［收稿日期］２０１９－１２－１９
［基金项目］高校优秀青年骨干人才国内访学研修项目（项目编号：ｇｘｇｎｆｘ２０１９１６５）。［作者简介］李小珍（１９８４－），女，安徽庐江人，讲师，主要研究方向为应用数学、深度学习。
一种基于正则化方法的非负矩阵
分解算法研究与应用
李小珍
（安徽国防科技职业学院，安徽六安２３７００１）
［摘要］信息化技术的快速发展为非负矩阵分解提供了更加广阔的应用空间，这种全新的矩阵分解及特征提取方法，在数据聚类方面具有良好的应用前景。但是，非负矩阵的特征决定了这种方法无法同时考虑样本信息特征和几何结构信息特征。本文提出基于正则化方法的非负矩阵分解算法，通过硬约束维持样本分类信息，并有效保持样本的原有几何结构，实验表明该方法在图像分类方面有良好的应用效果。
［关键词］非负矩阵分解；图正则化；特征提取；图像分类
［中图分类号］Ｏ１５１．２１    ［文献标识码］Ａ    ［文章编号］１６７１－５３３０（２０２０）０５－００１２－０５
０　引言
非负矩阵分解（ＮＭＦ）是由学者Ｌｅｅ和Ｓｅｕｎｇ首次提出的矩阵分析方法，随着信息化技术的快速发展，矩阵分解在大数据处理和模式识别中发
挥着越来越重要的作用［１］
。传统的矩阵分解工
具，结果中普遍含有负数，这为实际应用带来了一定的难度。与此不同的是，非负矩阵分解的所有结果均为非负值，对象的物理表达更加自然，具有更加广阔的应用前景。但是传统非负矩阵分解方法无法同时考虑数据样本特征信息和数据固有几何结构，在一定程度上影响了数据的聚类结果。本文将图正则化方法和半监督学习思想深度结合起来，提出新的非负矩阵分解算法。该方法充分考虑样本的类别信息和数据空间的几何流行结构信息的有效性，并以图像聚类为例，选择ＯＲＬ数
据集进行算法验证［
２］
。１　图像分类与模式识别
图像数据的维度较高，直接影响了图像分类的准确性和运算效率，所以图像分类的第一步就是图像降维。降维能够去掉冗余的维数，将有用的维数保留下来，实现高维数据低秩逼近。图１所示为图像分类的基本框架，首先通过图像降维处理获得图的特征值、特征向量，然后将其输入分类器或者支持向量机，
以此实现图像分类。
图１　图像分类的框架
２　非负矩阵分解
２．１　非负矩阵分解的基本概念
对非负矩阵Ｘ∈Ｒｍ×ｎ
来说，矩阵分解的目标就是为了得到两个非负矩阵Ｗ∈Ｒｍ×ｒ
和Ｈ∈Ｒｒ×ｎ，使得Ｘ≈ＷＨ，其中ｒ＝ｍｉｎ（ｍ，ｎ）。Ｘ≈ＷＨ
的求解可以近似看做是求最优解的问题。常用的非负矩阵分解的目标函数有基于欧式距离和基于Ｋ－Ｌ散度两类。
基于欧式距离的目标函数可以表示为：ｍｉｎＷ，Ｈ≥０ｆ（Ｗ，Ｈ）＝１２∑ｍ
ｉ＝１∑ｎ
ｊ＝１
（Ｘｉｊ－（ＷＨ）ｉｊ）２
（１）
基于Ｋ－Ｌ散度的目标函数可以表示为：
ｍｉｎＷ，Ｈ≥０ｆ（Ｗ，Ｈ）＝１２∑ｍｉ＝１∑ｎ
ｊ＝１（ＸｉｊｌｏｇＸｉｊ
（ＷＨ）ｉｊ
－Ｘｉｊ＋（ＷＨ）ｉｊ
）２
（２）
在统计独立性方面，Ｋ－Ｌ散度具有突出优势。Ｋ－Ｌ散度是Ｘ和ＷＨＴ
差异的非对称性度量。
当Ｘ＝ＷＨ
Ｔ
，
Ｋ－Ｌ散度函数最小值为０。如果单独分析矩阵Ｗ和Ｈ，那么上文提到的目标函数为凸函数；如果同时考虑矩阵Ｗ和Ｈ，那么目标函数不是凸函数。非负矩阵分解之后的矩阵Ｗ和Ｈ具有稀疏性，可以有效的降低数据冗余。但是，这种方法带来的稀疏性不够明显，很多情况下无法满足应用要求，所以需要在目标函数中增加稀疏限制项。非负矩阵分解算法及其常见的改进算法中，矩阵Ｗ和Ｈ的初始值都是随机选择的，这些随机值均为非负值。如果实际问题相关信息不明确，那么Ｗ和Ｈ的初始值无法确定，只能随机选择。非负矩阵分解算法类似于约束优化问题，执行问题的步骤复杂繁多，选择最优分解也带来了很大的时间
消耗，无法满足实践应用需要［３］
。
２．２　迭代规则及算法收敛性
利用乘性迭代算法更新Ｗ，利用交替迭代算法更新Ｈ，不仅能够提升收敛速度，也能够降低计算难度。
Ｌｅｅ和Ｓｅｕｎｇ［４］
提出一种乘法更新算法，将
（１）更新为：
Ｈｉｊ＝Ｈｉｊ（ＷＴＸ）ｉｊ
（ＷＴＷＨ），Ｗｉｊ＝Ｗｉｊ（ＷＨＴ
）（ＷＨＨＴ
）ｉｊ
（３）式（
２）的更新规则可以表示为：Ｈｉｊ＝Ｈｉｊ∑ｋＷｉｊ
Ｘｉｊ
（ＷＨ）ｉｊ
，Ｗ′＝ＷｉｊＸｉｋ（ＷＨ）ｉｋＨｊｋ，Ｗｉｊ
正则化是最小化策略的实现
＝Ｗｉｊ
∑ｋ
Ｗｋｊ
（４）
其中１≤ｉ≤ｍ，１≤ｊ≤ｎ，１≤ｋ≤ｒ，转置矩阵表示为Ｔ，基矩阵表示为Ｗ，其中的列称为基向量，系数矩阵表示为Ｈ
。矩阵Ｗ和Ｈ的初始值随机，在运算过程中不断更新矩阵Ｗ和Ｈ的值，直到矩阵的变化足够小，获得矩阵分解结果。为了确保更新过程中不因为分母为零而导致异常，在分母上要添加一个足够小的正数。
欧式距离函数（
１）单调递减，如果Ｗ和Ｈ是函数的稳定点，那么函数值不再继续变化。
Ｋ－Ｌ散度函数（２）单调递减，如果Ｗ和Ｈ是函数的稳定点，那么函数值不再继续变化。
在讨论非负矩阵分解算法的收敛性时，引入
了辅助函数［５］
来分析，并导出迭代规则。
定义Ｇ（ｋ，ｋ′）为Ｆ（ｋ）的辅助函数，并且满足式：
Ｇ（ｋ，ｋｔ
）≥Ｆ（ｋ），Ｇ（ｋ，ｋ）＝Ｆ（ｋ）
（５）
２．３　图正则非负矩阵分解算法
采用图正则化方法的非负矩阵分解算法，就是在进行矩阵分解时，明确低维度空间样本数据的基本几何结构。假设存在两个数据点，分别表示为ｘｉ和ｘｊ，它们在原数据空间是邻近的关系，那么在新的基矩阵下其对应的ｖｉ和ｖｊ也是邻近关系。
假设Ｇ是由原始数据点组成的图，权重矩阵用Ｓｉｊ来表示，ｘｉ的ｐ个邻近数据点由Ｎｐ（ｘｉ）表示，
那么：
（６）
定义一个拉普拉斯矩阵Ｌ和一个对角矩阵Ｄ，Ｌ＝Ｄ－Ｓ，Ｄｉｉ＝∑ｊ
Ｓｉｊ
。式（７）为图正则化非负矩阵分解算法的最小化目标函数：
ＯＦ＝‖Ｘ－
ＷＨＴ‖２Ｆ＋λＴｒ（ＨＴ
ＬＨ），（ｓ．ｔ．ｗ≥０，Ｈ≥０）（７）
３
１第５期        李小珍：一种基于正则化方法的非负矩阵分解算法研究与应用
迭代更新规则表示为：
Ｗ
ｉｋ＝ｗ
ｉｋ
（ＸＨ）
ｉｋ
（ＷＨＴＨ）
ｉｋ
Ｗ
ｊｋ＝Ｈ
ｊｋ
（ＸＴＷ＋λＳＨ）
ｊｋ
（ＷＨＴＷ＋λＤＨ）
ｊｋ
（８）
３　基于图正则化和稀疏约束的半监督非负矩阵分解
在特征提取方面，非负矩阵分解算法只能在数据原始空间展开，在变形空间无法实现。本文提出在非负矩阵分解算法基础上，对基矩阵进行稀疏约束，引入拉普拉斯正则化约束，最终有效减少运算环节和节约存储空间，提升非负矩阵分解的效率。
本文提出的新的最小化目标函数可以表示为：
Ｏ
Ｆ＝‖Ｘ－ＷＺＴＡＴ‖２
Ｆ
＋λＴｒ（ＺＴＡＴＬＡＺ）
＋β‖Ｗ‖２
Ｆ
，（ｓ．ｔ．ｗ≥０，Ｚ≥０）（９）
上式中，标签约束矩阵可以表示为Ａ，拉普拉斯矩阵表示为Ｌ，正则化参数表示为λ，稀疏系数表示为β，β∈（０，１）。‖ｇ‖
Ｆ
表示的是Ｆ范数。按照迭代法和最速下降法的原则，式（９）的迭代规则可以表示为：
Ｏ
Ｆ＝‖Ｘ－ＷＺＴＡＴ‖２
Ｆ
＋λＴｒ（ＺＴＡＴＬＡＺ）＋β‖Ｗ‖２
Ｆ
＝Ｔｒ（ＸＸＴ）－２Ｔｒ（ＳＡＺＷＴ）＋Ｔｒ（ＷＺＴＡＴＡＺＷＴ）
＋λＴｒ（ＺＴＡＴＬＡＺ）＋β‖Ｗ‖２
Ｆ
（１０） 和φ表示的是约束Ｗｉｋ≥０，Ｚｊｋ≥０对应的
拉格朗日乘子，那么可以将拉格朗日函数表示为：
Ｌ１＝Ｏ
Ｆ
＋Ｔｒ（ ＷＴ）＋Ｔｒ（φＺＴ）（１１）
求解Ｗ和Ｚ的偏导数，令它们的值为零，那么：
Ｌ１
Ｗ
＝－２ＸＡＺ＋２ＷＺＴＡＴＡＺ＋ ＋２βＷ＝０ Ｌ１
Ｚ
＝－２ＡＴＸＴＷ＋２ＡＴＡＺＷＴＷ＋２λＡＴＬＡＺ＋φ＝０（１２）利用ＫＫＴ条件，可以将迭代规则确定为：
Ｚ
ｊｋ＝Ｚ
ｊｋ
（ＡＴＸＴＷ＋λＡＴＳＡＺ）
ｊｋ（ＡＴＡＺＷＴＷ＋λＡＴＤＡＺ）
ｊｋ
Ｗ
ｉｋ＝Ｗ
ｉｋ
（ＸＡＺ）
ｉｋ
（ＷＺＴＡＴＡＺ＋βＷ）
ｉｋ
（１３）
根据上述分析，目标函数和Ｚ中任意元素Ｚ
ｉｊ
相关的部分可以表示为Ｆ
ｉｊ
，
那么：
Ｆ′
ｉｊ
＝（－ＡＴＸＴＷ＋ＡＴＡＺＷＴＷ＋λＡＴＬＡＺ）
ｉｊ
Ｆ′
ｉｊ
＝（ＡＡＴＷＴＷ）
ｉｉ
＋λ（ＡＴＬＡ）
ｉｊ
（１４）
此处假设Ｆ′表示的是Ｚ的一阶微分，那么Ｆ
ｉｊ
的辅助函数可以表示为：
Ｇ（ｚ，ｚｔ
ｉｊ
）＝Ｆ
ｉｊ
（ｚｔ
ｉｊ
）＋Ｆ′
ｉｊ
（ｚ－ｚｔ
ｉｊ
）
＋
（ＡＴＡＺＷＴＷ＋λＡＴＤＡＺ）
ｉｊ
ｚｔ
ｉｊ
（ｚ－ｚｔ
ｉｊ
）
２（１５）
证明Ｇ（ｚ，ｚ）＝Ｆ
ｉｊ
，按照辅助函数的定义，则
需要证明Ｇ（ｚ，ｚｔ）≥Ｆ
ｉｊ
（ｚ）。Ｆ
ｉｊ
（ｚ）的泰勒展开可
以表示为：
Ｆ
ｉｊ
（ｚ
ｉｊ
）＝Ｆ
ｉｊ
（ｚｔ
ｉｊ
）＋Ｆ′
ｉｊ
（ｚｔ
ｉｊ
）
（ｚ－ｚｔ
ｉｊ
）
＋［（ＡＡＴＷＴＷ）
ｉｉ
＋λ（ＡＴＬＡ）
ｉｊ
］（ｚ－ｚｔ
ｉｊ
）２
（１６）
相较于辅助函数，可以将Ｇ（ｚ，ｚｔ）≥Ｆ
ｉｊ
（ｚ）等
价表示为：
（ＡＴＡＺＷＴＷ）
ｉｊ
＋λ（λＡＴＤＡＺ）
ｉｊ
ｚｔ
ｉｊ
≥（ＡＡＴ）ｉｉ（ＷＴＷ）ｊｊ＋λ（ＡＴＬＡ）ｉｉ（１７）
已知
ＡＡＴＷＴＷ＝∑
ｔ
（ＡＴＡＺ）（ＷＴＷ）
≥∑
ｔ
（ＡＴＡ）ｚｔ（ＷＴＷ）
≥ｚｔ（ＡＴＡ）（ＷＴＷ）（１８）
且
λ（ＡＴＤＡＺ）＝λ∑
ｔ
（ＡＴＤＡ）ｚｔ≥λ（ＡＴＤＡ）ｚｔ
≥λ（ＡＴ（Ｄ－Ｕ））ｚｔ＝λ（ＡＴＬＡ）ｚｔ
（１９）
得证。
４　实验验证
在Ｗｉｎｄｏｗｓ１０环境下，利用ＭａｔｌａｂＲ２０１２ｂ进
行算法的验证。此次验证基于英国剑桥Ｏｌｉｖｅｔｔｉ实
验室提出的人脸图像数据库ＯＲＬ展开。所有图像
的尺寸都是９２×１１２。ＯＲＬ数据集共有４００张图
片，维度为１０２４，共４０个类别。
首先从ＯＲＬ数据集的各个样本类中选取包
含有标记信息的样本，从其中随机的选择Ｋ类样
本开展聚类分析，本文选定的实验次数为２０次。
４
１安阳师范学院学报                  ２０２０年
图２　ＯＲＬ数据库的图像举例
算法的聚类性能采用聚类准确率（ＡＣ）的指标来分析，即数据集中正确分类的样本的占比。如果样本的数据量为ｎ，ｒｉ表示给定的正确样本类别信息，ｌｉ表示聚类后的样本信息。
则ＡＣ＝
∑ｎ
ｉ－
１δ（ｒｉ，ｍａｐ（ｌｉ
））ｎ
（２０）
上式中，δ（ｘ，ｙ）表示二值函数。如果ｘ＝ｙ，那么二值函数值为１；如果ｘ≠ｙ，那么值为０。ｍａｐ（ｌｉ）表示映射函数，是ｌｉ和数据集中其他类别的样本之
间的映射关系。
互信息表示聚类样本之间存在的相关性，即ＭＩ。假设存在两个聚类样本集，分别表示为Ｃ和Ｃ′，则：
ＭＩ（Ｃ，Ｃ′）＝
∑ｃｉ∈
Ｃ，ｃ′ｊ
∈Ｃ
′ｐ（ｃｉ，ｃ′ｊ
）ｇｌｏｇｐ（ｃｉ，ｃ′ｊ
）ｐ（ｃｉ）ｇｐ（ｃ′ｊ）（
２１）将其归一化之后，可以表示为：
ＮＭＩ（Ｃ，Ｃ′）＝ＭＩ
（Ｃ，Ｃ′）ｍａｘ（Ｈ（Ｃ），Ｈ（Ｃ′））
∈［
０，１］（２２）
ｐ（ｃｉ）表示任选样本属于第ｃｉ类的概率，ｐ（ｃ′ｊ）表示任选样本属于第ｃ′ｊ类的概率，ｐ（ｃｉ，ｃ′ｊ）表示联合概率。Ｈ（Ｃ），Ｈ（Ｃ′）表示聚类Ｃ和Ｃ′的熵。如果ＭＩ（Ｃ，Ｃ′）的值为０，那么聚类Ｃ和Ｃ′之间完全独立。如果ＭＩ（Ｃ，Ｃ′）的值最大，
则代表聚类Ｃ和Ｃ′的结果是一致的。归一化处理之后，ＮＭＩ（Ｃ，Ｃ′）的取值在０－１的范围内。
此处正则项参数λ取值为１００，稀疏系数β的取值为０．３
。
图３　ＯＲＬ数据集的收敛曲线及聚类准确率
  图３所示为利用ＯＲＬ数据集实验后的收敛曲线，实验结果表明利用该方法迭代５０次左右就能够满足收敛要求。采用几种不同的非负矩阵分解算法，对每个随机的ｋ值运行２０次后，最终的聚类结果表明该算法在图像聚类方面效率良好。
５　结语
总体来看，利用本文提出的新的非负矩阵分解算法，降维之后的图像聚类效果远好于一般的
非负矩阵分解算法，并且稳定性能保持在良好的范围内，该算法在图像分类中有良好的应用效果。
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（下转４０页）
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ＰｒｏｔｅｃｔｉｏｎＳｙｓｔｅｍＢａｓｅｄｏｎＤａｔａＳｅｃｕｒｉｔｙ
ＸＵＨｕｉ
（ＨｕａｉｂｅｉＶｏｃａｔｉｏｎａｌａｎｄＴｅｃｈｎｉｃａｌＣｏｌｌｅｇｅ，Ｈｕａｉｂｅｉ２３５０００，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｂａｓｅｄｏｎｔｈｅｃｕｒｒｅｎｔｓｉｔｕａｔｉｏｎｏｆｃｏｍｐｕｔｅｒｓｅｃｕｒｉｔｙｒｉｓｋｓｂｒｏｕｇｈｔｂｙｔｈｅｒａｐｉｄｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔｏｆｃｏｍ ｐｕｔｅｒｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙａｎｄｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，ｔｈｉｓｐａｐｅｒａｎａｌｙｚｅｓｔｈｅｅｘｉｓｔｉｎｇｆｏｒｍｓｏｆｃｏｍｐｕｔｅｒｓｅｃｕｒｉｔｙｒｉｓｋｓａｎｄｃｏｎｓｔｒｕｃｔｓｔｈｅｃｏｍｐｕｔｅｒｓｅｃｕｒｉｔｙｐｒｏｔｅｃｔｉｏｎｓｙｓｔｅｍ’ｓａｒｃｈｉｔｅｃｔｕｒｅ，ａｎｄｓｅｌｅｃｔｓｆｏｕｒｍｏｄｕｌｅｓｉｎｔｈｅａｐｐｌｉｃａ ｔｉｏｎｌａｙｅｒｔｏｄｅｓｉｇｎａｎｄｅｘｐｌａｉｎｏｎｅｂｙｏｎｅ．Ｔｈｅｔｅｓｔｒｅｓｕｌｔｓｓｈｏｗｔｈａｔｔｈｅｃｏｍｐｕｔｅｒｓｅｃｕｒｉｔｙｐｒｏｔｅｃｔｉｏｎｓｙｓｔｅｍｄｅｓｉｇｎｅｄｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒｒｅａｌｉｚｅｓｔｈｅ
ｆｕｎｃｔｉｏｎｏｆｃｏｍｐｕｔｅｒ’ｓｓｅｃｕｒｉｔｙｐｒｏｔｅｃｔｉｏｎ，ｗｈｉｌｅｔｈｅｓｙｓｔｅｍｉｓｅａｓｙｔｏｏｐｅｒ ａｔｅａｎｄｐｒａｃｔｉｃａｌ，ａｎｄａｃｈｉｅｖｅｓｔｈｅｅｘｐｅｃｔｅｄｅｆｆｅｃｔ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｃｏｍｐｕｔｅｒ；ｓｅｃｕｒｉｔｙｐｒｏｔｅｃｔｉｏｎ；ａｒｃｈｉｔｅｃｔｕｒｅ；ｄｅｓｉｇｎ；ｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔａｎｄａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ
［责任编辑：杜燕军　责任校对：杜燕军　原新生櫓櫓櫓櫓櫓櫓櫓櫓櫓櫓櫓櫓櫓櫓櫓櫓櫓櫓櫓櫓櫓櫓櫓櫓櫓櫓櫓櫓櫓櫓櫓櫓櫓櫓櫓櫓櫓櫓櫓櫓櫓櫓櫓櫓］
（上接１５页）
［２］赵龙．基于多流形正则化非负矩阵分解的多视图聚
类［
Ｄ］．大连：大连理工大学，２０１５．［３］杜海顺，张旭东．图嵌入正则化投影非负矩阵分解人
脸图像特征提取［Ｊ］．中国图象图形学报，２０１４，１９（８）：１１７６－１１８４．
［４］章祥荪，张忠元．非负矩阵分解：模型、算法和应用
［Ｊ］．重庆师范大学学报（自然科学版），２０１３（６）：１－８．
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正则化图非负矩阵分解算法［Ｊ］．吉林大学学报（理学版），２０１４，５２（５）：１００７－１０１３．
ＲｅｓｅａｒｃｈａｎｄＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｏｆａＮｏｎｎｅｇａｔｉｖｅＭａｔｒｉｘＦａｃｔｏｒｉｚａｔｉｏｎＡｌｇｏｒｉｔｈｍＢａｓｅｄｏｎＲｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎＭｅｔｈｏｄ
ＬＩＸｉａｏｚｈｅｎ
（ＡｎｈｕｉＶｏｃａｔｉｏｎａｌＣｏｌｌｅｇｅｏｆＤｅｆｅｎｓｅＴｅｃｈｏｌｏｇｙ，Ｌｕ’ａｎ２３７００１，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｎｏｎ－ｎｅｇａｔｉｖｘｅｍａｔｒｉｘｆａｃｔｏｒｉｚａｔｉｏｎｉｓａｎｅｗｍａｔｒｉｘｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎａｎｄｆｅａｔｕｒｅｅｘｔｒａｃｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄ，ｗｈｉｃｈｈａｓａｐｒｏｍｉｎｅｎｔｒｏｌｅｉｎｌｉｎｅａｒｌｙｓｅｐａｒａｔｉｎｇｄａｔａｔｏａｃｈｉｅｖｅｄａｔａｃｌｕｓｔｅｒｉｎｇ．Ｈｏｗｅｖｅｒ，ｎｏｎ－ｎｅｇａｔ
ｉｖｅｍａ ｔｒｉｘｆａｃｔｏｒｉｚａｔｉｏｎｃａｎｎｏｔｃｏｎｓｉｄｅｒｔｈｅｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓｏｆｇｅｏｍｅｔｒｉｃｓｔｒｕｃｔｕｒｅｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎａｎｄｓａｍｐｌｅｃｌａｓｓｉｎｆｏｒ ｍａｔｉｏｎａｔｔｈｅｓａｍｅｔｉｍｅ．Ｔｈｉｓｐａｐｅｒｐｒｏｐｏｓｅｓａｎｏｎ－ｎｅｇａｔｉｖｅｍａｔｒｉｘｆａｃｔｏｒｉｚａｔｉｏｎａｌｇｏｒｉｔｈｍｂａｓｅｄｏｎｒｅｇｕｌａｒｉ ｚａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄ，ｗｈｉｃｈｍａｉｎｔａｉｎｓｓａｍｐｌｅｃｌａｓｓｉｆｉｃａｔｉｏｎｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎｔｈｒｏｕｇｈｈａｒｄｃｏｎｓｔｒａｉｎｔｓａｎｄｅｆｆｅｃｔｉｖｅｌｙｍａｉｎ ｔａｉｎｓｔｈｅｏｒｉｇｉｎａｌｇｅｏｍｅｔｒｙｏｆｔｈｅｓａｍｐｌｅ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｎｏｎ－ｎｅｇａｔｉｖｅｍａｔｒｉｘｆａｃｔｏｒｉｚａｔｉｏｎ，ｇｒａｐｈｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ，ｆｅａｔｕｒｅｅｘｔｒａｃｔｉｏｎ，ｉｍａｇｅｃｌａｓｓｉｆｉｃａｔｉｏｎ
［责任编辑：原新生　责任校对：原新生　张怀涛］
０
４安阳师范学院学报                  ２０２０年

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