４６．０８５４
ＣＬＳＵｎＳＡＬ
２
３１００．０２３３１３．２４３１２００．０６５６６．９７５４１００．０３３５１０．６３１９２００．０７３１６．４６９８
ＳＵｎＳＡＬ ＴＶ
２
３１００．０２１６１３．９８４９２００．０６７１７．２１５２１００．０２４６１１．１８４９２００．０７０５６．９４１８
ＡＤＳｐＬＲＵ
２
３１００．０２０５１４．８４２０２００．０５１６７．８０３０１００．０２４３１３．５７８２００．０４９５７．４５５３
本文算法２
３１００．０１６５１７．３７５０
２００．０４２９９．８４６９
１００．０１３５１５．９９０４
２００．０４５８８．９６９５
  由表１可以看出，ＣＬＳＵｎＳＡＬ由于采用了协同
稀疏的技术，与ＳＵｎＳＡＬ相比，获得了更好的结果。
由于ＳＵｎＳＡＬ ＴＶ考虑了像元的空间先验信息，因此
ＳＵｎＳＡＬ ＴＶ比ＳＵｎＳＡＬ和ＣＬＳＵｎＳＡＬ得到了更小的
ＲＭＳＥ和更大的ＳＲＥ值。ＡＤＳｐＬＲＵ的性能优于前
３种算法，因为同时考虑了稀疏和低秩。本文提出
算法同时考虑了稀疏和低秩，而且加入了图正则化
项，因此获得了比其他方法更好的结果。
图１显示了实验１中真实丰度图和利用不同的
解混算法得到的估计丰度图，顶部为秩２和稀疏水
平２０％的丰度图，底部为秩３和稀疏水平１０％的丰
度图。由图１可以看出，同时利用了空间上下文信
息和光谱信息的ＳＵｎＳＡＬ ＴＶ优于经典的稀疏解混
算法ＳＵｎＳＡＬ和ＣＬＳＵｎＳＡＬ，获得的丰度矩阵更接近
真实丰度矩阵，但是，有部分出现了过平滑的现象。
同时考虑了低秩和稀疏的ＡＤＳｐＬＲＵ比前３种算法
获得了更好的结果。显然，与其他４种算法相比，本
文提出算法的结果更接近真实丰度，进一步证实了
表１中的结果。
图１　实验１中用不同的解混算法得到的估计丰度
Ｆｉｇ．１　Ｅｓｔｉｍａｔｅｄａｂｕｎｄａｎｃｅｍａｐｓｏｂｔａｉｎｅｄｂｙｄｉｆｆｅｒｅｎｔｕｎｍｉｘｉｎｇａｌｇｏｒｉｔｈｍｓｆｏｒｅｘａｍｐｌｅ１测控遥感与导航定位

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